數(shù)學(xué)分析教案

1、教 案2006-2007學(xué)年第 1 學(xué)期 課 程 名 稱： 數(shù)學(xué)分析3 課 程 編 號： 4081103學(xué)院、專業(yè)、年級： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院、數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、05級 任 課 教 師： 姜子文教 師 所 在 單 位： 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)分析3 教案-課程簡介數(shù)學(xué)分析課程是高等師范院校和綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)、信息與計算科學(xué)專業(yè)本、?？频囊婚T重要基礎(chǔ)課，是進一步學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)論、微分方程、微分幾何、概率論、實變分析與泛函分析等后繼課程的階梯，是考取數(shù)學(xué)類碩士研究生的必考基礎(chǔ)課之一。本課程內(nèi)容包括極限論、函數(shù)微分學(xué)、函數(shù)積分學(xué)、無窮級數(shù)等方面的系統(tǒng)知識，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具極限的思

2、想與方法研究函數(shù)的分析特性連續(xù)性、可微性、可積性。本課程所講授的這些內(nèi)容和方法是現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生必須具備的最基礎(chǔ)的基本訓(xùn)練，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)類專業(yè)培養(yǎng)目標的重要基礎(chǔ)課。數(shù)學(xué)分析課程在大學(xué)低年級開設(shè)，它集科學(xué)性、嚴密性與連貫性于一體，系統(tǒng)性與邏輯性強，是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁，也是區(qū)分初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的標志。對于剛上大學(xué)的大學(xué)生來說，在從初等數(shù)學(xué)（用非極限方法研究常量數(shù)學(xué)）到高等數(shù)學(xué)（用極限方法研究變量數(shù)學(xué)）的轉(zhuǎn)變過程中，本課程的學(xué)習(xí)起著關(guān)鍵的作用。通過本課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以對近代應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展有一個初步的了解，進而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力

3、與意識。通過本課程的講授，可以引導(dǎo)學(xué)生了解當前數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最新發(fā)展狀況，培養(yǎng)學(xué)生探索新知識的意識和能力。數(shù)學(xué)分析課程授課時間為三個學(xué)期，各學(xué)期課程名稱分別為：數(shù)學(xué)分析(1)、數(shù)學(xué)分析(2) 、數(shù)學(xué)分析(3) 。其中數(shù)學(xué)分析(1)主要包括如下內(nèi)容：函數(shù)；數(shù)列極限；函數(shù)極限；函數(shù)連續(xù)性；實數(shù)連續(xù)性的基本定理；導(dǎo)數(shù)與微分。授課學(xué)期：第一學(xué)期；授課總時數(shù)：108學(xué)時；學(xué)分：6學(xué)分。數(shù)學(xué)分析(2) 主要包括如下的內(nèi)容：不定積分；定積分；定積分的應(yīng)用；級數(shù)理論。授課學(xué)期：第二學(xué)期；授課總時數(shù)：108學(xué)時；學(xué)分：6學(xué)分。數(shù)學(xué)分析(3) 主要包括如下的內(nèi)容：多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)可微性，多元函數(shù)Taylor公

4、式，多元函數(shù)極值，多元函數(shù)定積分、面積分、線積分及格林公式，高斯公式，斯托克斯公式。授課學(xué)期：第三學(xué)期；授課總時數(shù)：98學(xué)時；學(xué)分：6學(xué)分?，F(xiàn)用教材：數(shù)學(xué)分析課程現(xiàn)在所用教材為面向21世紀課程教材和國家九五重點教材華東師范大學(xué)主編的數(shù)學(xué)分析（上、下冊）（第三版）。同步參考教材：數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊），吳良森等編著；數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指南（自編）（上、下及下下冊）；數(shù)學(xué)分析研究，馬順業(yè)編著；數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊），劉玉璉等等編著等教材或教學(xué)參考書。數(shù)學(xué)分析3 教案-教學(xué)大綱1、說明數(shù)學(xué)分析（3）的教學(xué)內(nèi)容為多元函數(shù)的極限與連續(xù)、多元函數(shù)的微分學(xué)、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用、含參量正常積分、

5、曲線積分、重積分、曲面積分等七章內(nèi)容。通過教學(xué)，可使學(xué)生了解到多元函數(shù)與一元函數(shù)的差異與聯(lián)系，理解到積分學(xué)多方面的應(yīng)用。另外，由于學(xué)期的差異所造成的原因，本學(xué)期的數(shù)學(xué)分析3這門課程還將講述傅立葉（Fourier）級數(shù)這一章內(nèi)容。本課程授課學(xué)期：第三學(xué)期；授課總時數(shù)：108學(xué)時；學(xué)分：6學(xué)分。2、課程內(nèi)容及課時分配一、傅立葉（Fourier）級數(shù)（11學(xué)時）三角級數(shù)，三角函數(shù)系的正交性，傅立葉級數(shù)，貝塞爾（Bessel）不等式，黎曼勒貝格（Riemann-lebesgue）定理，傅立葉級數(shù)的部分和公式，按段光滑且以2為周期的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的收斂定理，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅立葉級數(shù)，以為周期的函

