數(shù)學 圓中的分類討論習題

1、細說圓中的分類討論題-之兩解情況由于圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，還具有旋轉(zhuǎn)不變性,有許多問題需要分類討論,分類討論是一種同學們應該掌握并且相當重要的數(shù)學思想，對于鍛煉同學們的縝密思維和分析問題能力異常的重要，但同學們在遇到分類討論題時易出現(xiàn)漏解情況,這就要求同學們在解題時一要讀懂題意，明白題干的要求，二要有順序步驟的做。先從幾個方面舉例說明如下:一、根據(jù)點與圓的位置分類例、點P是圓O所在平面上一定點，點P到圓上的最大距離和最短距離分別為和，則該圓的半徑為。分析：根據(jù)點和圓的位置關(guān)系，這個點P與圓有兩種位置關(guān)系。分為點在圓內(nèi)和點在圓外兩種情況。解：過點P和圓心O作直線分別與圓O相交于A、

2、B兩點。PA、PB分別表示圓上各點到點P的最長距離和最短距離。（1）當點P在圓內(nèi)時，如圖1所示，直徑；（2）當點P在圓外時，如圖2所示，直徑；所以，圓O的直徑為2或6。二、三角形與圓心的位置關(guān)系例：已知內(nèi)接于圓O，則的度數(shù)為_。分析：因點A的位置不確定。所以點A和圓心O可能在BC的同側(cè)，也可能在BC的異側(cè)。也可分析為圓心在的內(nèi)部和外部兩種情況。解：（1）當點A和圓心O在BC的同側(cè)時，如圖3， 圖3 圖4（2）當點A和圓心O在BC的異側(cè)時，如圖4，所以的度數(shù)是或。練習：已知圓內(nèi)接中，AB=AC，圓心O到BC的距離為3cm，圓的半徑為6cm,求腰長AB。（兩種情況如圖5、圖6） 圖5 圖6三、角與

3、圓心的位置關(guān)系例3:在半徑為1的O中，弦AB、AC的長分別為和，則BAC的度數(shù)是_。分析：角與圓心的位置關(guān)系為圓心在角內(nèi)部和外部兩種情況。解：如圖7，當圓心在BAC內(nèi)部時，連接AO并延長交O于E在RtABE中，由勾股定理得：,所以BAE30°同理，在RtCAE中，ECAC，所以EAC45°，當圓心O在BAC的外部時（BAC'），由軸對稱性可知： 所以BAC為75°或15° 四、圓中兩平行弦與圓心的位置關(guān)系例4. 圓O的直徑為10cm，弦AB/CD，AB=6cm，求AB和CD的距離。分析：題中的弦AB、CD都比圓O中的直徑小，所以AB和CD可能在圓

4、心的同側(cè)，也可能在圓心的異側(cè)。解：（1）當AB、CD在圓心的同側(cè)時，如圖8，過點O作交AB于點M，交CD于N，連結(jié)OB、OD，得，然后由勾股定理求得：，故AB和CD的距離為1cm。（2）當在圓心的異側(cè)時，如圖9，仍可求得。故AB和CD的距離為7cm。所以AB和CD的距離為1cm和7cm。五、弦所對的圓周角有兩種情況例5：半徑為1的圓中有一條弦，如果它的長為，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)等于_。分析：弦所對的圓周角有兩種情況：（1）弦所對的圓周角的頂點在優(yōu)弧上；（2）弦所對的圓周角的頂點在劣弧上。解：故應填60°或120°。練習：一條弦分圓周為3：5兩部分，則這條弦所對的圓周

5、角的度數(shù)為 。 六、圓與圓的位置關(guān)系例6、已知圓和圓相內(nèi)切，圓心距為，圓半徑為，求圓的半徑。分析：根據(jù)兩圓相內(nèi)切的特點：圓心距等于大圓半徑減去小圓半徑。但該題的條件中沒有給定誰是大圓，誰是小圓。這時可把圓看成大圓，也可把圓看成小圓。解：（1）當圓是大圓時，則圓的半徑等于大圓半徑4cm減去圓心距1cm，求得圓的半徑為3cm。（2）當圓是小圓時，則圓的半徑等于小圓半徑4cm加上圓心距1cm，求得圓的半徑為5cm。所以圓的半徑是3cm或5cm。例7、兩圓相切，半徑分別為4cm和6cm，求兩圓的圓心距 。分析：此題中的兩圓相切沒有說明是內(nèi)切還是外切，所以應該分兩種情況考慮。解：（1）當兩圓內(nèi)切時，兩圓

