數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)

1、第五章 數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)要求：掌握數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)流圖的表示方法；了解各種濾波器結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)；掌握量化噪聲、有限字長(zhǎng)效應(yīng)和系數(shù)量化對(duì)數(shù)字濾的影響。§5.0 概述§5.1 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) §5.2 量化與量化誤差 §5.3 有限字長(zhǎng)運(yùn)算對(duì)數(shù)字濾波器的影響§5.4 系數(shù)量化對(duì)數(shù)字濾波器的影響§5.5IIR DF 量化引起的非線性效應(yīng)      §5.6   小結(jié) 第五章 

2、; 數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)：     確定數(shù)字濾波器的數(shù)學(xué)表示形式選擇網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式軟硬件實(shí)現(xiàn)       一個(gè)數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù)一般可表示為有理函數(shù)形式： H (z)=   這是 IIR濾波器的形式，都為0時(shí)就是一個(gè) FIR 濾波器。這個(gè)系統(tǒng)，也可用差分方程來(lái)表示：                   &#

3、160;   即一個(gè)輸出序列是其過(guò)去點(diǎn)的線性組合加上當(dāng)前輸入序列與過(guò)去點(diǎn)輸入序列的線性組合。  除了與當(dāng)前的輸入有關(guān)，同時(shí)還與過(guò)去的輸入和過(guò)去的輸出有關(guān)，系統(tǒng)是帶有記憶的。 對(duì)于上面的算式，可以化成不同的計(jì)算形式，如直接計(jì)算、分解為多個(gè)有理函數(shù)相加、分解為多個(gè)有理函數(shù)相乘等等，不同的計(jì)算形式也就表現(xiàn)出不同的計(jì)算結(jié)構(gòu)，而不同的計(jì)算結(jié)構(gòu)可能會(huì)帶來(lái)不同的效果，或者是實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，編程方便，或者是計(jì)算精度較高等等。 數(shù)字信號(hào)總是通過(guò)采樣和轉(zhuǎn)換得到的，而轉(zhuǎn)換的位數(shù)是有限的（一般6、8、10、12、16位、現(xiàn)在也有24位），所以存在量化誤差。另外，計(jì)算機(jī)中的數(shù)的表示也總

4、是有限字長(zhǎng)的，經(jīng)此表示的濾波器的系數(shù)同樣存在量化誤差，在計(jì)算過(guò)程中因有限字長(zhǎng)也會(huì)造成誤差。數(shù)字濾波器實(shí)現(xiàn)過(guò)程中要考慮這些量化誤差的影響。量化誤差主要有三種 。              A/D變換量化效應(yīng)；              系數(shù)的量化效應(yīng)；        數(shù)字運(yùn)算的有限

5、字長(zhǎng)效應(yīng)。§5.1 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)1.數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖表示2.信號(hào)流圖的轉(zhuǎn)置定理3.IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)    4.FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)5.1 數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu) 數(shù)字網(wǎng)絡(luò)的信號(hào)流圖表示差分方程中數(shù)字濾波器的基本操作： 加法，乘法，延遲。 為了簡(jiǎn)單，通常用信號(hào)流圖來(lái)表示其運(yùn)算結(jié)構(gòu)。對(duì)于加法、乘系數(shù)及延遲這三種基本運(yùn)算，其方框圖和信號(hào)流圖的表示形式如圖5.1。                &

6、#160;                   例：一階數(shù)字濾波器，                             &#

7、160;   其方框圖和信號(hào)流圖表示如圖5.2和圖5.3。                                             &

8、#160;                            實(shí)際上，信號(hào)流圖是由許多節(jié)點(diǎn)和各節(jié)點(diǎn)間的定向支路連成的網(wǎng)絡(luò)。從上面的流圖可以很清楚地看到每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的信號(hào)值。節(jié)點(diǎn)的信號(hào)值也稱為節(jié)點(diǎn)變量或節(jié)點(diǎn)狀態(tài)。圖5.3中有8個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)分別為：       

9、  x(n)                      y(n-1)          x(n-1)               

10、     a1x(n-1)+b1y(n-1)           a0x(n)+ a1x(n-1)+b1y(n-1)   輸入節(jié)點(diǎn)（源點(diǎn)）x(n)          =               &

11、#160;        輸出節(jié)點(diǎn)（阱點(diǎn)）y(n)= 信號(hào)流圖的轉(zhuǎn)置定理：對(duì)于單個(gè)輸入、單個(gè)輸出的系統(tǒng)，通過(guò)反轉(zhuǎn)網(wǎng)絡(luò)中的全部支路的方向，并且將其輸入和輸出互換，得出的流圖具有與原始流圖同樣的傳遞函數(shù)。            信號(hào)流圖轉(zhuǎn)置的作用：        轉(zhuǎn)變運(yùn)算結(jié)構(gòu)；        

