數(shù)字濾波器的實現(xiàn)

1、第五章 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)學(xué)習(xí)要求：掌握數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)流圖的表示方法；了解各種濾波器結(jié)構(gòu)的特點；掌握量化噪聲、有限字長效應(yīng)和系數(shù)量化對數(shù)字濾的影響。§5.0 概述§5.1 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) §5.2 量化與量化誤差 §5.3 有限字長運算對數(shù)字濾波器的影響§5.4 系數(shù)量化對數(shù)字濾波器的影響§5.5IIR DF 量化引起的非線性效應(yīng)      §5.6   小結(jié) 第五章 

2、; 數(shù)字濾波器的實現(xiàn)數(shù)字濾波器的實現(xiàn)：     確定數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)表示形式選擇網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式軟硬件實現(xiàn)       一個數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)一般可表示為有理函數(shù)形式： H (z)=   這是 IIR濾波器的形式，都為0時就是一個 FIR 濾波器。這個系統(tǒng)，也可用差分方程來表示：                   &#

3、160;   即一個輸出序列是其過去點的線性組合加上當(dāng)前輸入序列與過去點輸入序列的線性組合。  除了與當(dāng)前的輸入有關(guān)，同時還與過去的輸入和過去的輸出有關(guān)，系統(tǒng)是帶有記憶的。 對于上面的算式，可以化成不同的計算形式，如直接計算、分解為多個有理函數(shù)相加、分解為多個有理函數(shù)相乘等等，不同的計算形式也就表現(xiàn)出不同的計算結(jié)構(gòu)，而不同的計算結(jié)構(gòu)可能會帶來不同的效果，或者是實現(xiàn)簡單，編程方便，或者是計算精度較高等等。 數(shù)字信號總是通過采樣和轉(zhuǎn)換得到的，而轉(zhuǎn)換的位數(shù)是有限的（一般6、8、10、12、16位、現(xiàn)在也有24位），所以存在量化誤差。另外，計算機(jī)中的數(shù)的表示也總

4、是有限字長的，經(jīng)此表示的濾波器的系數(shù)同樣存在量化誤差，在計算過程中因有限字長也會造成誤差。數(shù)字濾波器實現(xiàn)過程中要考慮這些量化誤差的影響。量化誤差主要有三種 。              A/D變換量化效應(yīng)；              系數(shù)的量化效應(yīng)；        數(shù)字運算的有限

5、字長效應(yīng)。§5.1 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)1.數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號流圖表示2.信號流圖的轉(zhuǎn)置定理3.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)    4.FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)5.1 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號流圖表示差分方程中數(shù)字濾波器的基本操作： 加法，乘法，延遲。 為了簡單，通常用信號流圖來表示其運算結(jié)構(gòu)。對于加法、乘系數(shù)及延遲這三種基本運算，其方框圖和信號流圖的表示形式如圖5.1。                &

6、#160;                   例：一階數(shù)字濾波器，                             &#

7、160;   其方框圖和信號流圖表示如圖5.2和圖5.3。                                             &

8、#160;                            實際上，信號流圖是由許多節(jié)點和各節(jié)點間的定向支路連成的網(wǎng)絡(luò)。從上面的流圖可以很清楚地看到每個節(jié)點上的信號值。節(jié)點的信號值也稱為節(jié)點變量或節(jié)點狀態(tài)。圖5.3中有8個節(jié)點，每個節(jié)點的狀態(tài)分別為：       

9、  x(n)                      y(n-1)          x(n-1)               

10、     a1x(n-1)+b1y(n-1)           a0x(n)+ a1x(n-1)+b1y(n-1)   輸入節(jié)點（源點）x(n)          =               &

11、#160;        輸出節(jié)點（阱點）y(n)= 信號流圖的轉(zhuǎn)置定理：對于單個輸入、單個輸出的系統(tǒng)，通過反轉(zhuǎn)網(wǎng)絡(luò)中的全部支路的方向，并且將其輸入和輸出互換，得出的流圖具有與原始流圖同樣的傳遞函數(shù)。            信號流圖轉(zhuǎn)置的作用：        轉(zhuǎn)變運算結(jié)構(gòu)；        

