無窮級數(shù)練習題

1、無窮級數(shù)習題一、填空題1、設冪級數(shù)的收斂半徑為3，則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。2、冪級數(shù)的收斂域為。3、冪級數(shù)的收斂半徑。4、冪級數(shù)的收斂域是。5、級數(shù)的收斂域為。6、級數(shù)的和為。7、。8、設函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為，則其系數(shù)的值為。9、設函數(shù)則其以為周期的傅里葉級數(shù)在點處的斂于。10、級數(shù)的和。11、級數(shù)的收斂域為。參考答案：1、 2、 3、 4、 5、6、 7、 8、 9、 10、 11、二、選擇題1、設常數(shù)，而級數(shù)收斂，則級數(shù)是（ ）。（A）發(fā)散 （B）條件收斂 （C）絕對收斂 （D）收斂與有關(guān)2、設，則下列命題中正確的是（ ）。（A）若條件收斂，則與都收斂。（B）若絕對收斂，則與都收斂。（C

2、）若條件收斂，則與的斂散性都不一定。（D）若絕對收斂，則與的斂散性都不定。3、設，若發(fā)散，收斂，則下列結(jié)論正確的是（ ）。（A）收斂，發(fā)散. （B）收斂，發(fā)散.（C）收斂. （D）收斂.4、設為常數(shù)，則級數(shù)是（ ）（A）絕對收斂. （B）條件收斂. （C）發(fā)散. （D）收斂性與取值有關(guān).5、級數(shù)（常數(shù)）是（ ）（A）發(fā)散. （B）條件收斂. （C）絕對收斂. （D）收斂性與有關(guān).6、設，則級數(shù)（A）與都收斂. （B）與都發(fā)散.（C）收斂而發(fā)散. （D）發(fā)散而收斂.7、已知級數(shù)，則級數(shù)等于（ ）。（A）3. （B）7. （C）8. （D）9.8、設函數(shù)，而， 其中，則等于（ ）。（A）. （B）

3、. （C）. （D）.9、設，其中 則等于（ ）。（A）. （B）. （C）. （D）.10、設級數(shù)收斂，則必收斂的級數(shù)為（A）. （B）.（C）. （D）.11、已知級數(shù)， ，則級數(shù)等于（ ）。（A）3. （B）7. （C）8. （D）9.12、若級數(shù)收斂，則級數(shù)（ ）（A）收斂. （B）收斂. （C）收斂.（D）收斂.13、若在處收斂，則此級數(shù)在處（ ）。（A）條件收斂. （B）絕對收斂. （C）發(fā)散. （D）斂散性不能確定.14、設冪級數(shù)與的收斂半徑分別為與，則冪級數(shù)的收斂半徑為（ ）（A）5. （B） （C） （D）參考答案：1234567891011121314CBDCCCBCDCD

4、BA三、解答題1、設在點的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，且，證明級數(shù)絕對收斂?！痉治鲆弧勘砻鲿r是比高階的無窮小，若能進一步確定是的階或高于階的無窮小，從而也是的階或高于階的無窮小，這就證明了絕對收斂。【證明一】由及的連續(xù)性。再由在鄰域有二階連續(xù)導數(shù)及洛必達法則由函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系因收斂收斂，即絕對收斂。2、設正項數(shù)列單調(diào)減小，且發(fā)散，試問級數(shù)是否收斂？【分析與求解】因單調(diào)下降有下界極限。若，由萊布尼茲法則，并錯級數(shù)收斂，與假設矛盾，于是?，F(xiàn)在對正項級數(shù)可用根值判別法：因為，所以原級數(shù)收斂。3、求冪級數(shù)收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點處的收斂性。【分析與求解】 直接用求收斂半徑的公式，先求于是收斂

5、半徑，收斂區(qū)間為當時是正項級數(shù)：，而發(fā)散，發(fā)散，即時原冪級數(shù)發(fā)散。當時是變號級數(shù)，我們用分解法討論它的斂發(fā)散。因 收斂，收斂，又收斂收斂，即時原冪級數(shù)收斂。4、（1）驗證函數(shù)滿足微分方程； （2）利用（1）的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù)。【分析與求解】（1）首先驗證該冪級數(shù)的收斂區(qū)間是這是缺項冪級數(shù)，令，則 原級數(shù)由，從而時原級數(shù)收斂。其次，在收斂區(qū)間內(nèi)對冪級數(shù)可以逐項求導任意次，這里要求逐項求導兩次：， ， 于是 級數(shù)的線性性質(zhì)（收斂級數(shù)與它任意添加括號后的級數(shù)有相同的和）（2）因為冪級數(shù)的和函數(shù)滿足微分方程又知 所以為求只須解二階線性常系數(shù)微分方程的初值問題+該方程相應的齊次方程的特征方程為 特征