6、數(shù)的傅立葉級數(shù)，一致收斂性定理，傅立葉級數(shù)的逐項積分與逐項微分，維爾斯特拉斯的函數(shù)逼近定理*。二、多元函數(shù)的極限與連續(xù)（13學(xué)時）平面點集概念（鄰域、內(nèi)點、界點、開集、閉集、開域、閉域等），平面點集的基本定理一區(qū)域套定理、聚點定理、有限覆蓋定理。二元函數(shù)概念。二重極限，累次極限，二元函數(shù)連續(xù)性，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性定理，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。n 維空間與n元函數(shù)（距離、三角形不等式、極限、連續(xù)性等）*。注：建議用映射觀點定義多元函數(shù)。三、多元函數(shù)的微分學(xué)（19學(xué)時）偏導(dǎo)數(shù)及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計算中的應(yīng)用，方向?qū)?shù)與梯度，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

7、與全微分，一階微分形式的不變性，高階導(dǎo)數(shù)及其與順序無關(guān)性，高階微分，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)極值。注：在極值舉例中可介紹“最小二乘法”。四、隱函數(shù)定理及其應(yīng)用（13學(xué)時）隱函數(shù)概念，隱函數(shù)定理，隱函數(shù)求導(dǎo)。隱函數(shù)組概念，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導(dǎo)，反函數(shù)組與坐標變換，函數(shù)行列式，函數(shù)相關(guān)*。幾何應(yīng)用，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。注：建議用映射觀點闡述函數(shù)組、反函數(shù)組與坐標變換的概念。五、含參量積分（13學(xué)時）含參量積分概念，連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換。含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準則，維爾斯特拉斯判別法、連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換*。函數(shù)與B函數(shù)。六

8、、曲線積分（10學(xué)時）第一型和第二型曲線積分概念與計算，格林（Green）公式，曲線積分與路徑無關(guān)條件。七、重積分（16學(xué)時）平面圖形面積，二重積分定義與存在性，二重積分性質(zhì)，二重積分計算（化為累次積分），二重積分的換元法（極坐標變換與一般變換）。三重積分定義與計算，三重積分的換元法（柱坐標變換、球坐標變換與一般變換）。重積分應(yīng)用（體積，曲面面積，重心，轉(zhuǎn)動慣量等）。n 重積分*。無界區(qū)域上反常二重積分的收斂性概念，無界函數(shù)的反常二重積分。注1：用微元法講重積分應(yīng)用。注1：在講授無界區(qū)域上非正常二重積分時，介紹的計算。八、曲面積分（13學(xué)時）曲面的側(cè)，第一型和第二型曲面積分概念與計算，奧斯特羅

9、格拉斯基一高斯公式，斯托克斯（Stokes）公式。場論初步（場的概念、梯度場、散度場、旋度場、管量場與有勢場）。楔積、微分形式、外微分與一般斯托克斯公式*。注1：本單元最后的*號部分僅作形式的處理。注2：為了與數(shù)學(xué)分析其它分支聯(lián)系的更緊密，我們建議主要介紹康托爾的基本序列說，對戴德金德分割說僅介紹其大意。數(shù)學(xué)分析3教案 授課時間 2006.9.12 第 1 次課 授課章節(jié)第十五章第一節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時安排3使用教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊）（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊），高等教育出版社200

10、4年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版劉玉璉等編著數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學(xué)目的與要求：1.明確認識三角級數(shù)的產(chǎn)生及有關(guān)概念；2.理解以為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)的有關(guān)概念、定義和收斂定理.教學(xué)重點，難點：重點: 將一個函數(shù)展開成Fourier級數(shù)；難點: Fourier級數(shù)的收斂性的判別.教學(xué)內(nèi)容：一、傅立葉級數(shù)1三角級數(shù)三角級數(shù)的定義 形如的函數(shù)項級數(shù)稱為三角級數(shù)，它是由三角函數(shù)列（也稱為三角函數(shù)系）所產(chǎn)生的函數(shù)項級數(shù).注：是由三角函數(shù)列（或三角函數(shù)系）所產(chǎn)生的函數(shù)項級數(shù)一般形式，之所以表示為為，是為了討論該級數(shù)一致收斂時系數(shù)

11、與其和函數(shù)之間關(guān)系表述方便.數(shù)學(xué)分析3教案三角級數(shù)的應(yīng)用背景在自然界中周期現(xiàn)象是很多的，如單擺運動、無線電波等，都可以用周期函數(shù)正、余弦函數(shù)來表示，這是因為周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述就是周期函數(shù).但是較復(fù)雜的周期現(xiàn)象如熱傳導(dǎo)、電流傳播、機械振動等不僅需要正、余弦函數(shù)表示，而且需要很多以至于無窮多個正、余弦函數(shù)疊加來表示，這在數(shù)學(xué)上就是將周期函數(shù)展開成無窮多個正、余弦函數(shù)之和的問題.因此要研究由三角函數(shù)列所產(chǎn)生的級數(shù)即三角級數(shù)，特別必須研究由一個函數(shù)做出的三角級數(shù)即傅立葉級數(shù).2正交函數(shù)系定義 設(shè)函數(shù)與定義于區(qū)間上.若有，且，則稱函數(shù)與定義于區(qū)間上是正交的.若定義于區(qū)間上的函數(shù)列滿足（），且，則稱函數(shù)列

