數(shù)學(xué)建模A題論文

1、靶標(biāo)圓心像坐標(biāo)確定與數(shù)碼相機(jī)定位摘要數(shù)碼相機(jī)實(shí)現(xiàn)定位功能，需確定靶標(biāo)圓心的像坐標(biāo)。本文就如何確定靶標(biāo)圓心像坐標(biāo)展開了討論，并給出了計(jì)算兩部相機(jī)相對位置的模型。在問題一中，我們采用坐標(biāo)變換的方法建立確定靶標(biāo)圓心像坐標(biāo)的模型。根據(jù)坐標(biāo)系之間的關(guān)系，分別通過物坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)、平移以及相機(jī)坐標(biāo)系的縮放，引入繞物坐標(biāo)系三坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的角度以及物坐標(biāo)系平移的量度等參數(shù)確定出物坐標(biāo)系到像坐標(biāo)系變換的方程，由此即可得到求解靶標(biāo)圓心像坐標(biāo)的模型。求解方程里面的參數(shù)時(shí)，考慮到計(jì)算的方便，我們選擇兩圓內(nèi)公切線的交點(diǎn)作為標(biāo)定點(diǎn)。計(jì)算它們的物坐標(biāo)與像坐標(biāo)，代入上述方程即可求得參數(shù)的值。對于問題二，根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)，兩條內(nèi)公

2、切線的斜率(或斜率倒數(shù))分別為連接對應(yīng)兩圓上任意兩點(diǎn)連線斜率(或斜率倒數(shù))的最大值和最小值?；诖?，容易求得像坐標(biāo)系里面對應(yīng)的內(nèi)公切線的方程，它們的交點(diǎn)即為標(biāo)定點(diǎn)的像坐標(biāo)，對應(yīng)的物坐標(biāo)容易得到。然后將這些標(biāo)定點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入問題一建立的物坐標(biāo)系到像坐標(biāo)系變換的方程，求解得到相應(yīng)的參數(shù)，的值。最后再將各園圓心的物坐標(biāo)代入上述方程，求得各圓圓心像坐標(biāo)結(jié)果為：A(-49.8577，50.6559)，B(-24.5423，49.1824)，C(32.5168，48.5784)，D(18.3139，-30.6194)，E(-60.3038，-30.3856)。在問題三中，我們選取物坐標(biāo)系里面一條直線上的

3、9個(gè)點(diǎn)，對它們對應(yīng)的像坐標(biāo)進(jìn)行一元線性回歸分析，對模型的精度進(jìn)行檢驗(yàn)；最終得到這9個(gè)點(diǎn)擬合優(yōu)度為0.9096非常接近1，說明模型精度較高。對于模型穩(wěn)定性的分析，我們將各圓圓心的物坐標(biāo)向左偏移1mm,考查對應(yīng)的像坐標(biāo)的變化；得到各圓心像坐標(biāo)的偏移量的平均值與圓心物坐標(biāo)的偏移量的相對誤差是2.62%，說明模型穩(wěn)定性較好。最后我們對問題一、二中模型進(jìn)行了檢驗(yàn)，在A,C,D,E四個(gè)圓上分別選取一些特定的點(diǎn)，利用它們的像坐標(biāo)分別求出其對應(yīng)的物坐標(biāo)，找到這些物坐標(biāo)與對應(yīng)圓心物坐標(biāo)之間的距離，比較這些距離同圓半徑的實(shí)際值(即12mm)的差值，最終得到它們相對誤差的平均值是1.66%，說明模型的可行性是較高的

4、。在問題四中，我們將兩部相機(jī)對應(yīng)的相機(jī)坐標(biāo)系與同一個(gè)物坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得到它們相機(jī)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系即得到了它們的相對位置。關(guān)鍵詞：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換 內(nèi)公切線交點(diǎn) 一元線性回歸分析 1 問題的重述數(shù)碼相機(jī)定位采用的是雙目定位，即用兩部相機(jī)來確定物體表面某些特征點(diǎn)的位置。當(dāng)確定了兩部相機(jī)精確的相對位置后，即確定了特征點(diǎn)的位置。所以精確地確定兩部相機(jī)的相對位置是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。標(biāo)定的一種做法是在物平面上畫若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會變形，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。為此，題目給出圖1和圖2兩張圖片： 圖1 靶標(biāo)原像 圖