6、根為 相應齊次方程的通解為設非齊次方程的一個特解為，代入方程得 非齊次方程的通解為 令，由初始條件因此 5、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)【分析與求解】 這是缺項冪級數(shù)，令考察，其中由 的收斂半徑為1原冪級數(shù)收斂半徑為1，收斂區(qū)間為。下面求和函數(shù)：，注意，積分兩次得,因此，6、求級數(shù)的和。【分析與求解】先將級數(shù)分解：第二個級數(shù)是幾何級數(shù)，它的和已知求第一個級數(shù)的和轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)求和，考察因此原級數(shù)的和 7、求級數(shù)的和?！痉治雠c求解】 先用分解法將原級數(shù)分解。 記 要熟記五個簡單函數(shù)的冪級數(shù)展開式，與此級數(shù)和有關(guān)的是，即于是 ，因此 8、將函數(shù)展為的冪級數(shù)?！痉治雠c求解】容易展開。，由 ，得在冪級數(shù)的

7、收斂區(qū)間內(nèi)可逐項積分得且收斂區(qū)間不變，當時，式右端級數(shù)均收斂，而左端在連續(xù)，在無定義，因此9、將函數(shù) 展開成的冪級數(shù)。【分析與求解】，先求的展開式積分得 10、設 試將展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和。【分析與求解】 關(guān)鍵是將展成冪級數(shù)，然后約去因子，再乘上并化簡即可。直接將展開辦不到，且易展開，即積分得因為右端級數(shù)在時均收斂，又在連續(xù)，所以展開式在收斂區(qū)間端點成立?，F(xiàn)將式兩邊同乘得上式右端當時取值為1，于是上式中令11、將函數(shù)展成以為周期的傅里葉級數(shù)，并由此求級數(shù)的和。【分析與求解】 按傅氏系數(shù)公式，先求的傅氏系數(shù)與。因為偶函數(shù)注意到在分段單調(diào)，連續(xù)且，于是有傅氏展開式為了求的值，上式中令得即

8、現(xiàn)由 12、將函數(shù)展開成周期為4的余弦級數(shù)。【分析與求解】這就是將作偶延拓后再作周期4的周期延拓，于是得的傅氏系數(shù)： =由于（延拓后）在分段單調(diào)、連續(xù)且于是有展開式13、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端關(guān)處的收斂性。解：設收斂區(qū)間當時，而發(fā)散原級數(shù)在處發(fā)散。當時，記收斂，又收斂。故原級數(shù)在處收斂收斂域內(nèi)14、將函數(shù)展開成的冪級數(shù)。分析 先將分解成部分分式，再利用等比級數(shù)間接展開。解：15、將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求級數(shù)的和。分析 直接展開較困難，先將展開，再遞項積分得出的展開式解 當時，收斂 （萊布尼茲判別法）當時，收斂又16、求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)解：求收斂域，由于該冪級數(shù)缺項冪級數(shù)，則

9、直接用比值判別法求之，設當，即時，原級數(shù)絕對收斂；當即時，原級數(shù)發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間是當時，絕對收斂同理，當時，絕對收斂，因此，該級數(shù)的收斂域為17、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)。解：此級數(shù)是缺項的冪級數(shù)令當，即時，級數(shù)絕對收斂；當，即時，級數(shù)發(fā)散。級數(shù)的收斂區(qū)間為記18、（1）討論級數(shù)的斂散性，（2）已知級數(shù)和都收斂，試證明級數(shù)絕對斂。（1）解 收斂（2）證 與都收斂收斂收斂即 絕對收斂。19、設有方程，其中為正整數(shù)，證明此方程存在唯一的正實根，并證明當時，級數(shù)收斂。分析 （1）存在性用根的存在定理，唯一的性用函數(shù)的嚴格可調(diào)性 （2）用比較判別法證明收斂。證 （1）取，則在