12、在區(qū)間上具有正交性，或稱函數(shù)列在區(qū)間上是正交函數(shù)系.例如，三角函數(shù)系是區(qū)間上的正交函數(shù)系.事實上，（），（），而，.容易看出，三角函數(shù)系中所有函數(shù)具有共同周期，故容易驗證若三角級數(shù)收斂，則它的和函數(shù)一定是一個以為周期的函數(shù).3三角級數(shù)收斂定理及其性質(zhì)定理15.1 若級數(shù)收斂，則三角級數(shù)在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂.證明：利用優(yōu)級數(shù)判別法.性質(zhì)：定理15.2 若在整個數(shù)軸上且等式右邊級數(shù)一致收斂，則則有如下關(guān)系式：，數(shù)學(xué)分析3教案，.證明：利用一致收斂函數(shù)項級數(shù)的逐項可積性、第十三章第一節(jié)習(xí)題4、三角函數(shù)系的正交性即可.二、以為周期的函數(shù)的傅立葉級數(shù)1傅立葉級數(shù)的定義設(shè)是上以為周期的函數(shù)，且在

13、上可積，稱形如的函數(shù)項級數(shù)為的傅立葉級數(shù)(或的傅立葉展開式)，其中， 稱為的傅立葉系數(shù)，記為.注：1）在未討論收斂性，即證明一致收斂到之前，不能將“”改為“=”；此處“”也不包含“等價”之意，而僅僅表示是的傅立葉級數(shù)，或者說的傅立葉級數(shù)是. 2) 求上的傅立葉級數(shù)，只需求出傅立葉系數(shù).例1 設(shè)是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為 ,求的傅立葉展開式.三、收斂定理 1按段光滑的定義 設(shè)函數(shù)定義于區(qū)間上.若函數(shù)在上至多有有限個第一類間斷點，其導(dǎo)函數(shù)在上除了至多有限個點外都存在且連續(xù)，在這有限個點上導(dǎo)函數(shù)的左、右極限存在，則稱在區(qū)間上按段光滑.（注：導(dǎo)函數(shù)的間斷點只能是第二類間斷點.）數(shù)學(xué)分析3教案注：

14、區(qū)間上的按段光滑函數(shù)具有性質(zhì)：（1）在區(qū)間上可積.（2）在區(qū)間上沒一點都存在左右極限，且有，.（3）補充定義在區(qū)間上那些至多有限個不存在點上的值后（仍記為），則在區(qū)間上可積.2收斂定理 定理15.3 以為周期的函數(shù)在區(qū)間上按段光滑，則在每一點，的傅立葉系數(shù)收斂于在點的左、右極限的算術(shù)平均值，即，其中，為的傅立葉系數(shù).(證明放到以后進行)推論 若函數(shù)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間上按段光滑，則的傅立葉級數(shù)在上收斂于.注：3）計算的傅立葉系數(shù)的積分也可以沿別的長度為的區(qū)間來積.如， 例2 設(shè)是以為周期的函數(shù)，其在上等于，求的傅立葉級數(shù).注： 4) 在具體討論函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式時，通常只給出在長

15、為的區(qū)間上的解析表達式，例如在上的解析表達式，此時我們應(yīng)對作解析延拓，即定義，使其以為周期，它有下述性質(zhì)：a)時，；b) 以為周期.因此的傅立葉級數(shù)就是指的傅立葉級數(shù). 例3 把函數(shù)展開為Fourier級數(shù).數(shù)學(xué)分析3教案 解 參閱例1, 有 例4 展開函數(shù).解 ； .函數(shù)在上連續(xù)且按段光滑, 又，因此有. ( 倘令, 就有,) 例5 在區(qū)間內(nèi)把函數(shù)展開成Fourier級數(shù).練習(xí)1（2）（i）解法一 ( 直接展開 ) ； . 函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)且按段光滑, 因此有, .數(shù)學(xué)分析3教案由于, 該展開式在上成立.( 在該展開式中, 取，得; 取,得. ) 解法二 ( 間接展開: 對例3中的展開式作積

16、分運算 ) 由例3, 在區(qū)間內(nèi)有. 對該式兩端積分, 由Fourier級數(shù)可逐項積分,有.為求得, 上式兩端在上積分, 有, 因此, , .注：若題目中給定的函數(shù)只是在長度為的區(qū)間上，解題時一定要先延拓，再按收斂定理判斷傅立葉級數(shù)是否收斂，然后進行展開.做到一定程度以后，可以不用延拓，直接先判斷函數(shù)是否按段光滑，即傅立葉級數(shù)是否收斂，然后進行展開.數(shù)學(xué)分析3教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：1（1）， 2（2）， 3（1）， 7（1）， 8下次課預(yù)習(xí)要點15.2 以為周期的函數(shù)的傅立葉級數(shù)實施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容。通過本次教學(xué)，學(xué)生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負責(zé)人簽

17、字 年 月 日數(shù)學(xué)分析3教案 授課時間 2006.9.14 第 2 次課 授課章節(jié)第十五章第二節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時安排3使用教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊）（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版劉玉璉等編著數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學(xué)目的與要求：(1)掌握以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開的基本方法(2)掌握通過對函數(shù)做奇延拓或偶延拓并展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù)的基本方法 教學(xué)重點，難點：重點:

18、 將一個以為周期的函數(shù)展開成Fourier級數(shù)；難點: 理解將一個函數(shù)展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù).教學(xué)內(nèi)容：一.以為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù): 設(shè)函數(shù)以為周期, 在區(qū)間上(R )可積. 作代換, 則函數(shù)以為周期. 由是線性函數(shù),在區(qū)間上(R )可積. 函數(shù)的Fourier系數(shù)為, ，, , 數(shù)學(xué)分析3教案還原為自變量, 注意到, 就有 其中 , ，, ,當函數(shù)在區(qū)間上按段光滑時, 可展開為Fourier級數(shù).注 三角函數(shù)系是區(qū)間上的正交函數(shù)系.例1  把函數(shù)展開成Fourier級數(shù). P72例1 二. 正弦級數(shù)和余弦級數(shù): 1. 區(qū)間上偶函數(shù)和奇函數(shù)的Fourier級數(shù)

19、:設(shè)函數(shù)以為周期的偶函數(shù)，或是定義于上的偶函數(shù)，則的傅立葉級數(shù)為，.同理，設(shè)函數(shù)以為周期的奇函數(shù)，或是定義于上的齊函數(shù)，則的傅立葉級數(shù)為，.數(shù)學(xué)分析3教案特別，時有，.2. 奇展開和偶展開:在實際應(yīng)用中，有時需把定義在（或）上的函數(shù)展開成余弦級數(shù)或正弦級數(shù).可先把定義在（或）上的函數(shù)作偶式延拓或作齊式延拓到（或）上，然后求延拓后函數(shù)的傅立葉級數(shù).也可不必做延拓，直接按公式，或，直接計算出的傅立葉系數(shù)和傅立葉級數(shù).把定義在（或）上的函數(shù)展開成余弦級數(shù)或正弦級數(shù)通常稱為偶展開和奇展開.例2  設(shè).求的Fourier級數(shù)展開式. P74 例2例3  把定義在上的函數(shù) （

20、其中之一)展開成正弦級數(shù). 例4  把函數(shù)在內(nèi)展開成: 1） 正弦級數(shù); 2） 余弦級數(shù).P76 例 4 數(shù)學(xué)分析3教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：1（1）、（2）， 2， 4， 5， 6.下次課預(yù)習(xí)要點15.3 收斂定理的證明實施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容。通過本次教學(xué)，學(xué)生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負責(zé)人簽字 年 月 日數(shù)學(xué)分析3教案 授課時間 2006.9.19 第 3 次課 授課章節(jié)第十五章第三節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時安排3使用教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊）（第三版），高等教育出版社2001年版

21、吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版劉玉璉等編著數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學(xué)目的與要求：(1)掌握貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理；了解收斂定理的證明要點(2)理解收斂定理的證明教學(xué)重點，難點：重點: 貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理、預(yù)備定理2.難點: 收斂定理的證明.教學(xué)內(nèi)容：定理15.3（Dini定理） 以為周期的函數(shù)在區(qū)間上按段光滑，則在每一點，的傅立葉系數(shù)收斂于在點的左、右極限的算術(shù)平均值，即，其中，為的傅立葉系數(shù).證明思路: 設(shè)，對每一點，我們要證明. 即證明數(shù)學(xué)分

22、析3教案.方法是把該極限表達式化為積分, 利用RiemannLebesgue定理證明相應(yīng)積分的極限為零. 施證方案: 1.      寫出的簡縮形式. 稱這一簡縮形式為的積分形式, 或稱為Dirichlet積分, 即. 利用該表示式, 式可化為, 于是把問題歸結(jié)為證明, 和 . 數(shù)學(xué)分析3教案這兩式的證明是相同的, 只證第一式.  2.為證上述第一式, 先利用三角公式 建立所謂Dirichlet積分, 利用該式把 表示為積分, 即把表示為Dirichlet積分 . 于是又把上述1中所指的第一式左端化為. 3.利用所謂Riem

23、ann Lebesgue定理證明上述極限為零. 為此, 先證明Bessel不等式(P78預(yù)備定理1 ), 再建立Riemann Lebesgue定理. 4. 把上式化為應(yīng)用Riemann Lebesgue定理的形式, 即令 ，,數(shù)學(xué)分析3教案則 . 為使最后這一極限等于零, 由Riemann Lebesgue定理, 只要函數(shù)在區(qū)間上可積. 因此希望存在. 由函數(shù)在區(qū)間上按段光滑, 可以驗證存在. 預(yù)備定理及其推論: 為實施以上證明方案, 我們先建立以下預(yù)備定理和其推論. 預(yù)備定理1 ( Bessel 不等式) 若函數(shù)在區(qū)間上可積, 則有Bessel 不等式,其中，為的傅立葉系數(shù). 證