5、2 靶標(biāo)像基于此求解下列問題：問題一，建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心的像坐標(biāo)；問題二，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心的像坐標(biāo)；問題三，設(shè)計(jì)一種方法對模型的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；問題四，建立兩部固定相機(jī)相對位置的數(shù)學(xué)模型。2 問題的假設(shè)(1) 假設(shè)數(shù)碼相機(jī)沒有任何質(zhì)量問題,即不考慮其給問題帶來的誤差；(2) 假設(shè)用于定位的兩部相機(jī)規(guī)格相同。3 符號說明 光學(xué)中心到像平面的距離，即像距 物坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)矩陣 物坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系平移矩陣，其中 物坐標(biāo)系分別繞x,y,z軸的旋轉(zhuǎn)角度 物體的物坐標(biāo) 物體的相機(jī)坐標(biāo) 物體的像坐標(biāo) 標(biāo)定的五個(gè)內(nèi)功切線的交點(diǎn)() 對應(yīng)于的像4 問題的分析和基本思路對于問

6、題一，為了將靶標(biāo)上圓的圓心的像坐標(biāo)精確的找到，考慮坐標(biāo)變換。分別引入物坐標(biāo)、相機(jī)坐標(biāo)與像坐標(biāo)的概念，基于各坐標(biāo)系的關(guān)系，通過坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)、平移以及縮放(此過程中待定的參數(shù)有物坐標(biāo)系圍繞各坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)的角度、物坐標(biāo)系平移的量度()，建立物坐標(biāo)與像坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的方程，則確定了靶標(biāo)上圓的圓心的像坐標(biāo)的模型就建立起來了。對于問題二，基于問題一的模型，各圓的圓心的物坐標(biāo)代入問題一建立的物坐標(biāo)與圖像坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的方程，為了求出它們的像坐標(biāo)，必須算出各待定參數(shù)的具體數(shù)值。為此，必須找到物坐標(biāo)與像坐標(biāo)都明確的一些點(diǎn)，利用它們求得待定參數(shù)的數(shù)值?？紤]任意兩圓內(nèi)公切線的交點(diǎn)坐標(biāo)容易求得，所以選取它們來求解參數(shù)的數(shù)值。問題三

7、，對模型的精度進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí)，我們考查在物坐標(biāo)里面在一條直線上的若干個(gè)點(diǎn)，根據(jù)成像原理，它們對應(yīng)的像應(yīng)該也在一條直線上。故可求得這些點(diǎn)的像坐標(biāo)，對它們進(jìn)行一元線性回歸分析，檢驗(yàn)相應(yīng)的精度。對于模型穩(wěn)定性的分析，我們將各圓心的物坐標(biāo)都向左平移1mm，考察它們對應(yīng)的像坐標(biāo)與未平移前圓心的像坐標(biāo)之間的差值。對于問題四，我們可以分別求出兩個(gè)相機(jī)對應(yīng)的相機(jī)坐標(biāo)系和同一個(gè)物坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。然后通過物坐標(biāo)系，把兩個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系聯(lián)系起來。求出兩個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，由此就可以確定兩個(gè)相機(jī)的相對位置了。5 問題一的解決基于問題的分析，要建立靶標(biāo)上圓的圓心的像坐標(biāo)的模型，就是建立物坐標(biāo)與像坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

