數(shù)列創(chuàng)新題型突破

1、數(shù)列創(chuàng)新題型突破-五、數(shù)陣和數(shù)表所謂數(shù)表就是指滿足一定的生成規(guī)則并按一定的順序排列成的一個表，數(shù)表問題常與數(shù)列知識聯(lián)手，在高考中奏出一曲曲優(yōu)美的“樂章”，逐漸成為高考命題的熱門，本文試就數(shù)表問題考查的幾種常見類型及變化趨勢作一闡述，以饋讀者。一、三角形數(shù)表例1（2008年江蘇卷10）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)表：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n 3）從左向右的第3 個數(shù)為 【評析】：通過列舉、分析、歸納、猜想，前n-1行共有1+2+3+ n-1個數(shù)，即共有個，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第+3個數(shù)，即例2（2008年山東卷19）將數(shù)列an中的所有項按每

2、一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表：a1a2 a3a4 a5 a6a7 a8 a9 a10 記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，構(gòu)成的數(shù)列為bn,b1=a1=1. Sn為數(shù)列bn的前n項和，且滿足1（n2）.（）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項公式；（）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù).當(dāng)時，求上表中第k(k3)行所有項和的和.（）證明略，（）析：本題關(guān)鍵在于確定在表中的位置，再由通項公式求出,然后求和，設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為q,且q0. 因為所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列an的前78項，故 a81表中第13行第三

3、列，因此,又所以 q=2. 記表中第k(k3)行所有項的和為S，則（k3）.點撥：研究數(shù)表問題，首先要明確數(shù)表的構(gòu)成元素,數(shù)表是由什么樣的數(shù)列或哪些元素構(gòu)成，即先要尋找數(shù)列的遞推關(guān)系或元素的規(guī)律。二、方形數(shù)表例3（2004年北京春季高考題改編）下表給出一個“等差數(shù)表”：47（ ）（ ）（ ）a1j712（ ）（ ）（ ）a2j（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）a3j（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）a4jai1ai2ai3ai4ai5aij 其中每行、每列都是等差數(shù)列，aij表示位于第i行第j列的數(shù).（1）寫出的值；（2）寫出aij的計算公式；（3）寫出2008這個數(shù)在等差數(shù)表中所在的一個位置?！驹u析

4、】：本題主要考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的邏輯思維能力，分析問題和解決問題的能力。由每行和每列均成等差數(shù)列和表格中前兩行兩列的4個數(shù)，可求出第一行和第二行所有的數(shù)，再由第5列的前兩個數(shù)求得第4個數(shù)，即。解：（1）（略解）=49（2）該等差數(shù)表的第1行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列，a1j=4+3(j-1)，第二行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列，a2j=7+5(j-1)，第i行是首項為4+3（i-1），公差為2i+1的等差數(shù)列，因此aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1) =2ij+i+j=i(2j+1)+j（3）要找2008在該等差數(shù)表中的位置，也就是要找正整數(shù)i,j使得2ij+i

5、+j=2008，所以，當(dāng)i=1時，得j=669所以，2008在等差數(shù)表中的一個位置是第1行第669列。點撥：對于數(shù)表形等差、等比數(shù)列的綜合問題，行、列關(guān)系較為復(fù)雜，在解題時一定要多找等量關(guān)系，少設(shè)變量,盡可能把已知元素的值化歸到同行或者同列。三、回形數(shù)表例4 （2008江蘇高考零距離突破二輪復(fù)習(xí)題）將自然數(shù)排成如下的螺旋狀第一個拐彎處的數(shù)是2，第二個拐彎處的數(shù)是3，第20個及第25個拐彎處的數(shù)分別是，【評析】：由圖可知，前n個拐彎處的數(shù)依次是2，3，5，7，10，13，17，21，26，這是一個數(shù)列題目，要求找出它的第20項和第25項各是多少，因此要找出這個數(shù)列的規(guī)則，經(jīng)觀察，該數(shù)列的后一項減

6、去一項，得一新數(shù)列1，2，2，3，3，4，4，5，5，把數(shù)列的第一項添在數(shù)列的前面得2，1，2，2，3，3，4，4，5，5，觀察數(shù)列，發(fā)現(xiàn)原數(shù)列的第n項就等于數(shù)列的前n項和,即，,故第20個拐彎處的數(shù)a20=2+1+2+2+10+10=1+2（1+2+10）=111a25=2+1+2+2+12+12+13=170解法2：設(shè)第i個拐彎處的數(shù)為ai，顯然a1=2，a2i=a2i-1+I, a2i+1= a2i+(i+1)20=21025=212+1a20=1+2(1+2+10)=11 a25=1+2(1+2+12)+13=170解法1到解法2由具體到抽象，體現(xiàn)出思維不斷優(yōu)化的過程。點撥：解決數(shù)表問