24、 P78 . 推論1 ( Riemann Lebesgue定理 ) 若函數(shù)在區(qū)間上可積, 則有, .證 P79 . 推論2 若函數(shù)在區(qū)間上可積, 則有, . 證 P79. 預(yù)備定理2 若函數(shù)是以為周期的周期函數(shù), 且在區(qū)間上可積, 則函數(shù)的Fourier級數(shù)部分和有積分表示式數(shù)學(xué)分析3教案. 當時, 被積函數(shù)中的不定式由極限 來確定. Dirichlet積分: . 證 由三角公式 , . Dini定理的證明: P8182 .  數(shù)學(xué)分析3教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：1 Fourier級數(shù)與三角級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.2 設(shè)可積函數(shù)的Fourier級數(shù)在區(qū)間上一致收斂于, 則

25、成立Parseval等式.下次課預(yù)習(xí)要點16.1 平面點集與多元函數(shù)實施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容。通過本次教學(xué)，學(xué)生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負責(zé)人簽字 年 月 日數(shù)學(xué)分析3教案 授課時間 2006.9.21 第 4 次課 授課章節(jié)第十六章第一節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時安排3使用教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊）（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版劉玉璉等編著數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊），高等

26、教育出版社1982年版教學(xué)目的與要求：1了解平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義2了解的完備性教學(xué)重點，難點：重點：平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義難點：掌握的完備性定理教學(xué)內(nèi)容：§1 平面點集與多元函數(shù)在前面各章中，我們所討論的函數(shù)都只限于一個自變量的函數(shù)，簡稱一元函數(shù).但是在更多的問題中所遇到的是多個自變量的函數(shù).例如，矩形的面積，描述了面積和長、寬這兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系.又如，燒熱的鐵塊中每一點的溫度與該點的位置之間有著確定的函數(shù)關(guān)系，即當鐵塊中點的位置用坐標表示時，溫度由這三個變量所確定.如果進一步考慮上述鐵塊的冷卻過程，那么溫度還與時間有關(guān)，即的值由這四個

27、變量所確定.這種兩個、三個或四個自變量的函數(shù)，分別稱為二元、三元或四元函數(shù)，一般統(tǒng)稱為多元函數(shù).多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，因此它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì)，但也由于自變量由一個增加到多了，產(chǎn)生了某些新的內(nèi)容，讀者對這些內(nèi)容尤其要加以注意.對于多元函數(shù)，我們將著重討論二元函數(shù).在掌握了二元函數(shù)的有關(guān)理論與研究方法之后，我們可以把它推廣到一般的多元函數(shù)中去.一元函數(shù)的定義域是實數(shù)軸上的點集；二元函數(shù)的定義域?qū)⑹亲鴺似矫嫔系狞c集.因此，在討論二元函數(shù)之前，有必要了解有關(guān)平面點集的一些基本概念.一 平面點集由平面解析幾何知道，當在平面上確定了一個坐標系（今后如不特別指出，都假定是直角坐標系）數(shù)學(xué)分析3教

28、案之后，所有有序?qū)崝?shù)對與平面上所有的點之間建立了一一對應(yīng).因此，今后將把“數(shù)對”與“平面上的點”這兩種說法看作是完全等同的.這種確定了坐標系的平面,成為坐標平面.坐標平面上滿足某種條件的點的集合，稱為平面點集,并記作例如全平面上的點所組成的點集是 平面上以原點為中心，為半徑的圓內(nèi)所有的點的集合是而集合則為一矩形及其內(nèi)部所有點的全體，為書寫上的方便，也常把它記作.平面點集與分別稱為為以點為中心的圓鄰域與方鄰域（圖16-1）.由于點的任一圓鄰域可以包含在點的某一方鄰域之內(nèi)（反之亦然），因此，通常用“點的鄰域”或“點的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域，并以記號或來表示，點的空心鄰域是指或 并用記號或來表示

29、.下面利用鄰域來描述點和點集之間的關(guān)系.任意一點與任意一個點集之間必有以下三種關(guān)系之一：(i) 內(nèi)點若存在點的某鄰域，使得，則稱點是點集的內(nèi)點；的全體內(nèi)點構(gòu)成的集合成為的內(nèi)部，記作. (ii) 外點若存在點的某鄰域，使得,則稱是點集的外點. (iii) 界點若在點的任何鄰域內(nèi)既含有屬于的點，又含有不屬于的點，則稱是集合的界點.即對任何正數(shù)，恒有 數(shù)學(xué)分析3教案，其中是關(guān)于全平面的余集,的全體界點構(gòu)成的邊界，記作.的內(nèi)點必定屬于；的外點必定不屬于；的界點可能屬于，也可能不屬于. 點與點集的上述關(guān)系是按“點在內(nèi)或在外”來區(qū)分的.此外，還可按在點的近旁是否密集著中無窮多個點而構(gòu)成另一類關(guān)系： (i)

30、 聚點若在點的任何空心鄰域內(nèi)都含有中的點，則稱是的聚點，聚點本身可能屬于，也可能不屬于.(ii) 孤立點若點，但不是的聚點，即存在某一正數(shù)，使，則稱點是的孤立點.顯然，孤立點一定是界點；內(nèi)點和非孤立的界點一定是聚點；既不是聚點，又不是孤立點，則必為外點.例 1 設(shè)平面點集. 滿足的一切點都是的內(nèi)點；滿足的一切點是的界點，它們都屬于；滿足的一切點也是的界點，但它們都不屬于；點集連同它外圓邊界上的一切點都是的聚點.根據(jù)點集中所屬點的特征，我們再來定義一些重要的平面點集. 開集若平面點集所屬的每一點都是的內(nèi)點（即 ），則稱 為開集. 閉集若平面點集的所有聚點都屬于，則稱為閉集.若點集沒有聚點，這時也