10、上連續(xù)，且，使，又在上嚴格遞增方程存在唯一正實根由 且，有又 收斂收斂。20、設（1）試證：（2）試證：對任意常數(shù)，級數(shù)收斂。（1）解 直接求的表達式（2）證 令 于是 由于 收斂 因此 收斂。21、求級數(shù)的收斂域。【解】因系數(shù)故 因此當，即時級數(shù)絕對收斂。當時，得交錯級數(shù)；當時，得正項級數(shù)，二者都收斂，于是原級數(shù)的收斂域為22、已知函數(shù) 試計算下列各題：； 【解】用分段積分法，分部積分法和換元積分法，分別可得；利用以上結(jié)果，有23、設有兩條拋物線和，記它們交點的橫坐標的絕對值為。（1）求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積；（2）求級數(shù)的和。【解】（1）用與分別表示兩條拋物線與與有兩個交點與，

11、如圖令 ，容易求得，利用定積分還可求得兩拋物線圍成的平面圖形的面積。（2） 因為 ，于是 故 24、設，求【解】由 ，有令，因其收斂半徑，且，故在內(nèi)有于是 令，即得 從而 25、已知滿足（為正整數(shù)），且，求函數(shù)項級數(shù)之和?！窘狻坑梢阎獥l件可知滿足一階線性微分方程其通解為 由條件，得，故從而記，其收斂域為時，有故 由與在的連續(xù)性知，上述和函數(shù)公式在處也成立，于是，當時，有26、（1）驗證函數(shù)滿足微分方程；利用的結(jié)果求冪級數(shù)的和函數(shù)。【解】 因為冪級數(shù)的收斂域是，因而可在上逐項求導數(shù)，得，所以 （2）與相應的齊次微分方程為,其特征方程為 ，特征根為因此齊次微分方程的通解為 設非齊次微分方程的特解為

12、 ，將代入方程 可得，即有 于是，方程通解為 當時，有于是冪級數(shù)的和函數(shù)為27、求冪級數(shù)的和函數(shù)及其極值?！窘狻?將等式 逐項求導，得上式兩邊從到積分，有由于，故得到了和函數(shù)的表達式令，可求出函數(shù)有惟一駐點，因為，可見在點處取得極大值，且極大值為28、設級數(shù)的和函數(shù)為，求：所滿足的一階微分方程；的表在式。【解】 易見，且冪級數(shù)的收斂域為，在上逐項求導，得因此是初值問題 ，的解。 方程 的通解為由初始條件 求得故 ，因此和函數(shù)29、求冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)【解】 不難發(fā)現(xiàn)，從而，只需求當時和函數(shù)的表達式，注意其中 逐項求導，得 將上式兩端的改寫成，并分別從到求定積分，可得又因，于是 綜合以上討論

13、，即得1 判別下列級數(shù)的斂散性：解：1），而收斂，由比較審斂法知 收斂。2），而發(fā)散，由比較審斂法的極限形式知 發(fā)散。3） ，由比值審斂法知 收斂。4） ，由根值審斂法知 收斂。2 判別下列級數(shù)是絕對收斂，條件收斂，還是發(fā)散？； ； 。解：1）對于級數(shù)，由，知級數(shù)絕對收斂，易知條件收斂，故 條件收斂。2），由，知級數(shù)收斂，故絕對收斂。3）記，而發(fā)散，故發(fā)散，令，當時，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加，由此可知 ，又，故收斂，但非絕對收斂，即為條件收斂。3 求冪級數(shù)的收斂區(qū)間。解：收斂半徑為 ，當時，得級數(shù)，發(fā)散；當時，得交錯級數(shù)，收斂。所求收斂區(qū)間為。4 證明級數(shù)當時絕對收斂，當時發(fā)散。注：數(shù)列單調(diào)增加，且。證：收斂半徑 ，當時冪級數(shù)絕對收斂，當時冪級數(shù)發(fā)散，當時，得級數(shù)，因單調(diào)增加，且，故，于是得，由此，故級數(shù)發(fā)散。5 在區(qū)間內(nèi)求冪級數(shù) 的和函數(shù)。解：設 （）， （）。6 求級數(shù)的和。解：設 （），則，其中 ， （）。 設，則，于是 ，從而 （）。因此 。7 把展開成 的冪級數(shù)，并求級數(shù) 的和。解： （）， （），因在點處連續(xù)，而在點處收斂，從而 （）。于是 。8 設 （）證明1）存在； 2）級數(shù)收斂。證：1）因 ，故是單調(diào)減少有下界的數(shù)列，所以存在。2）由（1）知 ，記，因存在，故存在，