數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料

1、09-10年微積分 (高數(shù)(三) （下）期末復(fù)習(xí)指導(dǎo)第六章 定積分一本章重點(diǎn)定積分的基本性質(zhì)，定積分的計(jì)算，變上限定積分的求導(dǎo)法。二復(fù)習(xí)要求1. 理解定積分的概念，知道定積分與不定積分的區(qū)別。函數(shù)的不定積分是求導(dǎo)和求微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。函數(shù)在上的定積分是一個(gè)和式的極限，是一個(gè)確定的數(shù)，這個(gè)數(shù)只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)。2. 理解并記住定積分的基本性質(zhì)。3. 理解變上限定積分的概念，熟練掌握求變上限定積分的導(dǎo)數(shù)的方法： 4. 熟練掌握用牛頓萊布尼茲公式求定積分的方法。 牛萊公式將定積分與不定積分這兩個(gè)截然不同的概念聯(lián)系起來，求定積分的值，只需求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)，再應(yīng)用牛萊公式即可。因而計(jì)算定

2、積分也與求不定積分類似，有直接積分法，換元積分法，分部積分法。5. 熟練掌握定積分的換元積分法，分部積分法。注意：用換元法求定積分時(shí)，換元必?fù)Q限，無需還元；若是湊微分而不顯示“換元”，則積分限不作變換。 定積分適用分部積分的類型及、的選擇都與不定積分類似，唯一的區(qū)別是定積分的分部積分公式中每一項(xiàng)都帶著積分上、下限，而且為了減少出錯(cuò)，要及時(shí)計(jì)算出的值。6. 熟記奇偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分的性質(zhì)。7熟練掌握用定積分求平面圖形的面積及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。三例題選解 例1.求極限解: 這是型不定式，應(yīng)用羅彼塔法則及變上限定積分求導(dǎo)法，有原式 （無窮小代換） 例2. 求定積分： （3

3、）.解: 根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間積分的性質(zhì)，有：本題被積函數(shù)含一次函數(shù)的根式，且不能用直接積分法和湊微分求解，適用第二類換元法。令則；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).= （3）顯然本題積分 屬適用分步積分的類型.,根據(jù)，可得 .例3. 求、圍成的平面圖形的面積以及該平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體的體積。解：由所給曲線方程解得交點(diǎn)：（1，1），（2，），(2，2) .畫出平面圖形如下:（1）求平面圖形的面積.視平面圖形為形區(qū)域，得平面圖形面積為： （2）求旋轉(zhuǎn)體的體積.視平面圖形為形區(qū)域，有：四練習(xí)題及參考答案 1、求極限 2、求積分 （3）.3、求由曲線，直線以及圍成的平面區(qū)域D的面積，及區(qū)域D繞X軸旋轉(zhuǎn)一周而

4、成的旋轉(zhuǎn)體的體積。參考答案：1、 2、 0； ；（3）3、 .自我復(fù)習(xí)習(xí)題六 (A) 4. (3)、(5). 5.(3)、（6）、(8)、(10) .6.（1）、(3) . 12.(1) 、(3)、 (5) . 14.(1)、(2) .21. (2)、(5). 25.(1)、(2).第七章 無窮級數(shù)一本章重點(diǎn)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性的判定(包括正項(xiàng)級數(shù)的收斂性判定；交錯(cuò)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂的判定)。冪級數(shù)的收斂域的確定。利用冪級數(shù)的性質(zhì)求冪級數(shù)的和函數(shù)。二復(fù)習(xí)要求1. 理解級數(shù)的基本概念； 記住級數(shù)的基本性質(zhì)，特別是：若級數(shù)收斂，則必有，但時(shí)，級數(shù)未必收斂。2. 熟記等比級數(shù) 的斂散性：當(dāng)|q|&l