12、 驗證由流圖計算的傳遞函數(shù)正確與否。     運算結(jié)構(gòu)對濾波器的實現(xiàn)很重要，尤其對于一些定點運算的處理機(jī)，結(jié)構(gòu)的不同將會影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟(jì)性以及運算速度等許多重要的性能。對于無限長單位沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器與有限長單位沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器，它們在結(jié)構(gòu)上各有自己不同的特點，下面將分別加以討論。IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點：為遞歸型結(jié)構(gòu)，存在反饋環(huán)路。      同一傳遞函數(shù)，有各種不同的結(jié)構(gòu)形式。其主要結(jié)構(gòu)有：(直接型 ,正準(zhǔn)型,級聯(lián)型,并聯(lián)型) (1) 直接型 &#

13、160;      直接由數(shù)字濾波器的差分方程所得的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。一個階可用階差分方程描述：                        上述結(jié)構(gòu)缺點：· 需要個延遲器，太多。· 系數(shù)ai、bi對濾波器性能的控制不直接，調(diào)整不方便，對極點、零點的控制難，一個ai、bi的改變會影響系統(tǒng)所有零點或極點的分布。

14、83; 對字長變化敏感（對、的準(zhǔn)確度要求嚴(yán)格）。· 易不穩(wěn)定。      階數(shù)高時，上述影響更大。（2）正準(zhǔn)型（直接型） 上面直接型結(jié)構(gòu)中的兩部分可分別看作是兩個獨立的網(wǎng)絡(luò)(H1(z)和H2(z)，它們串接構(gòu)成總的傳遞函數(shù)：H(z)=H1(z)H2(z) 由傳遞函數(shù)的不變性（系統(tǒng)是線性的），得 H(z)= H2(z)H1(z)       兩條延時鏈中對應(yīng)的延時單元內(nèi)容完全相同，可合并，得到直接型結(jié)構(gòu)，也稱為正準(zhǔn)型。     

15、      優(yōu)點：延遲線減少一半，變?yōu)閭€，可節(jié)省寄存器或存儲單元。缺點：缺點同直接I型。    通常在實際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)（一、二階）來實現(xiàn)。（3）級聯(lián)型（串聯(lián)）  一個階傳遞函數(shù)可用它的零、極點表示，即把它的分子、分母都表達(dá)為因子形式     由于系數(shù)、都是實數(shù)，極、零點只有實根和共軛復(fù)根，所以有其中 、為 實根 ， 、為復(fù)根，且， 將共軛因子合并為實系數(shù)二階因子，單實根因子看作二階因子的一個特例，則 &#

16、160;    其中 、為實系數(shù)。      用若干二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)構(gòu)成濾波器，二階子網(wǎng)絡(luò)稱為二階節(jié)，可用正準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。優(yōu)點：· 簡化實現(xiàn)，用一個二階節(jié)，通過變換系數(shù)就可實現(xiàn)整個系統(tǒng)； · 極、零點可單獨控制、調(diào)整，調(diào)整、只單獨調(diào)整了第 對零點，調(diào)整、則單獨調(diào)整了第對極點； · 各二階節(jié)零、極點的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運算誤差； · 可流水線操作。 缺點： 二階節(jié)電平難控制，電平大易導(dǎo)致溢出，電平小則使信噪比減小。（4）并聯(lián)型 將傳遞函數(shù)展開成部分分式之和，可

17、用并聯(lián)方式構(gòu)成濾波器。            將上式中的共軛復(fù)根成對地合并為二階實系數(shù)的部分分式，                 上式表明，可用一個常數(shù)、 L個一階網(wǎng)絡(luò)和 M個二階網(wǎng)絡(luò) 并聯(lián)組成濾波器H(z)，結(jié)構(gòu)如下圖：     特點：  優(yōu)點:1)系統(tǒng)   1)實現(xiàn)簡單，只

18、需一個二階節(jié)系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成；        2)極點位置可單獨調(diào)整；        3)運算速度快（可并行進(jìn)行）；        4)各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響，總的誤差小，對字長要求低。 缺點：不能直接調(diào)整零點，因多個二階節(jié)的零點并不是整個系統(tǒng)函數(shù)的零點，當(dāng)需要準(zhǔn)確的傳輸零點時，級聯(lián)型最合適。FIR數(shù)字濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式 FIR數(shù)字濾波器特點：