6、心的距離等于大圓半徑減去小圓半徑，即。（2）當兩圓外切時，兩圓心的距離等于大圓半徑加上小圓半徑，即。所以兩圓的圓心距是2cm或10cm。例8、相交兩圓半徑分別為5 cm 和4cm ，公共弦長6cm，則兩圓的圓心距等于_分析：注意兩圓心在公共弦長兩側(cè)和同側(cè)兩種情況補充： 1、弦所對弧的優(yōu)劣情況不確定已知橫截面直徑為100cm的圓形下水道，如果水面寬AB為80cm，求下水道中水的最大深度。20cm或80cm2、如圖3，AB是圓O的弦，AC是圓O的切線，則弦AB所對的圓周角等于_。分析：因弦AB所對的圓周角的頂點未確定?？赡茉谶@個弦切角所夾的弧上，也可能在這個弦切角所夾的弧以外的弧上。解：（1）當這

7、個圓周角的頂點在弦 切角所夾的弧上時，求得這個圓周角為。（2）當所求的圓周角的頂點在弦切角所夾的弧以外的弧上時，求得這個圓周角為。所以弦AB所對的圓周角等于或。 3、已知圓和圓相內(nèi)切，圓心距為，圓半徑為，求圓的半徑。分析：根據(jù)兩圓相內(nèi)切的特點：圓心距等于大圓半徑減去小圓半徑。但該題的條件中沒有給定誰是大圓，誰是小圓。這時可把圓看成大圓，也可把圓看成小圓。解：（1）當圓是大圓時，則圓的半徑等于大圓半徑4cm減去圓心距1cm，求得圓的半徑為3cm。（2）當圓是小圓時，則圓的半徑等于小圓半徑4cm加上圓心距1cm，求得圓的半徑為5cm。所以圓的半徑是3cm或5cm。4、相交兩圓的半徑分別為8和5，公

8、共弦為8，這兩個圓的圓心距等于_。分析：因兩圓的半徑都大于公共弦長的一半，所以兩圓的圓心可能在公共弦的同側(cè)，也可能在公共弦的異側(cè)。解：（1）當兩圓的圓心在公共弦的同側(cè)時，如圖6，設AB是公共弦，交AB于點C，則，由勾股定理解得，故。圖6（2）當兩圓的圓心在公共弦的異側(cè)時，如圖7，可求得。故。所以這兩圓的圓心距為或。5、過不在O上的一點A，作O的割線，交O于B、C，且AB·AC64，OA10，則O的半徑R為_。解：依題意，點A與O的位置關(guān)系有兩種：（1）點A在O內(nèi)，如圖1，延長AO交O于F，則由相交弦定理得：所以（負值已舍去）（2）點A在O外，如圖2，此時由割線定理得：所以（負值已舍去

9、）故O的半徑R為或6。6、如圖8，在平面直角坐標系中，P是經(jīng)過O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圓上的一個動點（P與O、B不重合），則OAB_度，OPB_度。解：依題意可知AOB是等腰直角三角形，所以OAB45°當動點P在上時，OPBOAB45°當動點P在上時，OPB180°45°135°故OPB為45°或135°。7、已知半徑為4和的兩圓相交，公共弦長為4，則兩圓的圓心距為_。分析：相交兩圓圓心的位置有在公共弦的同側(cè)和異側(cè)兩種情況。解：如圖9、圖10，在中，在中，（1）當圓心在公共弦AB的同側(cè)時，如圖9（2）當圓心

10、在公共弦AB的異側(cè)時，如圖10，8、已知在直徑AB為13的半圓上有一點C，CDAB，垂足為D，且CD6，求AD的長.分析：由于6，即CDAB，所以點D在直徑上的位置有兩種情況：解：（1）如圖3，當點D和點A在圓心O的同旁時（ADBD）在RtCOD中，OD，則ADOAOD4；ODABC圖4OABCD圖3（2）如圖4，當點D和點A在圓心的兩旁時（ADBD）.同理可求OD，則ADAOOD9.故所求的AD的長為4或9.點評：圖形的位置關(guān)系是幾何研究的重要方面，應考慮到圖形所有可能情況，全面性地思考問題如：本例中，由于圓的軸對稱性，相同長度的弦位置往往不止一個本題可以拓展到整圓：已知：O的半徑為5，AB為直徑，弦CDAB，CD=6，則AE= (1或9)9、兩圓的半徑分別為4和2，如果它們的兩條公切線互相垂直，求兩圓的圓心距。這種情況。解：（1）當內(nèi)公切線與外公切線垂直時，如圖11，AB切于A，切于B，EF切于E，切于F，ABEF于D。由切線定理，得： 所以故有（2）當內(nèi)公切線垂直時，如圖12，作，交點為E，則（3）當外公切線垂直時，如圖13，作于G，則10、如圖,在平面直角坐標系中,已知C的半徑為r,直線l:,與x軸、y軸分別交于A、B兩點. （1）當r=1.5時，將C從點C與坐標原點重合開始, 沿y軸向下運動,當C與直線l相切時,點C移動的距離是 6.5或1.5（2）