5、t;1時(shí)，等比級數(shù)收斂到；當(dāng)|q|1時(shí)，等比級數(shù)發(fā)散。3. 熟記p級數(shù) 的斂散性：當(dāng)p>1時(shí)，p級數(shù)收斂；當(dāng)p1時(shí)，p級數(shù)發(fā)散。4. 熟練掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判定。(1)首先考察是否有，若有則必發(fā)散；(2)通常可先考慮用比值判別法判定正項(xiàng)級數(shù)的收斂性，特別是中含或的情形。(3)考慮用比較判別法時(shí)，應(yīng)先對通項(xiàng)作初步估計(jì)，再用適合的p級數(shù)的通項(xiàng)與之比較作出判定。5.熟練掌握交錯(cuò)級數(shù) 絕對收斂還是條件收斂的判定。(1)先考查是否收斂，若收斂，則 是絕對收斂；(2)若 發(fā)散，則用萊布尼茲判別法判定 是否收斂，若收斂，則為條件收斂。6. 會(huì)求冪級數(shù)的收斂域。(1) 對不缺項(xiàng)的冪級數(shù)（允許缺有限項(xiàng)）

6、，取其后項(xiàng)與前項(xiàng)系數(shù)之比的絕對值取極限：確定收斂半徑及收斂區(qū)間。 對有缺項(xiàng)的冪級數(shù)（指缺無限多項(xiàng)），則直接取其后項(xiàng)與前項(xiàng)之比的絕對值取極限：然后根據(jù)定理7.12確定收斂半徑R及收斂區(qū)間。(2) 討論(-R, R)的端點(diǎn) 及處級數(shù)的收斂性，并寫出收斂域(收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn))。7. 熟記冪級數(shù)的性質(zhì)，特別是冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)微分、逐項(xiàng)積分的性質(zhì)，并能應(yīng)用它們及如下公式求冪級數(shù)的和函數(shù)。 (1)(2) 三.例題選講例1判定下列級數(shù)的斂散性，對交錯(cuò)級數(shù)需說明是絕對收斂還是條件收斂(1). (2) (3) 解：(1)令當(dāng)時(shí)，顯然 收斂，故原級數(shù)收斂。小結(jié)：利用p 級數(shù)作比較標(biāo)準(zhǔn)，用比較判別法來

7、判別正項(xiàng)級數(shù)的斂散性時(shí)，用等價(jià)無窮小代換是一個(gè)簡便實(shí)用的方法，常用的等價(jià)無窮小代換還有：時(shí)， ，（參見教材P79）。 (2) ，事實(shí)上 ，根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法的極限形式，因?yàn)橛忠驗(yàn)?發(fā)散，所以發(fā)散；但有:記，所以交錯(cuò)級數(shù)條件收斂。(3). ，根據(jù)正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法，由收斂絕對收斂。例2 求冪級數(shù) 的收斂半徑和收斂區(qū)間.解：所給冪級數(shù)為缺項(xiàng)情形,由根據(jù)定理7-12,當(dāng)即時(shí),所給冪級數(shù)絕對收斂; 當(dāng)即時(shí),所給冪級數(shù)發(fā)散.所以冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間為.例3.求的收斂半徑,收斂區(qū)間及和函數(shù),解: 記,則冪級數(shù)收斂半徑為:,收斂區(qū)間為.且當(dāng)時(shí),冪級數(shù)為,其通項(xiàng)求極限冪級數(shù)的收斂域也是記冪級數(shù)和

8、函數(shù)為.即(1) 當(dāng)時(shí),=（2）當(dāng)時(shí)，2綜上: 四練習(xí)題及參考答案1. 判定下列級數(shù)的斂散性。(1) (2) (3) (4) 2. 求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間.3. 求的收斂半徑,收斂區(qū)間及和函數(shù)。參考答案：1.(1).絕對收斂 ；(2).絕對收斂；(3)條件收斂 ; (4) 發(fā)散.2. 3 . 自我復(fù)習(xí)：習(xí)題七(A)4. (7) ,(8) ；5,(4); 7.(1),(3);8. (1),(3); 9. (5),(12); 10. (2).第八章 多元函數(shù)一本章重點(diǎn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)及全微分；多元函數(shù)的極值與條件極值；二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算。二復(fù)習(xí)要求1.理解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函