12、 驗(yàn)證由流圖計(jì)算的傳遞函數(shù)正確與否。     運(yùn)算結(jié)構(gòu)對(duì)濾波器的實(shí)現(xiàn)很重要，尤其對(duì)于一些定點(diǎn)運(yùn)算的處理機(jī)，結(jié)構(gòu)的不同將會(huì)影響系統(tǒng)的精度、誤差、穩(wěn)定性、經(jīng)濟(jì)性以及運(yùn)算速度等許多重要的性能。對(duì)于無(wú)限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(IIR)數(shù)字濾波器與有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器，它們?cè)诮Y(jié)構(gòu)上各有自己不同的特點(diǎn)，下面將分別加以討論。IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)IIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：為遞歸型結(jié)構(gòu)，存在反饋環(huán)路。      同一傳遞函數(shù)，有各種不同的結(jié)構(gòu)形式。其主要結(jié)構(gòu)有：(直接型 ,正準(zhǔn)型,級(jí)聯(lián)型,并聯(lián)型) (1) 直接型 &#

13、160;      直接由數(shù)字濾波器的差分方程所得的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。一個(gè)階可用階差分方程描述：                        上述結(jié)構(gòu)缺點(diǎn)：· 需要個(gè)延遲器，太多。· 系數(shù)ai、bi對(duì)濾波器性能的控制不直接，調(diào)整不方便，對(duì)極點(diǎn)、零點(diǎn)的控制難，一個(gè)ai、bi的改變會(huì)影響系統(tǒng)所有零點(diǎn)或極點(diǎn)的分布。

14、83; 對(duì)字長(zhǎng)變化敏感（對(duì)、的準(zhǔn)確度要求嚴(yán)格）。· 易不穩(wěn)定。      階數(shù)高時(shí)，上述影響更大。（2）正準(zhǔn)型（直接型） 上面直接型結(jié)構(gòu)中的兩部分可分別看作是兩個(gè)獨(dú)立的網(wǎng)絡(luò)(H1(z)和H2(z)，它們串接構(gòu)成總的傳遞函數(shù)：H(z)=H1(z)H2(z) 由傳遞函數(shù)的不變性（系統(tǒng)是線性的），得 H(z)= H2(z)H1(z)       兩條延時(shí)鏈中對(duì)應(yīng)的延時(shí)單元內(nèi)容完全相同，可合并，得到直接型結(jié)構(gòu)，也稱為正準(zhǔn)型。     

15、      優(yōu)點(diǎn)：延遲線減少一半，變?yōu)閭€(gè)，可節(jié)省寄存器或存儲(chǔ)單元。缺點(diǎn)：缺點(diǎn)同直接I型。    通常在實(shí)際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)（一、二階）來(lái)實(shí)現(xiàn)。（3）級(jí)聯(lián)型（串聯(lián)）  一個(gè)階傳遞函數(shù)可用它的零、極點(diǎn)表示，即把它的分子、分母都表達(dá)為因子形式     由于系數(shù)、都是實(shí)數(shù)，極、零點(diǎn)只有實(shí)根和共軛復(fù)根，所以有其中 、為 實(shí)根 ， 、為復(fù)根，且， 將共軛因子合并為實(shí)系數(shù)二階因子，單實(shí)根因子看作二階因子的一個(gè)特例，則 &#

16、160;    其中 、為實(shí)系數(shù)。      用若干二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)構(gòu)成濾波器，二階子網(wǎng)絡(luò)稱為二階節(jié)，可用正準(zhǔn)型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。優(yōu)點(diǎn)：· 簡(jiǎn)化實(shí)現(xiàn)，用一個(gè)二階節(jié)，通過(guò)變換系數(shù)就可實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)； · 極、零點(diǎn)可單獨(dú)控制、調(diào)整，調(diào)整、只單獨(dú)調(diào)整了第 對(duì)零點(diǎn)，調(diào)整、則單獨(dú)調(diào)整了第對(duì)極點(diǎn)； · 各二階節(jié)零、極點(diǎn)的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運(yùn)算誤差； · 可流水線操作。 缺點(diǎn)： 二階節(jié)電平難控制，電平大易導(dǎo)致溢出，電平小則使信噪比減小。（4）并聯(lián)型 將傳遞函數(shù)展開(kāi)成部分分式之和，可

17、用并聯(lián)方式構(gòu)成濾波器。            將上式中的共軛復(fù)根成對(duì)地合并為二階實(shí)系數(shù)的部分分式，                 上式表明，可用一個(gè)常數(shù)、 L個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)和 M個(gè)二階網(wǎng)絡(luò) 并聯(lián)組成濾波器H(z)，結(jié)構(gòu)如下圖：     特點(diǎn)：  優(yōu)點(diǎn):1)系統(tǒng)   1)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，只

18、需一個(gè)二階節(jié)系統(tǒng)通過(guò)改變輸入系數(shù)即可完成；        2)極點(diǎn)位置可單獨(dú)調(diào)整；        3)運(yùn)算速度快（可并行進(jìn)行）；        4)各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響，總的誤差小，對(duì)字長(zhǎng)要求低。 缺點(diǎn)：不能直接調(diào)整零點(diǎn)，因多個(gè)二階節(jié)的零點(diǎn)并不是整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)需要準(zhǔn)確的傳輸零點(diǎn)時(shí)，級(jí)聯(lián)型最合適。FIR數(shù)字濾波器網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)形式 FIR數(shù)字濾波器特點(diǎn)：