7、題，需細(xì)心研究其元素的排列的規(guī)律，即構(gòu)成數(shù)列的元素，或數(shù)列的項是按照何種規(guī)則排列而成的，有時即使找到排列的規(guī)則，但如果不能對所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律所蘊含的信息進行整理再加工，解題同樣會誤入歧途。四、數(shù)表與排列組合的有機結(jié)合例5、（2005年上海春季高考）用n個不同的實數(shù)可得到n！個不同的排列，每個排列為一行，寫成一個n！行的數(shù)表，對第行，記 （）例如1，2，3可得數(shù)表如圖，由于此數(shù)表中每一列數(shù)之和均為12，所以。那么在用1，2，3，4，5形成的數(shù)表中，【評析】：此題題目新穎有趣，思維要求較高，它給出計算數(shù)表中各數(shù)的某種組合的新思路，同時又具備高等數(shù)學(xué)的背景，滲透高等數(shù)學(xué)背景是高考命題的一大趨勢，值得引起

8、重視。解：在用1，2，3，4，5所形成的數(shù)表中，起始數(shù)字為1的共有A44行，類似，起始數(shù)字為2，3，4，5的行都有A44個，于是數(shù)表中各數(shù)之和為(1+2+3+4+5) A44=360.=總之，適應(yīng)新課程的需要，高考命題會出現(xiàn)一些新情況、新定義、新背景的問題，數(shù)表作為近年來數(shù)學(xué)命題的一個新亮點，為在今后高考中再次出現(xiàn)增添了無限的魅力空間。數(shù)列創(chuàng)新題型突破-六、數(shù)列應(yīng)用題數(shù)列作為特殊的函數(shù)，在高中數(shù)學(xué)中占有相當(dāng)重要的位置，涉及實際應(yīng)用的問題廣泛而多樣，如：增長率、銀行信貸等解答這一類問題，要充分應(yīng)用觀察、歸納、猜想的手段，注意其間的遞推關(guān)系，建立出等差、等比、或遞推數(shù)列的模型建立數(shù)列的遞推關(guān)系來解

9、題將有可能成為高考命題革新的一個方向1某縣位于沙漠邊緣，當(dāng)?shù)鼐用衽c風(fēng)沙進行著艱苦的斗爭，到2000年底全縣的綠地已占全縣總面積的30%從2001年起，市政府決定加大植樹造林、開辟綠地的力度，則每年有16%的原沙漠地帶變成了綠地，但同時，原有綠地的4%又被侵蝕，變成了沙漠（）在這種政策之下，是否有可能在將來的某一年，全縣綠地面積超過80%？（）至少在多少年底，該縣的綠地面積才能超過全縣總面積的60%？講解：本題為實際問題，首先應(yīng)該讀懂題意，搞清研究對象，然后把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題不難看出，這是一道數(shù)列型應(yīng)用問題因此，我們可以設(shè)：全縣面積為1，記2000年底的全縣綠地面積占總面積的百分比為，經(jīng)過n年后

10、全縣綠地面積占總面積的百分比為，則我們所要回答的問題就是：（）是否存在自然數(shù)，使得80% ？（）求使得60%成立的最小的自然數(shù).為了解決這些問題，我們可以根據(jù)題意，列出數(shù)列的相鄰項之間的函數(shù)關(guān)系，然后由此遞推公式出發(fā)，設(shè)法求出這個數(shù)列的通項公式由題可知：，所以，當(dāng)時，兩式作差得：又，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以， 由上式可知：對于任意，均有即全縣綠地面積不可能超過總面積的80%（）令，得，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：隨的增大而單調(diào)遞減，因此，我們只需從開始驗證，直到找到第一個使得的自然數(shù)即為所求驗證可知：當(dāng)時，均有，而當(dāng)時，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)時，均有所以，從2000年底開始，

11、5年后，即2005年底，全縣綠地面積才開始超過總面積的60%點評：（）中，也可通過估值的方法來確定的值2. 某鐵路指揮部接到預(yù)報，24小時后將有一場超歷史記錄的大暴雨，為確保萬無一失，指揮部決定在24小時內(nèi)筑一道歸時堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的遂道工程。經(jīng)測算，其工程量除現(xiàn)有施工人員連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需要20輛翻斗車同時作業(yè)24小時。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調(diào)，每隔20分鐘有一輛車到達并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問24小時內(nèi)能否完成防洪堤壩工程？并說明理由.講解: 引入字母, 構(gòu)建等差數(shù)列和不等式模型.由20輛車同時工作24小時可完成全部工程可知

12、，每輛車，每小時的工作效率為，設(shè)從第一輛車投入施工算起，各車的工作時間為a1，a2，, a25小時，依題意它們組成公差（小時）的等差數(shù)列，且，化簡可得. 解得.可見a1的工作時間可以滿足要求，即工程可以在24小時內(nèi)完成.3. 某學(xué)校為了教職工的住房問題，計劃征用一塊土地蓋一幢總建筑面積為A(m2)的宿舍樓.已知土地的征用費為2388元/m2，且每層的建筑面積相同，土地的征用面積為第一層的2.5倍.經(jīng)工程技術(shù)人員核算，第一、二層的建筑費用相同都為445元/m2，以后每增高一層，其建筑費用就增加30元/m2.試設(shè)計這幢宿舍樓的樓高層數(shù)，使總費用最少，并求出其最少費用.（總費用為建筑費用和征地費用之

