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文檔簡介
1、細(xì)說圓中的分類討論題-之兩解情況由于圓既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,還具有旋轉(zhuǎn)不變性,有許多問題需要分類討論,分類討論是一種同學(xué)們應(yīng)該掌握并且相當(dāng)重要的數(shù)學(xué)思想,對于鍛煉同學(xué)們的縝密思維和分析問題能力異常的重要,但同學(xué)們在遇到分類討論題時(shí)易出現(xiàn)漏解情況,這就要求同學(xué)們在解題時(shí)一要讀懂題意,明白題干的要求,二要有順序步驟的做。先從幾個(gè)方面舉例說明如下:一、根據(jù)點(diǎn)與圓的位置分類例、點(diǎn)P是圓O所在平面上一定點(diǎn),點(diǎn)P到圓上的最大距離和最短距離分別為和,則該圓的半徑為。分析:根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系,這個(gè)點(diǎn)P與圓有兩種位置關(guān)系。分為點(diǎn)在圓內(nèi)和點(diǎn)在圓外兩種情況。解:過點(diǎn)P和圓心O作直線分別與圓O相交于A、
2、B兩點(diǎn)。PA、PB分別表示圓上各點(diǎn)到點(diǎn)P的最長距離和最短距離。(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓內(nèi)時(shí),如圖1所示,直徑;(2)當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí),如圖2所示,直徑;所以,圓O的直徑為2或6。二、三角形與圓心的位置關(guān)系例:已知內(nèi)接于圓O,則的度數(shù)為_。分析:因點(diǎn)A的位置不確定。所以點(diǎn)A和圓心O可能在BC的同側(cè),也可能在BC的異側(cè)。也可分析為圓心在的內(nèi)部和外部兩種情況。解:(1)當(dāng)點(diǎn)A和圓心O在BC的同側(cè)時(shí),如圖3, 圖3 圖4(2)當(dāng)點(diǎn)A和圓心O在BC的異側(cè)時(shí),如圖4,所以的度數(shù)是或。練習(xí):已知圓內(nèi)接中,AB=AC,圓心O到BC的距離為3cm,圓的半徑為6cm,求腰長AB。(兩種情況如圖5、圖6) 圖5 圖6三、角與
3、圓心的位置關(guān)系例3:在半徑為1的O中,弦AB、AC的長分別為和,則BAC的度數(shù)是_。分析:角與圓心的位置關(guān)系為圓心在角內(nèi)部和外部兩種情況。解:如圖7,當(dāng)圓心在BAC內(nèi)部時(shí),連接AO并延長交O于E在RtABE中,由勾股定理得:,所以BAE30°同理,在RtCAE中,ECAC,所以EAC45°,當(dāng)圓心O在BAC的外部時(shí)(BAC'),由軸對稱性可知: 所以BAC為75°或15° 四、圓中兩平行弦與圓心的位置關(guān)系例4. 圓O的直徑為10cm,弦AB/CD,AB=6cm,求AB和CD的距離。分析:題中的弦AB、CD都比圓O中的直徑小,所以AB和CD可能在圓
4、心的同側(cè),也可能在圓心的異側(cè)。解:(1)當(dāng)AB、CD在圓心的同側(cè)時(shí),如圖8,過點(diǎn)O作交AB于點(diǎn)M,交CD于N,連結(jié)OB、OD,得,然后由勾股定理求得:,故AB和CD的距離為1cm。(2)當(dāng)在圓心的異側(cè)時(shí),如圖9,仍可求得。故AB和CD的距離為7cm。所以AB和CD的距離為1cm和7cm。五、弦所對的圓周角有兩種情況例5:半徑為1的圓中有一條弦,如果它的長為,那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)等于_。分析:弦所對的圓周角有兩種情況:(1)弦所對的圓周角的頂點(diǎn)在優(yōu)弧上;(2)弦所對的圓周角的頂點(diǎn)在劣弧上。解:故應(yīng)填60°或120°。練習(xí):一條弦分圓周為3:5兩部分,則這條弦所對的圓周
5、角的度數(shù)為 。 六、圓與圓的位置關(guān)系例6、已知圓和圓相內(nèi)切,圓心距為,圓半徑為,求圓的半徑。分析:根據(jù)兩圓相內(nèi)切的特點(diǎn):圓心距等于大圓半徑減去小圓半徑。但該題的條件中沒有給定誰是大圓,誰是小圓。這時(shí)可把圓看成大圓,也可把圓看成小圓。解:(1)當(dāng)圓是大圓時(shí),則圓的半徑等于大圓半徑4cm減去圓心距1cm,求得圓的半徑為3cm。(2)當(dāng)圓是小圓時(shí),則圓的半徑等于小圓半徑4cm加上圓心距1cm,求得圓的半徑為5cm。所以圓的半徑是3cm或5cm。例7、兩圓相切,半徑分別為4cm和6cm,求兩圓的圓心距 。分析:此題中的兩圓相切沒有說明是內(nèi)切還是外切,所以應(yīng)該分兩種情況考慮。解:(1)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),兩圓