19、 主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，無反饋，但在頻率采樣結(jié)構(gòu)等某些結(jié)構(gòu)中也包含有反饋的遞歸部分。 它的傳遞函數(shù)和差分方程一般有如下形式：                       其基本結(jié)構(gòu)有以下幾種：直接型,級聯(lián)型,線性相位型,頻率采樣型。（1）直接型（卷積型、橫截型）   直接型也稱卷積型或橫截型。稱為卷積型，是因差分方程是信號的卷積形式；稱為橫截型，是因為濾波器是一條輸入x(

20、n)延時鏈的橫向結(jié)構(gòu)。直接由差分方程可畫出對應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：        直接型的轉(zhuǎn)置：                  （2）級聯(lián)型（串聯(lián)型）    當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點時，可將傳遞函數(shù)分解為二階實系數(shù)因子的形式：          于是可

21、用二階節(jié)級聯(lián)構(gòu)成：            每一個二階節(jié)控制一對零點。缺點：所需要的系數(shù)比直接型的多；     乘法運算多于直接型。（3）線性相位型 FIR的重要特點是可設(shè)計成具有嚴(yán)格線性相位的濾波器，此時滿足偶對稱或奇對稱條件。     偶對稱時，N為偶數(shù)， H(z)=           

22、;          N為奇數(shù)， H(z)=由上兩式，可得到線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu)，如圖5.13、圖5.14。  線性相位型結(jié)構(gòu)的乘法次數(shù)為偶數(shù)時，減為；為奇數(shù)時，減為。而 橫截型結(jié)構(gòu)乘法次數(shù)為N次。（4）頻率采樣型上一章討論了FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣設(shè)計法，一個有限長序列可以由相同長度頻域采樣值唯一確定?，F(xiàn)是長度為的序列，因此也可對傳遞函數(shù)H(z)在單位圓上作等分采樣，這個采樣值也就是的離散付里葉變換值H(k)。      &#

23、160;      根據(jù)據(jù)上一章討論，用頻率采樣表達(dá)z函數(shù)的內(nèi)插公式為：               H(z)由和兩部分級聯(lián)而成。第一部分（部分）這是一個由節(jié)延時器組成的梳狀濾波器，它在單位圓上有個等分的零點：             其頻響為，如圖5.15。   &#

24、160;         第二部分（部分）是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò)：此一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個極點：該網(wǎng)絡(luò)在處的頻響為，是一個諧振頻率為的諧振器。這些并聯(lián)諧振器的極點正好各自抵消一個梳狀濾波器的零點，從而使這個頻率點的響應(yīng)等于。兩部分級聯(lián)后，得到頻率采樣型的總結(jié)構(gòu)，如圖5.16。          這一結(jié)構(gòu)的最大特點是它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在處的響應(yīng)，因此，控制濾波器的響應(yīng)很直接。   但它也有兩個缺點

25、：·       所有的系數(shù)和都是復(fù)數(shù)，計算復(fù)雜；·     系統(tǒng)的穩(wěn)定性差。因所有諧振器的極點都在單位圓上，考慮到系數(shù)量化的影響，有些極點實際上不能與梳狀濾波器的零點相抵消，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。但    改進(jìn)型的頻率采樣型結(jié)構(gòu)可克服上述缺點。改進(jìn)型的頻率采樣型結(jié)構(gòu)       為了克服一般頻率采樣型結(jié)構(gòu)的缺點，作了兩點改進(jìn)。· 將極點、零點移到半徑為(小于1)的 圓上，頻率采樣點也修正到半徑為的圓上，以解

26、決系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題；· 將一階子網(wǎng)絡(luò)的復(fù)共軛對合并成實系數(shù)的二階子網(wǎng)絡(luò)。這時，                    為了使系數(shù)為實數(shù)，將共軛復(fù)根合并，利用共軛復(fù)根的對稱性，有                   