19、 主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，無(wú)反饋，但在頻率采樣結(jié)構(gòu)等某些結(jié)構(gòu)中也包含有反饋的遞歸部分。 它的傳遞函數(shù)和差分方程一般有如下形式：                       其基本結(jié)構(gòu)有以下幾種：直接型,級(jí)聯(lián)型,線性相位型,頻率采樣型。（1）直接型（卷積型、橫截型）   直接型也稱卷積型或橫截型。稱為卷積型，是因差分方程是信號(hào)的卷積形式；稱為橫截型，是因?yàn)闉V波器是一條輸入x(

20、n)延時(shí)鏈的橫向結(jié)構(gòu)。直接由差分方程可畫出對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：        直接型的轉(zhuǎn)置：                  （2）級(jí)聯(lián)型（串聯(lián)型）    當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí)，可將傳遞函數(shù)分解為二階實(shí)系數(shù)因子的形式：          于是可

21、用二階節(jié)級(jí)聯(lián)構(gòu)成：            每一個(gè)二階節(jié)控制一對(duì)零點(diǎn)。缺點(diǎn)：所需要的系數(shù)比直接型的多；     乘法運(yùn)算多于直接型。（3）線性相位型 FIR的重要特點(diǎn)是可設(shè)計(jì)成具有嚴(yán)格線性相位的濾波器，此時(shí)滿足偶對(duì)稱或奇對(duì)稱條件。     偶對(duì)稱時(shí)，N為偶數(shù)， H(z)=           

22、;          N為奇數(shù)， H(z)=由上兩式，可得到線性相位FIR濾波器的結(jié)構(gòu)，如圖5.13、圖5.14。  線性相位型結(jié)構(gòu)的乘法次數(shù)為偶數(shù)時(shí)，減為；為奇數(shù)時(shí)，減為。而 橫截型結(jié)構(gòu)乘法次數(shù)為N次。（4）頻率采樣型上一章討論了FIR數(shù)字濾波器的頻率采樣設(shè)計(jì)法，一個(gè)有限長(zhǎng)序列可以由相同長(zhǎng)度頻域采樣值唯一確定?，F(xiàn)是長(zhǎng)度為的序列，因此也可對(duì)傳遞函數(shù)H(z)在單位圓上作等分采樣，這個(gè)采樣值也就是的離散付里葉變換值H(k)。      &#

23、160;      根據(jù)據(jù)上一章討論，用頻率采樣表達(dá)z函數(shù)的內(nèi)插公式為：               H(z)由和兩部分級(jí)聯(lián)而成。第一部分（部分）這是一個(gè)由節(jié)延時(shí)器組成的梳狀濾波器，它在單位圓上有個(gè)等分的零點(diǎn)：             其頻響為，如圖5.15。   &#

24、160;         第二部分（部分）是一組并聯(lián)的一階網(wǎng)絡(luò)：此一階網(wǎng)絡(luò)在單位圓上有一個(gè)極點(diǎn)：該網(wǎng)絡(luò)在處的頻響為，是一個(gè)諧振頻率為的諧振器。這些并聯(lián)諧振器的極點(diǎn)正好各自抵消一個(gè)梳狀濾波器的零點(diǎn)，從而使這個(gè)頻率點(diǎn)的響應(yīng)等于。兩部分級(jí)聯(lián)后，得到頻率采樣型的總結(jié)構(gòu)，如圖5.16。          這一結(jié)構(gòu)的最大特點(diǎn)是它的系數(shù)H(k)直接就是濾波器在處的響應(yīng)，因此，控制濾波器的響應(yīng)很直接。   但它也有兩個(gè)缺點(diǎn)

25、：·       所有的系數(shù)和都是復(fù)數(shù)，計(jì)算復(fù)雜；·     系統(tǒng)的穩(wěn)定性差。因所有諧振器的極點(diǎn)都在單位圓上，考慮到系數(shù)量化的影響，有些極點(diǎn)實(shí)際上不能與梳狀濾波器的零點(diǎn)相抵消，使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。但    改進(jìn)型的頻率采樣型結(jié)構(gòu)可克服上述缺點(diǎn)。改進(jìn)型的頻率采樣型結(jié)構(gòu)       為了克服一般頻率采樣型結(jié)構(gòu)的缺點(diǎn)，作了兩點(diǎn)改進(jìn)。· 將極點(diǎn)、零點(diǎn)移到半徑為(小于1)的 圓上，頻率采樣點(diǎn)也修正到半徑為的圓上，以解

26、決系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題；· 將一階子網(wǎng)絡(luò)的復(fù)共軛對(duì)合并成實(shí)系數(shù)的二階子網(wǎng)絡(luò)。這時(shí)，                    為了使系數(shù)為實(shí)數(shù)，將共軛復(fù)根合并，利用共軛復(fù)根的對(duì)稱性，有                   