31、稱為閉集.在前面列舉的平面點集中，(2)所表示的點集是開集；(3)所表示的點集是閉集；(4)所表示的點集既非開集，有非閉集；而且(1)所表示的點集既是開集又是閉集.此外，還約定既是開集又是閉集.可以證明，在一切平面點集中，只有 與是既開又閉的點集.開域若非空開集具有連通性，即中任意兩點之間都可用一條完全含于的有限折線（由有限條直線段連接而成的折線）相連接，則稱為開域（或稱連通開集）. 閉域開域連同其邊界所成的點集稱為閉域. 區(qū)域開域、閉域、或者開域連同其邊界點所成的點集，統(tǒng)稱為區(qū)域. 在上述諸例中，(2)是開域，(3)是閉域，(1)既是開域又是閉域. 又如雖然是開集，但因象限之間不具有連通性，

32、所以它不是開域，也不是區(qū)域.有界點集對于平面點集，若存在某一正數(shù)，使得，其中是坐標原點（也可以是其他固定點），則稱是有界點集.否則就是無界點集.上述(2)、(3)、(4)都是有界點集，(1)、(5)則是無界點集.數(shù)學(xué)分析3教案為有界點集的另一個等價說法是：存在矩形區(qū)域. 點集的有界性還可用點集的直徑來反映，所謂點集的直徑，就是，其中表示與兩點之間的距離，當?shù)淖鴺朔謩e為和時，則于是，當且僅當為有限值時是有界點集. 根據(jù)距離概念，讀者不難證明如下的三角形不等式，即對上任何三點和，皆有二 上的完備性定理反映實數(shù)系完備性的幾個等價定理，構(gòu)成了一元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).現(xiàn)在把這些定理推廣到，它們同樣是二元

33、函數(shù)極限理論的基礎(chǔ).為此，先給出平面點列的收斂性概念. 定義 1 設(shè)為平面點列,為一固定點.若對任給的正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當時，有，則稱點列收斂于點,記作 或 .在坐標平面中，以與分別表示與時，顯然等價于.同樣地，當以表示點與之距離時，也就等價于.由于點列極限這兩種等價形式都是數(shù)列極限，因此立即得到下述關(guān)于平面點列的收斂原理.定理 16.1 (柯西準則) 平面點列收斂的充要條件是：任給正數(shù)，存在正整數(shù)，使得當時，對一切正整數(shù)，都有 （6）證 必要性 設(shè)，則由三角不等式及點列收斂定義，對所給，存在正整數(shù)，當（也有）時，恒有數(shù)學(xué)分析3教案， 應(yīng)用三角形不等式，立刻得到（6）式.充分性 當（6）式

34、成立時，則同時有這說明數(shù)列和都滿足柯西收斂準則（定理 2.10），所以它們都收斂.設(shè).從而由點列收斂概念推得收斂于點 （本節(jié)習(xí)題5）.定理 16.2 (閉域套定理) 設(shè)是中的閉域列，它滿足；(i) (ii) 則存在惟一的點 證 任取點列由于,因此,從而有(圖16-2)由定理16.1知道存在,使得 .任意取定，對任何正整數(shù)有再令，由于是閉域，從而必定是閉集(本節(jié)習(xí)題4).因此作為的聚點必定屬于，即最后證明的惟一性.若還有則由得到即閉域套定理顯然是中閉區(qū)間套定理(定理7.1)的直接推廣.定理 16.3 (聚點定理) 設(shè)為有界無限點集，則在中至少有一個聚點.證 現(xiàn)用閉域套定理來證明.由于是平面有界集

35、合，因此存在一個閉正方形包含它.連接正方形對邊中點，把分成四個小的閉正方形，則在這四個小閉正方形中，至少有一個小閉正方形含有中無限多個 點. 數(shù)學(xué)分析3教案記這個小閉正方形為 .再對正方形 如上法分成四個更小的閉正方形，其中又至少有一個小閉正方形含有的無限多個點.如此下去得到一個閉正方形序列(圖16-3)：容易看到這個閉正方形序列的邊長隨著趨向于無限而趨向于零.于是由閉域套定理，存在一點 現(xiàn)在證明 就是的聚點.任取的鄰域，當充分大之后，正方形的邊長可小于，即有.又由的取法知道中含有的無限多個點，這就表明是的聚點. 推論 有界無限點列必存在收斂子列. 證明可仿照中的相應(yīng)命題(定理7.2推論) 定

36、理 16.4 (有限覆蓋定理) 設(shè) 為一有界閉域，為一開域族，它覆蓋了(即),則在中必存在有限個開域 ，它們同樣覆蓋了(即). 本定理的證明與中的有限覆蓋定理(定理7.3)相仿，在此從略.在更一般的情況下，可將定理16.4中的改設(shè)為有界閉集，而 為一族開集，此時定理結(jié)論依然成立. 數(shù)學(xué)分析3教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題： 1(1)(3)(5)(7) ，3下次課預(yù)習(xí)要點16.2 二元函數(shù)的極限實施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容。通過本次教學(xué)，學(xué)生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負責(zé)人簽字 年 月 日數(shù)學(xué)分析3教案 授課時間 2006.9.26 第 5 次課 授課章節(jié)第十六章第一節(jié)