27、60;   同樣，因是實數(shù)，其也是圓周共軛對稱的，即                       因此可將第k個及第N-k個諧振器合并為一個二階網(wǎng)絡(luò)         = =其中這個二端網(wǎng)絡(luò)是一個有限Q值的諧振器，諧振器頻率為。     除了共軛極點外，還有實數(shù)

28、極點，分兩種情況：· 當(dāng)為偶數(shù)時，有一對實數(shù)極點z=+/- r，對應(yīng)于兩個一階網(wǎng)絡(luò)：      ，這時，      頻率采樣型結(jié)構(gòu)如圖5.18，其中三種內(nèi)部子網(wǎng)絡(luò)如圖5.17。所有子網(wǎng)絡(luò)都是遞歸型結(jié)構(gòu)。· 當(dāng)為奇數(shù)時，只有一個實數(shù)極點，對應(yīng)一個一階網(wǎng)絡(luò)H0(Z)。這時，                    

29、        頻率采樣型結(jié)構(gòu)小結(jié)：優(yōu)點：   選頻性好，適于窄帶濾波，這時大部分H(k)為零，只有較少的二階子網(wǎng)絡(luò)；  不同的FIR濾波器，若長度相同，可通過改變系數(shù)用同一個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)；     復(fù)用性好。缺點：結(jié)構(gòu)復(fù)雜，采用的存貯器多。  （5）快速算法（鏈接快速卷積、分段濾波）     卷積濾波可利用，通過快速卷積來實現(xiàn)。  §5.2 量化與量化誤差1.二進(jìn)制數(shù)的表示2.定點制的量化

30、誤差：截尾處理 舍入處理3.A/D變換的量化效應(yīng)   4.量化噪聲通過線性系統(tǒng)52 量化與量化誤差    用有限字長的二進(jìn)制數(shù)表示數(shù)字系統(tǒng)時的三種誤差源：    對系統(tǒng)中各系數(shù)的量化誤差（受計算機(jī)中存貯器的字長影響）；    對輸入模擬信號的量化誤差（受A/D的精度或位數(shù)的影響）；   運算過程誤差，如溢出、舍入及誤差累積等（受計算機(jī)精度的影響）。 521 二進(jìn)制數(shù)的表示         

31、;  (定點表示 ,浮點表示 )（1）定點表示 整個運算中，小數(shù)點在數(shù)碼中的位置固定不變，稱為定點制。一般定點制總是把數(shù)限制在±1之間。最高位為符號位，0為正，1為負(fù)；小數(shù)點緊跟在符號位后；數(shù)的本身只有小數(shù)部分，稱為“尾數(shù)”。定點作加減法時可能會超出±1，稱為“溢出”；做乘法不溢出，但字長要增加一倍。為保證字長不變，相乘后，一般要對增加的尾數(shù)作截尾或舍入處理，故帶來誤差。另一種定點數(shù)的表示是把數(shù)看成整數(shù)。 定點數(shù)的表示分為三種：         (原碼,反碼,補碼) 

32、;  設(shè)有一個（b+1）位碼定點數(shù)， 01b，則原碼表示為            例：1.111-0.875 , 0.0100.25 反碼表示：（正數(shù)同原碼，負(fù)數(shù)則將原碼中的尾數(shù)按位求反）          例： -0.8751.000 , 0.250.010 補碼表示（正數(shù)同原碼，負(fù)數(shù)則將原碼中的尾數(shù)求反并在最低位加1）      &#

33、160;    例：-0.8751.001 , 0.250.010 （2）浮點表示 x=±M×2±c，  浮點數(shù)相加要對階作處理，加完后再對和數(shù)作歸一化；作乘法時尾數(shù)相乘再截尾或舍入。一般，浮點數(shù)都用較長的字長，精度較高，所以我們討論誤差影響主要針對定點制。          定點制的量化誤差定點制中的乘法運算后會使字長增加，例如原來是b位字長，運算后增長到b1位，需對尾數(shù)作量化處理使b1位字長降低到b位。   量化

34、處理方式有兩種：截尾：保留b位，拋棄余下的尾數(shù)； 舍入：按最接近的值取b位碼。 兩種處理方式產(chǎn)生的誤差不同，另外，碼制不同，誤差也不同。 1、截尾處理：    (正數(shù), 負(fù)數(shù), )     對正數(shù)，三種碼形式相同，一個b1位的正數(shù)x為：       用·T表示截尾處理，則       截尾誤差為：可見，ET0，i全為1時，ET有最大誤差：      