27、60;   同樣，因是實(shí)數(shù)，其也是圓周共軛對(duì)稱的，即                       因此可將第k個(gè)及第N-k個(gè)諧振器合并為一個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)         = =其中這個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)有限Q值的諧振器，諧振器頻率為。     除了共軛極點(diǎn)外，還有實(shí)數(shù)

28、極點(diǎn)，分兩種情況：· 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有一對(duì)實(shí)數(shù)極點(diǎn)z=+/- r，對(duì)應(yīng)于兩個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)：      ，這時(shí)，      頻率采樣型結(jié)構(gòu)如圖5.18，其中三種內(nèi)部子網(wǎng)絡(luò)如圖5.17。所有子網(wǎng)絡(luò)都是遞歸型結(jié)構(gòu)。· 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，只有一個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)，對(duì)應(yīng)一個(gè)一階網(wǎng)絡(luò)H0(Z)。這時(shí)，                    

29、        頻率采樣型結(jié)構(gòu)小結(jié)：優(yōu)點(diǎn)：   選頻性好，適于窄帶濾波，這時(shí)大部分H(k)為零，只有較少的二階子網(wǎng)絡(luò)；  不同的FIR濾波器，若長(zhǎng)度相同，可通過(guò)改變系數(shù)用同一個(gè)網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)；     復(fù)用性好。缺點(diǎn)：結(jié)構(gòu)復(fù)雜，采用的存貯器多。  （5）快速算法（鏈接快速卷積、分段濾波）     卷積濾波可利用，通過(guò)快速卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)。  §5.2 量化與量化誤差1.二進(jìn)制數(shù)的表示2.定點(diǎn)制的量化

30、誤差：截尾處理 舍入處理3.A/D變換的量化效應(yīng)   4.量化噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)52 量化與量化誤差    用有限字長(zhǎng)的二進(jìn)制數(shù)表示數(shù)字系統(tǒng)時(shí)的三種誤差源：    對(duì)系統(tǒng)中各系數(shù)的量化誤差（受計(jì)算機(jī)中存貯器的字長(zhǎng)影響）；    對(duì)輸入模擬信號(hào)的量化誤差（受A/D的精度或位數(shù)的影響）；   運(yùn)算過(guò)程誤差，如溢出、舍入及誤差累積等（受計(jì)算機(jī)精度的影響）。 521 二進(jìn)制數(shù)的表示         

31、;  (定點(diǎn)表示 ,浮點(diǎn)表示 )（1）定點(diǎn)表示 整個(gè)運(yùn)算中，小數(shù)點(diǎn)在數(shù)碼中的位置固定不變，稱為定點(diǎn)制。一般定點(diǎn)制總是把數(shù)限制在±1之間。最高位為符號(hào)位，0為正，1為負(fù)；小數(shù)點(diǎn)緊跟在符號(hào)位后；數(shù)的本身只有小數(shù)部分，稱為“尾數(shù)”。定點(diǎn)作加減法時(shí)可能會(huì)超出±1，稱為“溢出”；做乘法不溢出，但字長(zhǎng)要增加一倍。為保證字長(zhǎng)不變，相乘后，一般要對(duì)增加的尾數(shù)作截尾或舍入處理，故帶來(lái)誤差。另一種定點(diǎn)數(shù)的表示是把數(shù)看成整數(shù)。 定點(diǎn)數(shù)的表示分為三種：         (原碼,反碼,補(bǔ)碼) 

32、;  設(shè)有一個(gè)（b+1）位碼定點(diǎn)數(shù)， 01b，則原碼表示為            例：1.111-0.875 , 0.0100.25 反碼表示：（正數(shù)同原碼，負(fù)數(shù)則將原碼中的尾數(shù)按位求反）          例： -0.8751.000 , 0.250.010 補(bǔ)碼表示（正數(shù)同原碼，負(fù)數(shù)則將原碼中的尾數(shù)求反并在最低位加1）      &#

33、160;    例：-0.8751.001 , 0.250.010 （2）浮點(diǎn)表示 x=±M×2±c，  浮點(diǎn)數(shù)相加要對(duì)階作處理，加完后再對(duì)和數(shù)作歸一化；作乘法時(shí)尾數(shù)相乘再截尾或舍入。一般，浮點(diǎn)數(shù)都用較長(zhǎng)的字長(zhǎng)，精度較高，所以我們討論誤差影響主要針對(duì)定點(diǎn)制。          定點(diǎn)制的量化誤差定點(diǎn)制中的乘法運(yùn)算后會(huì)使字長(zhǎng)增加，例如原來(lái)是b位字長(zhǎng)，運(yùn)算后增長(zhǎng)到b1位，需對(duì)尾數(shù)作量化處理使b1位字長(zhǎng)降低到b位。   量化