37、 第二節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時安排3使用教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊）（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版劉玉璉等編著數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學(xué)目的與要求：（1）掌握二元及多元函數(shù)的定義（2）掌握二元函數(shù)的極限的定義（3）熟悉判別極限存在性的基本方法教學(xué)重點，難點：重點：二元函數(shù)的極限的定義難點：判別極限存在性的方法教學(xué)內(nèi)容：三 二元函數(shù) 函數(shù)(或映射)是兩個集合之間的一種確定的對應(yīng)關(guān)系

38、.實數(shù)集到實數(shù)集的映射是一元函數(shù)，現(xiàn)在定義二元函數(shù). 定義 2 設(shè)平面點集，若按照某種對應(yīng)法則，中每一點都有惟一確定的實數(shù)與之對應(yīng)，則稱為定義在上的二元函數(shù)(或稱為到的一個映射)，記作 (7)且稱為的定義域；所對應(yīng)的為在點的函數(shù)值，記作或；全體函數(shù)值的集合為的值域，記作.通常還把的坐標與稱為的自變量，而把稱為因變量.在映射意義下，上述稱為的象，稱為的原象.當把和它對應(yīng)的象數(shù)學(xué)分析3教案一起組成三維數(shù)組時，三維歐氏空間中的點集便是二元函數(shù)的圖象.通常的圖象是一空間曲面，的定義域便是該曲面在平面上的投影.為方便起見，由(7)式所確定的二元函數(shù)也記作 或 且當它的定義域不會被誤解的情況下，也簡單地說

39、“函數(shù)”或“函數(shù)” . 例 2 函數(shù) 的圖象是中的一個平面，其定義域是，值域是. 例 3 函數(shù) 的定義域是平面上的單位圓域，值域為區(qū)間，它的圖象是以原點為中心的單位球面的上半部分(圖16-4). 例 4 是定義在整個平面上的函數(shù)，它的圖象是過原點的雙曲拋物面(圖16-5). 例 5 是定義在上的函數(shù)，值域是全體非負整數(shù)，它的圖形如圖16-6所示. 若二元函數(shù)的值域是有界數(shù)集，則稱該函數(shù)為有界函數(shù)，如例3中函數(shù)；若值域是無界數(shù)集，則稱該函數(shù)為無界函數(shù)，如例2、4、5中的函數(shù). 四 元函數(shù) 所有個有序?qū)崝?shù)組的全體稱為維向量空間，簡稱維空間，記作.其中每個有序?qū)崝?shù)組稱為中的一個點；個實數(shù)是這個點的坐

40、標.設(shè)為中的點集，若有某個對應(yīng)法則，使中每一點 ，都有惟一的一個實數(shù)與之對應(yīng)，則稱為定義在上的元函數(shù)(或稱為到的一個映射)，記作 (8)也常把元函數(shù)簡寫成或 (9)對于后一種被稱為“點函數(shù)”的寫法，它可使多元函數(shù)與一元函數(shù)在形式上盡量保持一致，以便仿照一元函數(shù)學(xué)分析3教案數(shù)的辦法來處理多元函數(shù)中的許多問答；同時還可把二元函數(shù)的某些論斷推廣到 元函數(shù).§2 二元函數(shù)的極限一 二元函數(shù)的極限 定義 1 設(shè)為定義在上的二元函數(shù)，為的一個聚點，是一個確定的實數(shù)，若對任給的正數(shù)，總存在某正數(shù)，使得當時，都有，則稱當時，以為極限，記作 (1)在對于不致產(chǎn)生誤解時，也可簡單地寫作當分別用坐標表示時

41、，式也常寫作例 1 依定義驗證 證 因為先限制在點的的方鄰域內(nèi)討論，于是有所以數(shù)學(xué)分析3教案設(shè)為任給的正數(shù)，取，則當 時，就有. 例 2 設(shè) 證明 證 對函數(shù)的自變量作極坐標變換 ，這時等價于對于任何都有.由于因此，對任何，只須取，當時，不管取什么值都有即 下述定理及其推論相當于數(shù)列極限的子列定理于一元函數(shù)極限的海涅歸結(jié)原則(而且證明方法也相似).讀者可通過它們進一步認識定義1中“”所包含的意義. 定理 16.5 的充要條件是：對于的任一子集，只要是的聚點，就有 推論 1 設(shè),是的聚點，若不存在，則 也不存在. 推論 2 設(shè),是它們的聚點，若存在極限 ，但，則不存在.推論 3 極限存在的充要條