8、。為此，分下面幾步建立模型。5.1 坐標(biāo)系的定義（1)物坐標(biāo)系物坐標(biāo)系是就是描述物體實(shí)際位置的坐標(biāo)系。在本題中為方便求解，設(shè)定物坐標(biāo)系的原點(diǎn)為圖1的中心，其z軸垂直于靶標(biāo)平面，x軸、y軸同正方形相鄰邊分別平行,對應(yīng)的坐標(biāo)分別用來表示。（2)相機(jī)坐標(biāo)系相機(jī)坐標(biāo)系是以相機(jī)的光學(xué)中心為原點(diǎn)，以光軸為z軸的坐標(biāo)系，坐標(biāo)表示為。（3)像坐標(biāo)系 圖像坐標(biāo)系是定義在像平面上的直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)位于給定的圖2的中心，其xoy面與光軸垂直，x軸與軸同向，y軸與軸同向，其坐標(biāo)具體表示為。5.2 模型建立5.2.1 物坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換由于物坐標(biāo)系和相機(jī)坐標(biāo)系的位置和角度不同，所以考慮經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和位移兩個(gè)變化將兩

9、個(gè)坐標(biāo)系重合，這里引入旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移矩陣T，具體變換過程如下：如果將物坐標(biāo)系繞其z軸旋轉(zhuǎn)角時(shí)（方向是逆著對應(yīng)軸向原點(diǎn)看去逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，下同），旋轉(zhuǎn)矩陣為;接著, 坐標(biāo)系繞著x軸旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)矩陣為;最后,繞著y軸旋轉(zhuǎn)角, 旋轉(zhuǎn)矩陣為。平移物坐標(biāo)系原點(diǎn)到相機(jī)坐標(biāo)系原點(diǎn)（即光心），可用變換矩陣T完成,設(shè)：T=經(jīng)過上述兩個(gè)過程，就實(shí)現(xiàn)了物坐標(biāo)系和相機(jī)坐標(biāo)系的重合，得到物坐標(biāo)里的點(diǎn)在相機(jī)坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，它們之間的轉(zhuǎn)換式為：，也可以寫成=（1）其中，R為一個(gè)3行3列的旋轉(zhuǎn)矩陣，是對三個(gè)坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換后的綜合旋轉(zhuǎn)矩陣。5.2.2 旋轉(zhuǎn)矩陣R的確定旋轉(zhuǎn)矩陣R的確定，必須分別求得對應(yīng)的。下面以繞z軸旋轉(zhuǎn)角度,

10、求解為例，探究求解旋轉(zhuǎn)矩陣的辦法，得到圖3：xz（）y()投影M(x,y,0)圖3 物坐標(biāo)系繞z軸旋轉(zhuǎn)角度立體圖因?yàn)槲镒鴺?biāo)系圍繞著z軸旋轉(zhuǎn)，所以點(diǎn)其z坐標(biāo)是不變的，只需確定橫、縱坐標(biāo)的變化。為了表示的更直觀一些，取xoy坐標(biāo)面，得到圖4：xyoyxM圖4 物坐標(biāo)系繞z軸旋轉(zhuǎn)角度平面圖由圖4，易得到下列公式：因?yàn)?，所以上式可化為?又因?yàn)?，故可得到，其中A=這樣=，得到旋轉(zhuǎn)矩陣=；同理可得繞x軸旋轉(zhuǎn)角得到旋轉(zhuǎn)矩陣；繞y軸旋轉(zhuǎn)角得到旋轉(zhuǎn)矩陣為.綜上，繞這三個(gè)坐標(biāo)軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換后的綜合旋轉(zhuǎn)矩陣R=，所以最終得到旋轉(zhuǎn)矩陣：R= 相機(jī)坐標(biāo)系到像坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換根據(jù)照相機(jī)的構(gòu)造原理可知，從相機(jī)坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)