13、和）.講解: 想想看, 需要引入哪些字母? 怎樣建構(gòu)數(shù)學(xué)模型?設(shè)樓高為n層，總費用為y元，則征地面積為，征地費用為元，樓層建筑費用為445+445+（445+30）+（445+302）+445+30（n2） 元，從而（元）當(dāng)且僅當(dāng) , n=20（層）時，總費用y最少.故當(dāng)這幢宿舍樓的樓高層數(shù)為20層時, 最少總費用為1000A元.5某人計劃年初向銀行貸款10萬元用于買房他選擇10年期貸款，償還貸款的方式為：分10次等額歸還，每年一次，并從借后次年年初開始?xì)w還，若10年期貸款的年利率為4，且每年利息均按復(fù)利計算（即本年的利息計入次年的本金生息），問每年應(yīng)還多少元（精確到1元）？講解：作為解決這個

14、問題的第一步，我們首先需要明確的是：如果不考慮其它因素，同等款額的錢在不同時期的價值是不同的比如說：現(xiàn)在的10元錢，其價值應(yīng)該大于1年后的10元錢原因在于：現(xiàn)在的10元錢，在1年的時間內(nèi)要產(chǎn)生利息在此基礎(chǔ)上，這個問題，有兩種思考的方法：法1如果注意到按照貸款的規(guī)定，在貸款全部還清時，10萬元貸款的價值，與這個人還款的價值總額應(yīng)該相等則我們可以考慮把所有的款項都轉(zhuǎn)化到同一時間（即貸款全部付清時）去計算10萬元，在10年后（即貸款全部付清時）的價值為元設(shè)每年還款x元則第1次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為；第2次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為；第10次償還的x元，在貸款全部付清時的價值為

15、元于是：105(1+4)10= x(1+4)9+x(14)8x(14)7+x由等比數(shù)列求和公式可得：其中所以，法2從另一個角度思考，我們可以分步計算考慮這個人在每年還款后還欠銀行多少錢仍然設(shè)每年還款x元則第一年還款后，欠銀行的余額為：元；如果設(shè)第k年還款后，欠銀行的余額為元，則不難得出：105(1+4)10x(1+4)9x(14)8x(14)7x另一方面，按道理，第10次還款后，這個人已經(jīng)把貸款全部還清了，故有由此布列方程，得到同樣的結(jié)果點評：存、貸款問題為典型的數(shù)列應(yīng)用題，解決問題的關(guān)鍵在于：1分清單利、復(fù)利（即等差與等比）；2尋找好的切入點（如本題的兩種不同的思考方法），恰當(dāng)轉(zhuǎn)化3.一般來

16、說，數(shù)列型應(yīng)用題的特點是：與n有關(guān)6. 某城市2001年末汽車保有量為30萬輛，預(yù)計此后每年報廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同.為保護城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過60萬輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過多少輛?講解 設(shè)2001年末汽車保有量為萬輛，以后各年末汽車保有量依次為萬輛，萬輛，每年新增汽車萬輛，則 ，所以，當(dāng)時，兩式相減得：（1）顯然，若，則，即，此時（2）若，則數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，.（i）若，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，此時，（ii）當(dāng)時，則對于任意正整數(shù)，均有，所以，由，得，要使對于任意正整數(shù)，均有恒成立，即 對于任意正整數(shù)恒成立，

17、解這個關(guān)于x的一元一次不等式 , 得,上式恒成立的條件為：，由于關(guān)于的函數(shù)單調(diào)遞減，所以，. 本題是2002年全國高考題，上面的解法不同于參考答案，其關(guān)鍵是化歸為含參數(shù)的不等式恒成立問題，其分離變量后又轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.7現(xiàn)有流量均為300的兩條河流A、B會合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為2和0.2假設(shè)從匯合處開始，沿岸設(shè)有若干個觀測點，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個觀測點的過程中，其混合效果相當(dāng)于兩股水流在1秒鐘內(nèi)交換100的水量，即從A股流入B股100水，經(jīng)混合后，又從B股流入A股100水并混合問：從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于0.01（不考慮泥沙沉淀）？講解：本題的不等

18、關(guān)系為“兩股河水的含沙量之差小于0.01”但直接建構(gòu)這樣的不等關(guān)系較為困難為表達方便，我們分別用來表示河水在流經(jīng)第n個觀測點時，A水流和B水流的含沙量則2，0.2，且（）由于題目中的問題是針對兩股河水的含沙量之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列由（）可得：所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以，由題，令 0.01，得所以，由得，所以，即從第9個觀測點開始，兩股水流的含沙量之差小于0.01點評：本題為數(shù)列、不等式型綜合應(yīng)用問題，難點在于對題意的理解8.為促進個人住房商品化的進程，我國1999年元月公布了個人住房公積金貸款利率和商業(yè)性貸款利率如下：貸款期 (年數(shù))公積金貸款 月利率()商業(yè)性貸款 月利率()11121314154.3654.4554.5454.6354.7255.0255.0255.0255.0255.