42、件是：對于中的任意滿足條件 且的點列，它所對應(yīng)的函數(shù)列都收斂.數(shù)學(xué)分析3教案下面兩個例子是它們的應(yīng)用.例 3 討論 當時是否存在極限.解 當動點沿著直線而趨于定點時，由于此時 ， 因而有 這一結(jié)果說明動點沿不同斜率的直線趨于原點時，對應(yīng)的極限值也不同，因此所討論的極限不存在. 例 4 二元函數(shù) 如圖167所示，當沿任何直線趨于原點時，相應(yīng)的都趨于零，但這并不表明此函數(shù)在時極限存在.因為當點沿拋物線趨于點時，將趨于，所以極限不存在. 數(shù)學(xué)分析3教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：16.1 6 (2),8 (2)(4)(6)16.2 1 (1)(3)下次課預(yù)習(xí)要點16.2 二元函數(shù)的累次極限以及重極限與累次極

43、限的關(guān)系實施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容。通過本次教學(xué)，學(xué)生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負責(zé)人簽字 年 月 日數(shù)學(xué)分析3教案 授課時間 2006.9.28 第 6 次課 授課章節(jié)第十六章第二節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時安排3使用教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊）（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版劉玉璉等編著數(shù)學(xué)分析講義（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學(xué)目的與要求：(1) 掌握二元函數(shù)的

44、累次極限的定義(2) 了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法(3) 熟悉判別極限存在性的基本方法(4) 較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來處理極限存在性問題教學(xué)重點，難點：重點：二元函數(shù)的累次極限的定義難點：重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系教學(xué)內(nèi)容：上一次課我們講了當時， 極限存在的概念，接下來獻給出當時，趨于(非正常極限)的定義. 定義 2 設(shè)為二元函數(shù)的定義域，是的一個聚點，若對任給正數(shù)，總存在點的一個鄰域，使得當時，都有，則稱當時，存在非正常極限，記作或仿此可類似定義： 與 數(shù)學(xué)分析3教案例 5 設(shè) 證明 證 因為 ，對任給正數(shù)，取，就有 由此推得 即

45、 這就證得結(jié)果（該函數(shù)在原點附近得圖像參見圖16-8）.二元函數(shù)極限的四則運算法則與一元函數(shù)極限四則運算法則相仿，特別把看作點函數(shù)時，相應(yīng)定理的證法也完全相同，這里就不再一一列出.二 累次極限在上一段所研究的極限中，兩個自變量同時以任何方式趨于.這種極限也稱為重極限.在這一段里，我們要考察與依一定的先后順序相繼趨于與時的極限，這種極限稱為累次極限.定義 3 設(shè)是的聚點，是的聚點，二元函數(shù)在集合上有定義，若對每一個存在極限由于此極限一般與有關(guān)，因此記作而且進一步存在極限則稱此極限為二元函數(shù)先對后對的累次極限，并記作或簡記作 類似地可以定義先對后對的累次極限 數(shù)學(xué)分析3教案累次極限與重極限是兩個不

46、同的概念，它們的存在性沒有必然的蘊含關(guān)系.下面三個例子將說明這一點. 例 6 設(shè) 由例3已經(jīng)知道時的重極限不存在.但當時有從而有 同理可得 即的兩個累次極限都存在而且相等.例 7 設(shè) 它關(guān)于原點的兩個累次極限分別為與 當沿斜率不同的直線時，容易驗證所得極限也不同.因此該函數(shù)的重極限不存在(下面的定理16.6將告訴我們，這是一個必然的結(jié)果). 例 8 設(shè) 它關(guān)于原點的兩個累次極限都不存在.這是因為對任何當時的第二項不存在極限.同理，對任何當時的第一項也不存在極限.但是由于故按定義1知道的重極限存在，且定理16.6 若在點存在極限與累次極限 ，則它們必相等.數(shù)學(xué)分析3教案證 設(shè)則對任給的正數(shù)，總存

47、在正數(shù)，使得當時，有 (2)另由存在累次極限之假設(shè)，對任一滿足不等式 (3)的，存在極限 (4)回到不等式(2),讓其中，由(4)可得 (5)故由(3) ，(5)證得，即由這個定理可導(dǎo)出如下兩個便于應(yīng)用的推論. 推論 1 若累次極限，和重極限 都存在，則三者相等. 推論 2 若累次極限 與 存在但不相等，則重極限必不存在. 請注意，定理16.6保證了在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等.(本節(jié)習(xí)題3則給出較定理弱一些的充分條件.)但它們對另一個累次極限的存在性卻得不出什么結(jié)論，對此只需考察本節(jié)習(xí)題2(5). 推論1給出了累次極限次序可交換的一個充分條件；推論2可被用來否定重極限的存在性(如例7).數(shù)學(xué)分析3教案復(fù)習(xí)思考題、作業(yè)題：1(5), 2(2)(4)(6), 3下次課預(yù)習(xí)要點二元函數(shù)的連續(xù)性實施情況及教學(xué)效果分析完成教學(xué)內(nèi)容。通過本次教學(xué)，學(xué)生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學(xué)院審核意見學(xué)院負責(zé)人簽字 年 月 日數(shù)學(xué)分析3教案 授課時間 2006.9.30 第 7 次課 授課章節(jié)第十六章第三節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學(xué)方法與手段講授課時安排3使用教材和主要參考書華東師范大學(xué)主編數(shù)學(xué)分析（上、下冊）（第三版），高等教育出版社2001年版吳良森等編著數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)書（上、下冊），高等教育出版社2004年版馬順業(yè)編著數(shù)學(xué)分析研究，山東大學(xué)出版社1996年版