34、處理方式有兩種：截尾：保留b位，拋棄余下的尾數(shù)； 舍入：按最接近的值取b位碼。 兩種處理方式產(chǎn)生的誤差不同，另外，碼制不同，誤差也不同。 1、截尾處理：    (正數(shù), 負(fù)數(shù), )     對(duì)正數(shù)，三種碼形式相同，一個(gè)b1位的正數(shù)x為：       用·T表示截尾處理，則       截尾誤差為：可見(jiàn)，ET0，i全為1時(shí)，ET有最大誤差：      

35、;      一般2-b1<<2-b，令 q=2-b，則正數(shù)的截尾誤差為：                  -qET0 其中q稱為“量化寬度”或“量化階”，代表b位字長(zhǎng)可表示的最小數(shù)。     對(duì)負(fù)數(shù)，因三種碼表示方式不同，所以誤差也不同。· 原碼（0=1）：    ， ET=xT-x

36、= ， 0ETq · 補(bǔ)碼（）：                          因所以。 · 反碼（）：                     

37、      （與負(fù)數(shù)的原碼相同）     量化處理的非線性特性如圖。 補(bǔ)碼的截尾誤差均是負(fù)值，原碼、反碼的截尾誤差取決于數(shù)的正負(fù)，正數(shù)時(shí)為負(fù)，負(fù)數(shù)時(shí)為正。2、      舍入處理通過(guò)位上加1后作截尾處理實(shí)現(xiàn)。就是通常的四舍五入法，按最接近的數(shù)取量化，所以不論正數(shù)、負(fù)數(shù)，還是原碼、補(bǔ)碼、反碼，誤差總是在之間，以表示對(duì)x作舍入處理。舍入處理的誤差比截尾處理的誤差小，所以對(duì)信號(hào)進(jìn)行量化時(shí)多用舍入處理。5.2.3 A/D變換的量化效應(yīng)    A

38、/D變換器分為兩部分：·  采樣：時(shí)間離散，幅度連續(xù)；· A/D：數(shù)字編碼，即量化，對(duì)采樣序列作舍入或截尾處理，得到有限字長(zhǎng)數(shù)字信號(hào)。本節(jié)討論這一過(guò)程中的量化效應(yīng)。   對(duì)一個(gè)采樣數(shù)據(jù)作截尾和舍入處理，則有截尾量化誤差：舍入量化誤差：上兩式給出了量化誤差的范圍，要精確知道誤差的大小很困難。一般我們總是通過(guò)分析量化噪聲的統(tǒng)計(jì)特性來(lái)描述量化誤差。可以用一統(tǒng)計(jì)模型來(lái)表示A/D的量化過(guò)程。              

39、;     其中e(n)就是量化誤差，對(duì)其統(tǒng)計(jì)特性作如下假定： e(n)是平穩(wěn)隨機(jī)序列；   與信號(hào)x(n)不相關(guān)；   e(n)任意兩個(gè)值之間不相關(guān)，即為白噪聲； e(n)具有均勻等概率分布。    由上述假定知，量化誤差是一個(gè)與信號(hào)序列完全不相關(guān)的白噪聲序列，稱為量化噪聲（是一個(gè)加性白噪聲）。量化噪聲的方差及量化信噪比           由于是均勻等概率分布，因此對(duì)補(bǔ)碼的截尾及舍入誤差，其概

40、率密度分布如圖5.22，                      則誤差的均值和方差為： 截尾量化噪聲：  有直流分量，會(huì)影響信號(hào)的頻譜結(jié)構(gòu)。 舍入量化噪聲：可見(jiàn)，量化噪聲的方差與A/D變換的字長(zhǎng)直接有關(guān)，字長(zhǎng)越長(zhǎng)，量化噪聲越小。定義量化信噪比： （為信號(hào)能量）         

41、; 用對(duì)數(shù)表示：       · 字長(zhǎng)每增加一位，SNR提高6dB；· 信號(hào)能量越大，SNR越高。注：因信號(hào)本身有一定的信噪比，單純?cè)黾幼珠L(zhǎng)提高量化信噪比無(wú)意義。例：已知在-1至1之間均勻分布，求8、12位時(shí)A/D的SNR。     解： 因均勻分布，所以有：            均值：       

42、60;    方差：當(dāng)b=8位時(shí)，SNR=54；當(dāng)位時(shí)，SNR=78dB。5.2.4 量化噪聲通過(guò)線性系統(tǒng)       為了單獨(dú)分析量化噪聲通過(guò)系統(tǒng)后的影響，將系統(tǒng)近似看作是完全理想的（即具有無(wú)限精度的線性系統(tǒng)）。在輸入端線性相加的噪聲，在系統(tǒng)的輸出端也是線性相加的。            系統(tǒng)的輸出輸出噪聲為      如為舍入噪聲，則輸出噪聲的方差為：&

43、#160;           由于是白色的，各變量之間互不相關(guān)，即          代入上式，得由Parseval定理, 得 其中H(z)得全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，表示沿單位圓逆時(shí)針?lè)较虻膱A周積分。或            如為截尾噪聲，則輸出噪聲中還有一直流分量   