11、系是一個(gè)縮放的過程，縮放比例是，這個(gè)關(guān)系用矩陣表示為：(2) 物坐標(biāo)系到像坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換綜合(1)(2)式可知從物坐標(biāo)系經(jīng)過相機(jī)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化到圖像坐標(biāo)系的關(guān)系，用矩陣可以表示為：其中的雖然是未知量，但可以由(2)式得到其用，來表示，表示公式為：，其中表示旋轉(zhuǎn)矩陣的第i行j列元素，由此得到從物坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系的表達(dá)式為：（3）其中為的表達(dá)式:所以對于(3)式只要求出參數(shù)和，這個(gè)轉(zhuǎn)化關(guān)系就明確，由此求解靶標(biāo)上圓的圓心的像坐標(biāo)的模型也就建立出來了。6 問題二的解決6.1 標(biāo)定點(diǎn)選擇結(jié)合方程(3)， 找到5個(gè)內(nèi)公切線的交點(diǎn)的物坐標(biāo)及對應(yīng)的像坐標(biāo)即可求得方程(3)的各參數(shù)。為了便于說明，選取圖5所示5個(gè)內(nèi)

12、公切線的交點(diǎn)（標(biāo)定點(diǎn)），圖中自左上角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)分別是圓A，C，D，E的像，各標(biāo)定點(diǎn)分別用字母來表示：圖5 標(biāo)定點(diǎn)的選取結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)，對于如圖6中所示的兩圓中，在兩圓上分別選取兩點(diǎn)連線的斜率必將介于兩條內(nèi)公切線的斜率之間（兩內(nèi)公切線的斜率分別為兩圓上任意兩點(diǎn)連線斜率的最大值和最小值），即有關(guān)系式（為斜率）：圖6 圓與內(nèi)公切線（平放）而對于如圖7所示的兩圓中，在兩圓上分別選取兩點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)必將介于兩條內(nèi)公切線的斜率的倒數(shù)之間，即有關(guān)系式：圖7 圓與內(nèi)公切線（豎放）在圖1經(jīng)過相機(jī)照相得到圖2過程中，雖然圓的像不是規(guī)則的圓形，根據(jù)成像原理，像的變化具有整體性，可得上面的原理在像中依舊成立。這

13、樣就可先求得相應(yīng)兩圓的像任意兩點(diǎn)的斜率（或斜率倒數(shù)），在其中找到最大者和最小者，即分別為兩條內(nèi)公切線的斜率(或斜率倒數(shù))。由此求得對應(yīng)的內(nèi)公切線的方程，它們的交點(diǎn)即為所求標(biāo)定點(diǎn)。6.2 標(biāo)定點(diǎn)像坐標(biāo)的計(jì)算利用matalb編程1將圖2中各圓像輪廓所有點(diǎn)的像坐標(biāo)找出來，然后再利用matlab2計(jì)算給定兩圓邊緣上兩點(diǎn)連線的最大斜率與最小斜率，然后找出對應(yīng)的切點(diǎn)，利用點(diǎn)斜式算得兩條內(nèi)公切線方程，進(jìn)而求得對應(yīng)的標(biāo)定點(diǎn)的像坐標(biāo)。下面以計(jì)算點(diǎn)為例具體闡述計(jì)算像坐標(biāo)的方法。為方便說明，在圖5提取圖8：AC圖8 A、C的像內(nèi)公切線與焦點(diǎn)基于上述分析，得到A,C像上任意兩點(diǎn)斜率的最大值與最小值分別為，所以直線,的

14、斜率分別為:,同時(shí)，得到點(diǎn)的像坐標(biāo)分別為:,利用求解直線方程的點(diǎn)斜式: ，整理得到：(4)由方程(4)得到的像坐標(biāo)為.用同樣的辦法可以求得的像坐標(biāo)（注意,像坐標(biāo)求解時(shí)，尋找內(nèi)公切線的斜率時(shí)，是所有任意兩個(gè)點(diǎn)連線斜率倒數(shù)的最大值與最小值），比照內(nèi)功切線交點(diǎn)的物坐標(biāo)，最終得到表1：表1 標(biāo)定點(diǎn)物坐標(biāo)與像坐標(biāo)標(biāo)定點(diǎn)原像物坐標(biāo)()標(biāo)定點(diǎn)像像坐標(biāo)()(0,50,0)(-6.9767,48.1604)(0,0,0)(-12.6984,7.6720)(0,-50,0)(-20.6349,-30.6878)(-50,0,0)(-54.7619,8.9941)(50,0,0)(25.6614,5.8201)6.