35、;      一般2-b1<<2-b，令 q=2-b，則正數(shù)的截尾誤差為：                  -qET0 其中q稱為“量化寬度”或“量化階”，代表b位字長可表示的最小數(shù)。     對負(fù)數(shù)，因三種碼表示方式不同，所以誤差也不同。· 原碼（0=1）：    ， ET=xT-x

36、= ， 0ETq · 補碼（）：                          因所以。 · 反碼（）：                     

37、      （與負(fù)數(shù)的原碼相同）     量化處理的非線性特性如圖。 補碼的截尾誤差均是負(fù)值，原碼、反碼的截尾誤差取決于數(shù)的正負(fù)，正數(shù)時為負(fù)，負(fù)數(shù)時為正。2、      舍入處理通過位上加1后作截尾處理實現(xiàn)。就是通常的四舍五入法，按最接近的數(shù)取量化，所以不論正數(shù)、負(fù)數(shù)，還是原碼、補碼、反碼，誤差總是在之間，以表示對x作舍入處理。舍入處理的誤差比截尾處理的誤差小，所以對信號進(jìn)行量化時多用舍入處理。5.2.3 A/D變換的量化效應(yīng)    A

38、/D變換器分為兩部分：·  采樣：時間離散，幅度連續(xù)；· A/D：數(shù)字編碼，即量化，對采樣序列作舍入或截尾處理，得到有限字長數(shù)字信號。本節(jié)討論這一過程中的量化效應(yīng)。   對一個采樣數(shù)據(jù)作截尾和舍入處理，則有截尾量化誤差：舍入量化誤差：上兩式給出了量化誤差的范圍，要精確知道誤差的大小很困難。一般我們總是通過分析量化噪聲的統(tǒng)計特性來描述量化誤差?？梢杂靡唤y(tǒng)計模型來表示A/D的量化過程。              

39、;     其中e(n)就是量化誤差，對其統(tǒng)計特性作如下假定： e(n)是平穩(wěn)隨機(jī)序列；   與信號x(n)不相關(guān)；   e(n)任意兩個值之間不相關(guān)，即為白噪聲； e(n)具有均勻等概率分布。    由上述假定知，量化誤差是一個與信號序列完全不相關(guān)的白噪聲序列，稱為量化噪聲（是一個加性白噪聲）。量化噪聲的方差及量化信噪比           由于是均勻等概率分布，因此對補碼的截尾及舍入誤差，其概

40、率密度分布如圖5.22，                      則誤差的均值和方差為： 截尾量化噪聲：  有直流分量，會影響信號的頻譜結(jié)構(gòu)。 舍入量化噪聲：可見，量化噪聲的方差與A/D變換的字長直接有關(guān)，字長越長，量化噪聲越小。定義量化信噪比： （為信號能量）         

41、; 用對數(shù)表示：       · 字長每增加一位，SNR提高6dB；· 信號能量越大，SNR越高。注：因信號本身有一定的信噪比，單純增加字長提高量化信噪比無意義。例：已知在-1至1之間均勻分布，求8、12位時A/D的SNR。     解： 因均勻分布，所以有：            均值：       

42、60;    方差：當(dāng)b=8位時，SNR=54；當(dāng)位時，SNR=78dB。5.2.4 量化噪聲通過線性系統(tǒng)       為了單獨分析量化噪聲通過系統(tǒng)后的影響，將系統(tǒng)近似看作是完全理想的（即具有無限精度的線性系統(tǒng)）。在輸入端線性相加的噪聲，在系統(tǒng)的輸出端也是線性相加的。            系統(tǒng)的輸出輸出噪聲為      如為舍入噪聲，則輸出噪聲的方差為：&

43、#160;           由于是白色的，各變量之間互不相關(guān)，即          代入上式，得由Parseval定理, 得 其中H(z)得全部極點在單位圓內(nèi)，表示沿單位圓逆時針方向的圓周積分。或            如為截尾噪聲，則輸出噪聲中還有一直流分量   