9、數(shù)的定義域；2.熟練掌握二元函數(shù)一階及二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，會(huì)求二元函數(shù)的全微分；3.熟練掌握多元復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法，特別是抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)法；4.熟練掌握利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法導(dǎo)出的隱函數(shù)求導(dǎo)公式： 若可確定隱函數(shù)則 求 時(shí)，均視為地位平等的自變量。即求時(shí)，視為常數(shù)，其余類似。5.掌握二元函數(shù)極值的概念及判斷法,能熟練用拉格朗日乘數(shù)法求多元(二, 三元)函數(shù)的條件極值.6. 理解二重積分的概念，掌握并理解二重積分的基本性質(zhì)；7.熟練掌握二重積分在直角坐標(biāo)系下化為二次積分進(jìn)行計(jì)算的方法，并能熟練把一種次序的二次積分交換為另一種次序的二次積分。8.會(huì)用二重積分求平面區(qū)域的面積。三例題選解：

10、例1.求下列函數(shù)的全微分或偏導(dǎo)數(shù).(1).,求;(2). 確定是的函數(shù),求。解: (1) , (2).本題函數(shù)為隱函數(shù).令, 則有例2.設(shè)，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求分析：顯然f是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，記,則其中 為自變量，為中間變量，由復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法，注意到要看成是，所以有： 例3將二次積分 交換積分次序.解：由已知,原積分區(qū)域?yàn)閅 型區(qū)域： ，畫出積分區(qū)域D的略圖如下所示：視D 為X型區(qū)域： ，得原式例4 計(jì)算,其中區(qū)域D由曲線,直線及所圍成.解：畫出區(qū)域D略圖如下：視區(qū)域D為X型,則:.例5.要造一個(gè)容積等于定數(shù)的長方體無蓋水池應(yīng)如何選擇水池的尺寸,方可使它的表面積最小. 分析與解:設(shè)長方

11、體的長, 寬, 高分別為則水池表面積本問題歸結(jié)為求三元函數(shù)在約束條件下的最小值點(diǎn).有兩種解法:法1. 用拉格朗日乘數(shù)法.令解方程組:得唯一可疑點(diǎn):因本問題存在最小值點(diǎn),故唯一的可疑點(diǎn)即所求.即當(dāng)水池長, 寬分別為,高為時(shí),水池表面積最小.法2 由約束方程解得:代入得:于是求條件極值轉(zhuǎn)化為求上面得到的二元函數(shù)的無條件極值.解方程組:得,經(jīng)檢驗(yàn)(自己可用極值的充分條件檢驗(yàn))就是唯一的極小值點(diǎn),也就是最小值點(diǎn),即當(dāng)水池長, 寬分別為,高 時(shí),水池表面積最小.四練習(xí)題及參考答案 1. 求下列函數(shù)的全微分或偏導(dǎo)數(shù).(1).,求;(2). 確定是的函數(shù),求.2. 求例2所示函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù). 3.交換二次積分的積分次序。 4. 計(jì)算 , 其中D是由曲線與圍成的平面區(qū)域.5. 求三元函數(shù)在約束條件下的最大值.參考答案：1. 2. 3. 4. 5., 自我復(fù)習(xí)：習(xí)題八(A) 8.(3),(5), 14.(2). 16.(2), (3).19.(3), 27.(2). 29. (3),(4),(5).30.(1).第九章 常微分方程簡介一本章重點(diǎn)求解一階線性微分方程。二復(fù)習(xí)要求1. 知道微分方程的定義、階、通解、特解等概念；2. 熟練掌握可分離變量的微分方程的解法；3. 知道可化為形如的