15、3求解方程(3)待定參數(shù)將表1的相關(guān)數(shù)據(jù)代入方程(3)，利用lingo求解得到參數(shù)的計(jì)算結(jié)果見表2：表2 參數(shù)計(jì)算結(jié)果參數(shù)求解結(jié)果-12.17855.4722497.6689再將計(jì)算的各參數(shù)的結(jié)果代入方程(3)，并且注意到，最終得到物坐標(biāo)系到像坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換表達(dá)式為：（5）6.4 靶標(biāo)圓心像坐標(biāo)的確定容易得到各圓心的物坐標(biāo)，見表3：表3 各圓心物坐標(biāo)圓心物坐標(biāo)A(-50,50)B(-20,50)C(50,50)D(50,-50)E(-50,-50)將各圓心的物坐標(biāo)分別代入方程(5)，得到它們的像坐標(biāo)見表4，問題二得以解決：表4 各圓心像坐標(biāo)圓心像坐標(biāo)A(-49.8577,50.6559)B(-2

16、4.5423,49.1824)C(32.5168,48.5784)D(18.3139,-30.6194)E(-60.3038,-30.3856)7 問題三的解決7.1 問題一、二模型的精度分析對于問題三，根據(jù)成像原理，原像中的直線在它對應(yīng)的像中，仍然保持一條直線。所以我們選取物坐標(biāo)系中在一條直線上的幾個(gè)點(diǎn)，由問題一、二求得的物坐標(biāo)與圖像坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，算出它們在圖像坐標(biāo)系里面對應(yīng)的坐標(biāo)，然后利用一元線性回歸分析的方法判斷它們是否成直線分布，根據(jù)結(jié)果對模型進(jìn)行檢驗(yàn)。在物坐標(biāo)系里面，可以確定下面9個(gè)點(diǎn)(圖9)在一條直線上：ABCA左A右B左B右C左C右圖9 進(jìn)行檢驗(yàn)的9個(gè)點(diǎn)容易求得它們的物坐標(biāo)，見

17、表5：表5 進(jìn)行檢驗(yàn)的9個(gè)點(diǎn)物坐標(biāo)點(diǎn)物橫坐標(biāo)物縱坐標(biāo)A左-6250A-5050A右-3850B左-3250B-2050B右-850C左3850C5050C右6250將它們的坐標(biāo)分別代入方程(5)，求得它們對應(yīng)的像坐標(biāo)，計(jì)算結(jié)果見表6：表6 進(jìn)行檢驗(yàn)的9個(gè)點(diǎn)圖像坐標(biāo)對應(yīng)的像像橫坐標(biāo)x像縱坐標(biāo)yA左-61.471650.7148A-49.857750.6559A右-39.072350.1347B左-31.831750.0626B-24.542349.1824B右-9.472349.0723C左20.192748.9012C32.516848.5784C右43.734548.1258利用matlab

18、對表6涉及的點(diǎn)進(jìn)行一元線性回歸分析，得到它們在顯著性水平為0.05下的回歸方程為:(6)并且p值為0.0001遠(yuǎn)小于0.05，擬合優(yōu)度為0.9096，說明直線方程(6)能很好的反應(yīng)這9個(gè)點(diǎn)圖像坐標(biāo)的關(guān)系，認(rèn)為它們的分布符合一條直線是合理的，模型精度較高。7.2 問題一、二模型的穩(wěn)定性分析對模型的穩(wěn)定性進(jìn)行檢驗(yàn)，我們具體的做法是：令靶標(biāo)上的五個(gè)圓圓心分別向左偏移1mm，來計(jì)算各圓心的像的像坐標(biāo)。比較偏移前后圓心像坐標(biāo)的變化，對模型的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。將各圓心分別向左偏移1mm得到各圓心的坐標(biāo)如表7：表7 圓心向左偏移1mm后的物坐標(biāo)圓心(偏移)物橫坐標(biāo)物縱坐標(biāo)A-5150B-2150C4950D4