44、   例題例3：一個8位A/D變換器（），其輸出作為IIR濾波器的輸入，求濾波器輸出端的量化聲功率，已知IIR濾波器的傳遞函數(shù)為：解：由于A/D的量化效應(yīng)，濾波器輸入端的噪聲功率為：                       濾波器的輸出噪聲功率為：其積分值等于單位圓內(nèi)所有極點留數(shù)的和。單位圓內(nèi)有一個極點z=0.999，所以也可以直接由時域形式計算，由H(

45、z)知：h(n)=0.99n u(n) 所以              結(jié)果相同。§5.3 有限字長運算對數(shù)字濾波器的影響1.定點相乘運算統(tǒng)計分析的流圖  2.IIR 的有限字長效應(yīng)   3.FIR的有限字長效應(yīng)§5.3 有限字長運算對數(shù)字濾波器的影響數(shù)字濾波器的實現(xiàn)，涉及到兩種運算：相乘、相加。     定點制運算中，每一次乘法運算之后都要作一次舍入（截尾）處理，因此引入了非

46、線性誤差。 采用統(tǒng)計分析的方法，將舍入誤差作為獨立噪聲e(n)迭加在信號上，因而仍可用線性流圖表示定點相乘。                    定點相乘運算的流圖表示   對舍入噪聲e(n)作如下的假設(shè)：     平穩(wěn)隨機(jī)噪聲序列；     與輸入序列x(n)不相關(guān)；     白色噪聲，各噪聲之間也互不相關(guān)； &#

47、160;   在量化間隔上均勻分布（即每個噪聲都是均勻等概率分布）。 有了這些條件，整個系統(tǒng)就可作為線性系統(tǒng)處理。每一個輸入噪聲可用線性離散系統(tǒng)的理論求出其輸出噪聲，所有輸出噪聲線性迭加得到總的噪聲輸出。IIR 的有限字長效應(yīng)                             (例2)例1：一階IIR濾

48、波器，其輸入與輸出關(guān)系可用差分方程表示為：      乘積項將引入一個舍入噪聲，如圖，求系統(tǒng)的輸出噪聲方差。   解：上述一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 傳遞函數(shù)為 由于是迭加在輸入端的，故由造成的輸出誤差為： 輸出噪聲方差   或    由上兩式均可求得 可見字長越大，輸出噪聲越小，同樣的方法可分析其它高階數(shù)字濾波器的輸出噪聲。  例2：一個二階IIR低通數(shù)字濾波器，傳遞函數(shù)為    采用定點制算法，尾數(shù)作舍入處理，分別計算其直接

49、型、級聯(lián)型、并聯(lián)型三種結(jié)構(gòu)的輸出噪聲方差。 解：直接型 直接型結(jié)構(gòu)流圖如下圖所示 圖中、分別為系數(shù)0.04、1.7、-0.72相乘后引入的舍入噪聲。采用線性迭加的方法，從圖上可看出輸出噪聲ef(n)是這三個舍入噪聲通過網(wǎng)絡(luò)形成的，如圖，因此 其中 是H0(z)的單位脈沖響應(yīng)。 輸出噪聲的方差為： 將和B(z)=代入，利用留數(shù)定理得：           級聯(lián)型    將H(z)分解為：       

50、0;     結(jié)構(gòu)流圖為                     由圖中可見，噪聲、通過網(wǎng)絡(luò)，               噪聲通過網(wǎng)絡(luò)，           

51、   即         其中 和分別是H0(z)和H2(z)的單位脈沖響應(yīng)。 因此     將 代入，得：      思考：如果將H1(z)和H2(z)次序顛倒，結(jié)果會怎樣？ 答：因1/（1-0.92）> 1/（1-0.82），所以，輸出噪聲將變大。并聯(lián)型    將H(z)分解為部分分式     其結(jié)構(gòu)如圖：     并聯(lián)型結(jié)構(gòu)有

52、4個系數(shù)，有4個舍入噪聲，其中    只通過網(wǎng)絡(luò)，    網(wǎng)絡(luò)。 輸出噪聲方差為：   代入B1(z)和B2(z)及的值，得： 比較三種運算結(jié)構(gòu)的誤差大小，可知 直接型 > 級聯(lián)型 > 并聯(lián)型該結(jié)論對IIR 數(shù)字濾波器有普遍意義。原因： l         直接型：所有舍入誤差都經(jīng)過全部網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)，反饋過程中誤差積累，輸出誤差很大。 l       &