44、   例題例3：一個(gè)8位A/D變換器（），其輸出作為IIR濾波器的輸入，求濾波器輸出端的量化聲功率，已知IIR濾波器的傳遞函數(shù)為：解：由于A/D的量化效應(yīng)，濾波器輸入端的噪聲功率為：                       濾波器的輸出噪聲功率為：其積分值等于單位圓內(nèi)所有極點(diǎn)留數(shù)的和。單位圓內(nèi)有一個(gè)極點(diǎn)z=0.999，所以也可以直接由時(shí)域形式計(jì)算，由H(

45、z)知：h(n)=0.99n u(n) 所以              結(jié)果相同。§5.3 有限字長(zhǎng)運(yùn)算對(duì)數(shù)字濾波器的影響1.定點(diǎn)相乘運(yùn)算統(tǒng)計(jì)分析的流圖  2.IIR 的有限字長(zhǎng)效應(yīng)   3.FIR的有限字長(zhǎng)效應(yīng)§5.3 有限字長(zhǎng)運(yùn)算對(duì)數(shù)字濾波器的影響數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)，涉及到兩種運(yùn)算：相乘、相加。     定點(diǎn)制運(yùn)算中，每一次乘法運(yùn)算之后都要作一次舍入（截尾）處理，因此引入了非

46、線性誤差。 采用統(tǒng)計(jì)分析的方法，將舍入誤差作為獨(dú)立噪聲e(n)迭加在信號(hào)上，因而仍可用線性流圖表示定點(diǎn)相乘。                    定點(diǎn)相乘運(yùn)算的流圖表示   對(duì)舍入噪聲e(n)作如下的假設(shè)：     平穩(wěn)隨機(jī)噪聲序列；     與輸入序列x(n)不相關(guān)；     白色噪聲，各噪聲之間也互不相關(guān)； &#

47、160;   在量化間隔上均勻分布（即每個(gè)噪聲都是均勻等概率分布）。 有了這些條件，整個(gè)系統(tǒng)就可作為線性系統(tǒng)處理。每一個(gè)輸入噪聲可用線性離散系統(tǒng)的理論求出其輸出噪聲，所有輸出噪聲線性迭加得到總的噪聲輸出。IIR 的有限字長(zhǎng)效應(yīng)                             (例2)例1：一階IIR濾

48、波器，其輸入與輸出關(guān)系可用差分方程表示為：      乘積項(xiàng)將引入一個(gè)舍入噪聲，如圖，求系統(tǒng)的輸出噪聲方差。   解：上述一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 傳遞函數(shù)為 由于是迭加在輸入端的，故由造成的輸出誤差為： 輸出噪聲方差   或    由上兩式均可求得 可見(jiàn)字長(zhǎng)越大，輸出噪聲越小，同樣的方法可分析其它高階數(shù)字濾波器的輸出噪聲。  例2：一個(gè)二階IIR低通數(shù)字濾波器，傳遞函數(shù)為    采用定點(diǎn)制算法，尾數(shù)作舍入處理，分別計(jì)算其直接

49、型、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型三種結(jié)構(gòu)的輸出噪聲方差。 解：直接型 直接型結(jié)構(gòu)流圖如下圖所示 圖中、分別為系數(shù)0.04、1.7、-0.72相乘后引入的舍入噪聲。采用線性迭加的方法，從圖上可看出輸出噪聲ef(n)是這三個(gè)舍入噪聲通過(guò)網(wǎng)絡(luò)形成的，如圖，因此 其中 是H0(z)的單位脈沖響應(yīng)。 輸出噪聲的方差為： 將和B(z)=代入，利用留數(shù)定理得：           級(jí)聯(lián)型    將H(z)分解為：       

50、0;     結(jié)構(gòu)流圖為                     由圖中可見(jiàn)，噪聲、通過(guò)網(wǎng)絡(luò)，               噪聲通過(guò)網(wǎng)絡(luò)，           

51、   即         其中 和分別是H0(z)和H2(z)的單位脈沖響應(yīng)。 因此     將 代入，得：      思考：如果將H1(z)和H2(z)次序顛倒，結(jié)果會(huì)怎樣？ 答：因1/（1-0.92）> 1/（1-0.82），所以，輸出噪聲將變大。并聯(lián)型    將H(z)分解為部分分式     其結(jié)構(gòu)如圖：     并聯(lián)型結(jié)構(gòu)有

52、4個(gè)系數(shù)，有4個(gè)舍入噪聲，其中    只通過(guò)網(wǎng)絡(luò)，    網(wǎng)絡(luò)。 輸出噪聲方差為：   代入B1(z)和B2(z)及的值，得： 比較三種運(yùn)算結(jié)構(gòu)的誤差大小，可知 直接型 > 級(jí)聯(lián)型 > 并聯(lián)型該結(jié)論對(duì)IIR 數(shù)字濾波器有普遍意義。原因： l         直接型：所有舍入誤差都經(jīng)過(guò)全部網(wǎng)絡(luò)的反饋環(huán)節(jié)，反饋過(guò)程中誤差積累，輸出誤差很大。 l       &