19、9-50E-51-50由問題二的計(jì)算結(jié)果可知，移動前的各圓心的像坐標(biāo)如表8：表8 圓心偏移前像坐標(biāo)圓心像橫坐標(biāo)像縱坐標(biāo)A-49.857750.6559B-24.542349.1824C32.516848.5784D18.3139-30.6194E-60.3038-30.3856將表7的數(shù)據(jù)代入方程(5),得到各圓心分別向左平移1mm后得到各圓圓心的像坐標(biāo)，見表9表9 圓心偏移后的像坐標(biāo)圓心(偏移)像橫坐標(biāo)像縱坐標(biāo)A-50.265550.4574B-25.232248.836C31.650747.9526D17.8788-29.9348E-61.975-29.8224 進(jìn)一步計(jì)算得到移動前后圓心

20、像的總偏移量是：=4.8688mm其中分別代表A,B,C,D,E，進(jìn)一步求得平均偏移量=0.9738mm平均偏移量非常接近1mm；偏移量的相對誤差是，這樣模型的穩(wěn)定性就得到了檢驗(yàn)。7.3 問題一、二模型的檢驗(yàn)進(jìn)行模型檢驗(yàn)時(shí)，可在各圓像的輪廓上選取若干個(gè)點(diǎn)(這兒每個(gè)圓選取4個(gè)點(diǎn))的像坐標(biāo)，利用方程(5)推出它們對應(yīng)的物坐標(biāo)。在模型沒有誤差的情況下，這些點(diǎn)的物坐標(biāo)應(yīng)該在對應(yīng)圓的圓周上，它們與對應(yīng)圓的圓心的距離應(yīng)該為12mm。為此，我們計(jì)算這些點(diǎn)的物坐標(biāo)與對應(yīng)圓心的距離同12的相對誤差，根據(jù)相對誤差的大小，對模型進(jìn)行檢驗(yàn)。為此檢驗(yàn)過程中，在圓(選A、C、D、E)像的輪廓上選取點(diǎn)的像坐標(biāo)、求得對應(yīng)的物

21、坐標(biāo)、物坐標(biāo)與相應(yīng)圓心的距離、距離的均值見表10：表10 模型檢驗(yàn)表格（單位：mm）點(diǎn)像橫坐標(biāo)像縱坐標(biāo)物橫坐標(biāo)物縱坐標(biāo)離心距離距離均值園A的像輪廓上選取的4個(gè)點(diǎn)-46.682458.3216-49.073461.332511.370312.5003-58.597749.8499-62.117349.651812.1223-39.561540.9986-38.708641.001914.4382-49.498339.3504-50.239537.931912.0705園C的像輪廓上選取的4個(gè)點(diǎn)34.635950.887250.637261.689511.706912.016424.130142.

22、793438.249850.321311.754642.912440.992861.835950.229511.838133.636631.453251.030137.275412.7662園D的像輪廓上選取的4個(gè)點(diǎn)28.8282-29.824450.2163-37.778412.223511.810318.8822-39.566338.9842-50.122311.016537.7018-41.184161.9538-50.606111.969227.5855-50.205950.3844-62.025912.032園E的像輪廓上選取的4個(gè)點(diǎn)-55.6822-24.4521-50.2736-

23、38.193911.809311.9074-67.0758-33.2058-62.3171-49.168512.3451-46.0506-34.6771-38.0687-49.299211.9519-57.4385-44.5837-50.0616-61.523311.5235由此可以計(jì)算每個(gè)距離均值與12mm的相對誤差：4.17% 0.14%1.58% 0.77%平均相對誤差rel=1.66%,由此可見，計(jì)算結(jié)果是比較準(zhǔn)確的，模型具有很高的可信度。8 問題四的解決在問題一的基礎(chǔ)上，我們考慮有兩臺照相機(jī)給同一靶標(biāo)照相的情形。對于第一臺照相機(jī)，其相機(jī)坐標(biāo)為，我們有：其中分別是從物坐標(biāo)系到第一個(gè)相機(jī)