6、心的距離等于大圓半徑減去小圓半徑,即。(2)當(dāng)兩圓外切時(shí),兩圓心的距離等于大圓半徑加上小圓半徑,即。所以兩圓的圓心距是2cm或10cm。例8、相交兩圓半徑分別為5 cm 和4cm ,公共弦長6cm,則兩圓的圓心距等于_分析:注意兩圓心在公共弦長兩側(cè)和同側(cè)兩種情況補(bǔ)充: 1、弦所對弧的優(yōu)劣情況不確定已知橫截面直徑為100cm的圓形下水道,如果水面寬AB為80cm,求下水道中水的最大深度。20cm或80cm2、如圖3,AB是圓O的弦,AC是圓O的切線,則弦AB所對的圓周角等于_。分析:因弦AB所對的圓周角的頂點(diǎn)未確定??赡茉谶@個(gè)弦切角所夾的弧上,也可能在這個(gè)弦切角所夾的弧以外的弧上。解:(1)當(dāng)這
7、個(gè)圓周角的頂點(diǎn)在弦 切角所夾的弧上時(shí),求得這個(gè)圓周角為。(2)當(dāng)所求的圓周角的頂點(diǎn)在弦切角所夾的弧以外的弧上時(shí),求得這個(gè)圓周角為。所以弦AB所對的圓周角等于或。 3、已知圓和圓相內(nèi)切,圓心距為,圓半徑為,求圓的半徑。分析:根據(jù)兩圓相內(nèi)切的特點(diǎn):圓心距等于大圓半徑減去小圓半徑。但該題的條件中沒有給定誰是大圓,誰是小圓。這時(shí)可把圓看成大圓,也可把圓看成小圓。解:(1)當(dāng)圓是大圓時(shí),則圓的半徑等于大圓半徑4cm減去圓心距1cm,求得圓的半徑為3cm。(2)當(dāng)圓是小圓時(shí),則圓的半徑等于小圓半徑4cm加上圓心距1cm,求得圓的半徑為5cm。所以圓的半徑是3cm或5cm。4、相交兩圓的半徑分別為8和5,公
8、共弦為8,這兩個(gè)圓的圓心距等于_。分析:因兩圓的半徑都大于公共弦長的一半,所以兩圓的圓心可能在公共弦的同側(cè),也可能在公共弦的異側(cè)。解:(1)當(dāng)兩圓的圓心在公共弦的同側(cè)時(shí),如圖6,設(shè)AB是公共弦,交AB于點(diǎn)C,則,由勾股定理解得,故。圖6(2)當(dāng)兩圓的圓心在公共弦的異側(cè)時(shí),如圖7,可求得。故。所以這兩圓的圓心距為或。5、過不在O上的一點(diǎn)A,作O的割線,交O于B、C,且AB·AC64,OA10,則O的半徑R為_。解:依題意,點(diǎn)A與O的位置關(guān)系有兩種:(1)點(diǎn)A在O內(nèi),如圖1,延長AO交O于F,則由相交弦定理得:所以(負(fù)值已舍去)(2)點(diǎn)A在O外,如圖2,此時(shí)由割線定理得:所以(負(fù)值已舍去
9、)故O的半徑R為或6。6、如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中,P是經(jīng)過O(0,0),A(0,2),B(2,0)的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P與O、B不重合),則OAB_度,OPB_度。解:依題意可知AOB是等腰直角三角形,所以O(shè)AB45°當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在上時(shí),OPBOAB45°當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在上時(shí),OPB180°45°135°故OPB為45°或135°。7、已知半徑為4和的兩圓相交,公共弦長為4,則兩圓的圓心距為_。分析:相交兩圓圓心的位置有在公共弦的同側(cè)和異側(cè)兩種情況。解:如圖9、圖10,在中,在中,(1)當(dāng)圓心在公共弦AB的同側(cè)時(shí),如圖9(2)當(dāng)圓心
10、在公共弦AB的異側(cè)時(shí),如圖10,8、已知在直徑AB為13的半圓上有一點(diǎn)C,CDAB,垂足為D,且CD6,求AD的長.分析:由于6,即CDAB,所以點(diǎn)D在直徑上的位置有兩種情況:解:(1)如圖3,當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在圓心O的同旁時(shí)(ADBD)在RtCOD中,OD,則ADOAOD4;ODABC圖4OABCD圖3(2)如圖4,當(dāng)點(diǎn)D和點(diǎn)A在圓心的兩旁時(shí)(ADBD).同理可求OD,則ADAOOD9.故所求的AD的長為4或9.點(diǎn)評:圖形的位置關(guān)系是幾何研究的重要方面,應(yīng)考慮到圖形所有可能情況,全面性地思考問題如:本例中,由于圓的軸對稱性,相同長度的弦位置往往不止一個(gè)本題可以拓展到整圓:已知:O的半徑為5,AB為直徑,弦CDAB,CD=6,則AE= (1或9)9、兩圓的半徑分別為4和2,如果它們的兩條公切線互相垂直,求兩圓的圓心距。這種情況。解:(1)當(dāng)內(nèi)公切線與外公切線垂直時(shí),如圖11,AB切于A,切于B,EF切于E,切于F,ABEF于D。由切線定理,得: 所以故有(2)當(dāng)內(nèi)公切線垂直時(shí),如圖12,作,交點(diǎn)為E,則(3)當(dāng)外公切線垂直時(shí),如圖13,作于G,則10、如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知C的半徑為r,直線l:,與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn). (1)當(dāng)r=1.5時(shí),將C從點(diǎn)C與坐標(biāo)原點(diǎn)重合開始, 沿y軸向下運(yùn)動(dòng),當(dāng)C與直線l相切時(shí),點(diǎn)C移動(dòng)的距離是 6.5或1.5(2)
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