53、#160; 級(jí)聯(lián)型：每個(gè)舍入誤差只通過(guò)其后的反饋環(huán)節(jié)，而不通過(guò)它前面的反饋環(huán)節(jié)，誤差小于直接型。 l          并聯(lián)型 ：每個(gè)并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的舍入誤差只通過(guò)本身的反饋環(huán)節(jié)，與其它并聯(lián)網(wǎng)絡(luò)無(wú)關(guān)，積累作用小，誤差小。         因此，從有效字長(zhǎng)效應(yīng)看，直接型（、型）結(jié)構(gòu)最差，運(yùn)算誤差最大，高階時(shí)應(yīng)避免采用；級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)較好；并聯(lián)型結(jié)構(gòu)最好，運(yùn)算誤差最小。      

54、 由此得到一個(gè)重要結(jié)論：IIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)與它的結(jié)構(gòu)有關(guān)。FIR的有限字長(zhǎng)效應(yīng)         ( 舍入噪聲,動(dòng)態(tài)范圍) IIR濾波器的分析方法同樣適用于FIR濾波器，F(xiàn)IR濾波器無(wú)反饋環(huán)節(jié)（頻率采樣型結(jié)構(gòu)除外），舍入誤差不會(huì)產(chǎn)生非線性振蕩，所以只要對(duì)有限字長(zhǎng)效應(yīng)作統(tǒng)計(jì)分析即可。 以橫截型結(jié)構(gòu)為例分析FIR的有限字長(zhǎng)效應(yīng)。   舍入噪聲      N階FIR濾波器的傳遞函數(shù)為：      

55、         無(wú)限精度下，直接型結(jié)構(gòu)的差分方程為：             有限精度運(yùn)算時(shí)，        每一次相乘后產(chǎn)生一個(gè)舍入噪聲       故   輸出噪聲為：      &#

56、160;            結(jié)構(gòu)流圖如圖，由圖中可見(jiàn)，所有舍入噪聲都直接加在輸出端，因此輸出噪聲是這些噪聲的簡(jiǎn)單和。 于是，    可見(jiàn)，輸出噪聲方差與字長(zhǎng)有關(guān)，與階數(shù)有關(guān)，越高，運(yùn)算誤差越大，或者，在相同運(yùn)算精度下，階數(shù)越高的濾波器需要的字長(zhǎng)越長(zhǎng)。               

57、60;  例題例：FIR濾波器，N=10，b=17時(shí) ，            而N=1024，b=17時(shí)       其均方根值為                 因此，濾波器輸出中，小數(shù)點(diǎn)后只有4位數(shù)字是有效的，第5位數(shù)以后將受到有限字長(zhǎng)舍入噪聲的嚴(yán)重影響。 動(dòng)態(tài)范

58、圍： 定點(diǎn)運(yùn)算時(shí)，動(dòng)態(tài)范圍的限制，常導(dǎo)致FIR的輸出結(jié)果發(fā)生溢出。FIR輸出為：                定點(diǎn)數(shù)不產(chǎn)生溢出的條件：    為使結(jié)果不溢出，對(duì)采用標(biāo)度因子A，使        由此確定A。 §5.4 系數(shù)量化對(duì)數(shù)字濾波器的影響1.極點(diǎn)位置靈敏度  2. 影響極點(diǎn)位置靈敏度的幾個(gè)因

59、素  §5.4 系數(shù)量化對(duì)數(shù)字濾波器的影響     下面討論第三種量化效應(yīng)系數(shù)的量化效應(yīng)。由于濾波器的所有系數(shù)必須以有限長(zhǎng)度的二進(jìn)碼存放在存儲(chǔ)器中，所以必然對(duì)理想系數(shù)值取量化，造成實(shí)際系數(shù)存在誤差，使零、極點(diǎn)位置發(fā)生偏離，影響濾波器性能。一個(gè)設(shè)計(jì)正確的濾波器，在實(shí)現(xiàn)時(shí)，由于系數(shù)量化，可能會(huì)導(dǎo)致實(shí)際濾波器特性不符合要求，嚴(yán)重時(shí)甚至使單位圓內(nèi)的極點(diǎn)偏離到單位圓外，從而系統(tǒng)失去穩(wěn)定性。 系數(shù)量化對(duì)濾波器的影響與字長(zhǎng)有關(guān)，也與濾波器的結(jié)構(gòu)有關(guān)，選擇合適的結(jié)構(gòu)可減小系數(shù)量化的影響。 一、    一.