53、#160; 級聯(lián)型：每個舍入誤差只通過其后的反饋環(huán)節(jié)，而不通過它前面的反饋環(huán)節(jié)，誤差小于直接型。 l          并聯(lián)型 ：每個并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的舍入誤差只通過本身的反饋環(huán)節(jié)，與其它并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)無關(guān)，積累作用小，誤差小。         因此，從有效字長效應(yīng)看，直接型（、型）結(jié)構(gòu)最差，運算誤差最大，高階時應(yīng)避免采用；級聯(lián)型結(jié)構(gòu)較好；并聯(lián)型結(jié)構(gòu)最好，運算誤差最小。      

54、 由此得到一個重要結(jié)論：IIR濾波器的有限字長效應(yīng)與它的結(jié)構(gòu)有關(guān)。FIR的有限字長效應(yīng)         ( 舍入噪聲,動態(tài)范圍) IIR濾波器的分析方法同樣適用于FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器無反饋環(huán)節(jié)（頻率采樣型結(jié)構(gòu)除外），舍入誤差不會產(chǎn)生非線性振蕩，所以只要對有限字長效應(yīng)作統(tǒng)計分析即可。 以橫截型結(jié)構(gòu)為例分析FIR的有限字長效應(yīng)。   舍入噪聲      N階FIR濾波器的傳遞函數(shù)為：      

55、         無限精度下，直接型結(jié)構(gòu)的差分方程為：             有限精度運算時，        每一次相乘后產(chǎn)生一個舍入噪聲       故   輸出噪聲為：      &#

56、160;            結(jié)構(gòu)流圖如圖，由圖中可見，所有舍入噪聲都直接加在輸出端，因此輸出噪聲是這些噪聲的簡單和。 于是，    可見，輸出噪聲方差與字長有關(guān)，與階數(shù)有關(guān)，越高，運算誤差越大，或者，在相同運算精度下，階數(shù)越高的濾波器需要的字長越長。               

57、60;  例題例：FIR濾波器，N=10，b=17時 ，            而N=1024，b=17時       其均方根值為                 因此，濾波器輸出中，小數(shù)點后只有4位數(shù)字是有效的，第5位數(shù)以后將受到有限字長舍入噪聲的嚴(yán)重影響。 動態(tài)范

58、圍： 定點運算時，動態(tài)范圍的限制，常導(dǎo)致FIR的輸出結(jié)果發(fā)生溢出。FIR輸出為：                定點數(shù)不產(chǎn)生溢出的條件：    為使結(jié)果不溢出，對采用標(biāo)度因子A，使        由此確定A。 §5.4 系數(shù)量化對數(shù)字濾波器的影響1.極點位置靈敏度  2. 影響極點位置靈敏度的幾個因

59、素  §5.4 系數(shù)量化對數(shù)字濾波器的影響     下面討論第三種量化效應(yīng)系數(shù)的量化效應(yīng)。由于濾波器的所有系數(shù)必須以有限長度的二進(jìn)碼存放在存儲器中，所以必然對理想系數(shù)值取量化，造成實際系數(shù)存在誤差，使零、極點位置發(fā)生偏離，影響濾波器性能。一個設(shè)計正確的濾波器，在實現(xiàn)時，由于系數(shù)量化，可能會導(dǎo)致實際濾波器特性不符合要求，嚴(yán)重時甚至使單位圓內(nèi)的極點偏離到單位圓外，從而系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。 系數(shù)量化對濾波器的影響與字長有關(guān)，也與濾波器的結(jié)構(gòu)有關(guān)，選擇合適的結(jié)構(gòu)可減小系數(shù)量化的影響。 一、    一.

