常微分方程習(xí)題(1)

1、常微分期終考試試卷<1>一、填空題30%1、方程M(x,y)dx N(x,y)dy 0有只含x的積分因子的充要條件是有只含y的積分因子的充要條件是.2、 為黎卡提方程，它有積分因子.3、 為伯努利方程，它有積分因子.4、若Xi(t),X2(t),X n(t)為n階齊線性方程的n個解,則它們線性無關(guān)的充要條件是.5、形如勺方程稱為歐拉方程.6、若(t)和(t)都是x A(t)x的基解矩陣貝S (t)和(t)具有的關(guān)系是.7、當方程的特征根為兩個共軛虛根是，則當其實部為時,零解是穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點稱為.二、計算題6 0%1、ydx (x y3)dy 02、x x si nt cos2t

2、2 13、若A試求方程組x Ax的解(t), (0)1并求1 42expAt4、段)3 4xydy 8y2 0dxdx5、求方程x y2經(jīng)過0,0的第三次近似解dx6. 求dxx y 1,dy x y 5的奇點，并判斷奇點的類型與穩(wěn)定性dtdt三、證明題1 0%1、 n階齊線性方程一定存在n個線性無關(guān)解.7丿一 I 二、零試卷答案MNMN1、yX(x)-yX(y)NM2、dy dxp(x)y2Q(x)yR(x)yy z3、dy dxp(x)yQ(x)ynu(x,y) yn (n 1)p(x)dx e4、WX(t),X2(t),Xn(t)05、¥y adn dxn1+ s %a dya

3、n 1 ,any0dx11 1dx6、(t)(t)C填空題穩(wěn)定中心二計算題1、解：因為1，所以此方程不是恰當方程，方程有積分因子（y）dye yln y2 ,兩邊同乘 2 得 X _dy 0y2y2y y3 / 44 / 4x y3y2Xy dy cy# / 42-c即2x y(y2 c)另外y=0也是解 y 22、線性方程x x 0的特征方程2 1 0故特征根if1(t) sint i是特征單根，原方程有特解x t(Acost Bsint)代f2(t)cos2t2i不是特征根，原1入原方程A=B=02方程有特解x Acos2t Bsin2t代入原方程A所以原方程的解為xc1cost c2si

4、 nt1C0S2t3、解：p()0解得1,23此時n 1 "由公式 expAt= e t (Ai 0 i!E)i得4、解：方程可化為*兩邊對y求導(dǎo):38y2 dx他令史4y 凹 dxdx2y(p3 4y2)乎 p(8y2 p3)dyp則有x32P 8 *4yp4y2p即(p3 4y2)(2ydyp) 0 由 2ydPdyp 0得 p cy2 即 y (-)2將 y c代入*xc24甲即方程的 含參數(shù)形式的通解為:cc22p7 F p (衛(wèi))2c5 / 42# / 42為參數(shù)# / 4又由p3 4y210得p (4y2)3代入*得:齊3也是方程的解yoyoxxdx05、解:yox0(xyox0(x2x22)dx44 x4207)dx40020x105x2011x44008x1601 01 0解得奇點3,-2令5 0X=x-3, Y二y+2 則dxdtdydt因為=1+10故有唯一零解0,012 22 0 得1 i 故3,-2為穩(wěn)定焦點.三、證明題由解的存在唯一性定理知:n階齊線