60、60; 極點(diǎn)位置靈敏度      影響極點(diǎn)位置靈敏度的關(guān)系，例1，例2 極點(diǎn)位置靈敏度：指極點(diǎn)位置對(duì)各系數(shù)偏差的敏感程度。極點(diǎn)位置的變化將直接影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。所以極點(diǎn)位置靈敏度可以反映系數(shù)量化對(duì)濾波器穩(wěn)定性的影響。     設(shè)系數(shù)量化后的傳遞函數(shù)為：                 量化后的系數(shù)為：     

61、0;           分析量化偏差造成的極點(diǎn)位置偏差。    設(shè)理想極點(diǎn)為，則            系數(shù)量化后，極點(diǎn)變?yōu)椋恢闷钍怯梢鸬?。?：一個(gè)共軛極點(diǎn)在虛軸附近的帶通濾波器如圖（） ，一個(gè)共軛極點(diǎn)在實(shí)軸附近的低通濾波器如圖（），比較它們極點(diǎn)位置靈敏度的大小。        

62、    解：兩者比較，前者極點(diǎn)間的距離大，因此前者的極點(diǎn)位置靈敏度比后者小，即系數(shù)量化程度相同時(shí)，前者造成的誤差比后者小。例2：一個(gè)三對(duì)共軛極點(diǎn)的濾波器 H(z)，用三種結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。      1）用直接型結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)，極點(diǎn)分布如圖a ,      2）用三個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)的形式實(shí)現(xiàn)，極點(diǎn)分布如圖b ，              

63、60;           3）用三個(gè)并聯(lián)二階網(wǎng)絡(luò)實(shí)現(xiàn)，極點(diǎn)分布如圖b 。                         解： 如圖，直接型因極點(diǎn)分布密，極點(diǎn)位置靈敏度高。 級(jí)聯(lián)和并聯(lián)型，極點(diǎn)分布稀，極點(diǎn)位置靈敏度下降。     影響極點(diǎn)

64、位置靈敏度的幾個(gè)因素：  1.與零極點(diǎn)的分布狀態(tài)有關(guān)；與極點(diǎn)間距離成反比；  2.與濾波器結(jié)構(gòu)有關(guān)。高階直接型極點(diǎn)位置靈敏度高；并聯(lián)或級(jí)聯(lián)型，系數(shù)量化誤差的影響小。高階濾波器應(yīng)避免用直接型，盡量分解為低階網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)或并聯(lián)。 影響極點(diǎn)位置靈敏度的關(guān)系下面討論對(duì)的影響：    因每個(gè)極點(diǎn)都與個(gè)系數(shù)bi有關(guān)，                      ， i=1,

65、2,N 決定了量化影響的大小，也就是極點(diǎn)zi對(duì)系數(shù)bk變化的靈敏度。大，對(duì)的影響大。小，對(duì)的影響小。 靈敏度的計(jì)算：     由可求靈敏度。利用偏微分關(guān)系：                  故                  

66、      因                                       故        

67、               上式分母中每個(gè)因子(zi-zk)是一個(gè)由極點(diǎn)zk指向極點(diǎn)zi的矢量，整個(gè)分母是所有極點(diǎn)指向極點(diǎn)zi的矢量積，這些矢量越長(zhǎng)，即極點(diǎn)彼此間的距離越遠(yuǎn)，極點(diǎn)位置靈敏度越低；矢量越短，極點(diǎn)位置靈敏度越高。即極點(diǎn)位置靈敏度與極點(diǎn)間距離成反比。   §5.5 IIR 濾波器量化引起的非線性效應(yīng)1. IIR DF零輸入極限環(huán)振蕩   2.大信號(hào)極限環(huán)振蕩  &#

68、160;   3. 小結(jié)§5.5 IIR 數(shù)字濾波器量化引起的非線性效應(yīng)在IIR濾波器中由于存在反饋環(huán)，舍入處理在一定條件下會(huì)引起非線性振蕩，如零輸入極限環(huán)振蕩和大信號(hào)極限環(huán)振蕩。 一、 IIR 數(shù)字濾波器的零輸入極限環(huán)振蕩在數(shù)字濾波器中由于運(yùn)算過(guò)程的尾數(shù)處理，使系統(tǒng)引入了非線性環(huán)節(jié)，使數(shù)字濾波器變成了非線性系統(tǒng)，對(duì)于非線性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)存在反饋時(shí)，在一定條件下會(huì)產(chǎn)生振蕩。 IIR濾波器是一個(gè)反饋系統(tǒng)，在無(wú)限精度情況下，如果它的所有極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，這個(gè)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，當(dāng)輸入信號(hào)為零時(shí)，IIR 數(shù)字濾波器的響應(yīng)將逐步變?yōu)榱?。但同一濾波器，以有限精

69、度進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，當(dāng)輸入信號(hào)為零時(shí)，由于舍入引入的非線性作用，輸出有時(shí)不會(huì)趨于零，而是停留在某一數(shù)值上，或在一定數(shù)值間振蕩，這種現(xiàn)象稱為“零輸入極限環(huán)振蕩”。例： 設(shè)一階IIR DF的傳遞函數(shù)為：              無(wú)限精度運(yùn)算時(shí)，差分方程為：            y（n）=ay(n-1)+x(n)    在定點(diǎn)制中，每次乘法運(yùn)算后都必須對(duì)尾數(shù)作舍入處理，這時(shí)的非線性差分方