60、60; 極點位置靈敏度      影響極點位置靈敏度的關(guān)系，例1，例2 極點位置靈敏度：指極點位置對各系數(shù)偏差的敏感程度。極點位置的變化將直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。所以極點位置靈敏度可以反映系數(shù)量化對濾波器穩(wěn)定性的影響。     設(shè)系數(shù)量化后的傳遞函數(shù)為：                 量化后的系數(shù)為：     

61、0;           分析量化偏差造成的極點位置偏差。    設(shè)理想極點為，則            系數(shù)量化后，極點變?yōu)?，位置偏差是由引起的。?：一個共軛極點在虛軸附近的帶通濾波器如圖（） ，一個共軛極點在實軸附近的低通濾波器如圖（），比較它們極點位置靈敏度的大小。        

62、    解：兩者比較，前者極點間的距離大，因此前者的極點位置靈敏度比后者小，即系數(shù)量化程度相同時，前者造成的誤差比后者小。例2：一個三對共軛極點的濾波器 H(z)，用三種結(jié)構(gòu)實現(xiàn)。      1）用直接型結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，極點分布如圖a ,      2）用三個二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)的形式實現(xiàn)，極點分布如圖b ，              

63、60;           3）用三個并聯(lián)二階網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)，極點分布如圖b 。                         解： 如圖，直接型因極點分布密，極點位置靈敏度高。 級聯(lián)和并聯(lián)型，極點分布稀，極點位置靈敏度下降。     影響極點

64、位置靈敏度的幾個因素：  1.與零極點的分布狀態(tài)有關(guān)；與極點間距離成反比；  2.與濾波器結(jié)構(gòu)有關(guān)。高階直接型極點位置靈敏度高；并聯(lián)或級聯(lián)型，系數(shù)量化誤差的影響小。高階濾波器應(yīng)避免用直接型，盡量分解為低階網(wǎng)絡(luò)的級聯(lián)或并聯(lián)。 影響極點位置靈敏度的關(guān)系下面討論對的影響：    因每個極點都與個系數(shù)bi有關(guān)，                      ， i=1,

65、2,N 決定了量化影響的大小，也就是極點zi對系數(shù)bk變化的靈敏度。大，對的影響大。小，對的影響小。 靈敏度的計算：     由可求靈敏度。利用偏微分關(guān)系：                  故                  

66、      因                                       故        

67、               上式分母中每個因子(zi-zk)是一個由極點zk指向極點zi的矢量，整個分母是所有極點指向極點zi的矢量積，這些矢量越長，即極點彼此間的距離越遠(yuǎn)，極點位置靈敏度越低；矢量越短，極點位置靈敏度越高。即極點位置靈敏度與極點間距離成反比。   §5.5 IIR 濾波器量化引起的非線性效應(yīng)1. IIR DF零輸入極限環(huán)振蕩   2.大信號極限環(huán)振蕩  &#

68、160;   3. 小結(jié)§5.5 IIR 數(shù)字濾波器量化引起的非線性效應(yīng)在IIR濾波器中由于存在反饋環(huán)，舍入處理在一定條件下會引起非線性振蕩，如零輸入極限環(huán)振蕩和大信號極限環(huán)振蕩。 一、 IIR 數(shù)字濾波器的零輸入極限環(huán)振蕩在數(shù)字濾波器中由于運算過程的尾數(shù)處理，使系統(tǒng)引入了非線性環(huán)節(jié)，使數(shù)字濾波器變成了非線性系統(tǒng)，對于非線性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)存在反饋時，在一定條件下會產(chǎn)生振蕩。 IIR濾波器是一個反饋系統(tǒng)，在無限精度情況下，如果它的所有極點都在單位圓內(nèi)，這個系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，當(dāng)輸入信號為零時，IIR 數(shù)字濾波器的響應(yīng)將逐步變?yōu)榱恪５粸V波器，以有限精

69、度進(jìn)行運算時，當(dāng)輸入信號為零時，由于舍入引入的非線性作用，輸出有時不會趨于零，而是停留在某一數(shù)值上，或在一定數(shù)值間振蕩，這種現(xiàn)象稱為“零輸入極限環(huán)振蕩”。例： 設(shè)一階IIR DF的傳遞函數(shù)為：              無限精度運算時，差分方程為：            y（n）=ay(n-1)+x(n)    在定點制中，每次乘法運算后都必須對尾數(shù)作舍入處理，這時的非線性差分方