24、坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矩陣。同樣地，對于第二臺照相機(jī)，其相機(jī)坐標(biāo)為我們有：其中是從物坐標(biāo)系到第二個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣和位移矩陣。將上述兩個(gè)等式變形得到：= 和=因?yàn)閮蓚€(gè)照相機(jī)是對同一物體(特征點(diǎn))進(jìn)行拍照，這樣我們有：=將其變形就可得到:(6)等式(6)即反映了兩個(gè)相機(jī)的相對位置，并且可以得到從第一個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系到第二個(gè)相機(jī)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣為=，位移矩陣為=.9 模型的優(yōu)缺點(diǎn)及改進(jìn)方向（1）模型的優(yōu)點(diǎn)對于問題一，采用坐標(biāo)變換的思想建立求解靶標(biāo)圓心像坐標(biāo)的模型，方法上通俗易懂，易于操作。問題二中，把兩圓的內(nèi)公切線的交點(diǎn)作為標(biāo)定點(diǎn)，基于對斜率的分析，容易求得它們的像坐標(biāo)，與找其它標(biāo)定點(diǎn)，方法簡單很

25、多。（2）模型的缺點(diǎn)對于問題一建立的物坐標(biāo)系到像坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換方程，里面的參數(shù)比較多，利用lingo求解時(shí)花費(fèi)的時(shí)間比較長。問題三中，對模型的精度以及穩(wěn)定性進(jìn)行討論時(shí)使用的數(shù)據(jù)較少，誤差較大。（3）模型的改進(jìn)對問題三進(jìn)行模型精度與穩(wěn)定性討論時(shí)，多選取幾個(gè)數(shù)據(jù)，增加可信度。在模型檢驗(yàn)中我們分別在四個(gè)圓的像中上選取了四個(gè)點(diǎn)，結(jié)果不具有一般性。因此可以取出圓的像中輪廓的所有坐標(biāo)點(diǎn)(這些坐標(biāo)都是像坐標(biāo))，將這些坐標(biāo)代入(5)式中求得它們所對應(yīng)的物坐標(biāo)，然后將這些物坐標(biāo)與給定圖1的圓的坐標(biāo)進(jìn)行比對，重合的點(diǎn)數(shù)越多則說明我們所建立的模型越好。參考文獻(xiàn)1 張德豐等,MATLAB數(shù)字圖像處理，北京：機(jī)械工業(yè)出版

26、社，20092 國外計(jì)算機(jī)科學(xué)教材系列,數(shù)值方法（MATLAB版）.第四版,北京：電子工業(yè)出版社，2010附錄1.matlab程序代碼1%輸出提取的邊緣點(diǎn)的的坐標(biāo)（像素坐標(biāo)）bound=;h=0;a=B;while h=0 m=; for i=1:length(a(:,1) for j=1:length(a(1,:) if a(i,j)=1 break; end end if a(i,j)=1 break; end end if i=768&j=1024 h=1; break; else hh=0; while hh=0 a(i,j)=0; m=m;i,j; if a(i+1,j)=1

27、 i=i+1; elseif a(i-1,j)=1 i=i-1; elseif a(i,j+1)=1 j=j+1; elseif a(i,j-1)=1 j=j-1; elseif a(i-1,j-1)=1 i=i-1;j=j-1; elseif a(i-1,j+1)=1 i=i-1;j=j+1; elseif a(i+1,j-1)=1 i=i+1;j=j-1; elseif a(i+1,j+1)=1 i=i+1;j=j+1; else hh=1; end end end for i=1:length(a(:,1) for j=1:length(a(1,:) if a(i,j)=1 if a(i

28、-1,j)=0&a(i+1,j)+0&a(i,j-1)=0&a(i,j+1)=0&a(i-1,j+1)=0&a(i-1,j-1)=0&a(i+1,j+1)=0&a(i+1,j-1)=0 a(i,j)=0; end end end end bound=bound,m;endbound(2)=;2.matlab程序代碼2%求內(nèi)公切線的斜率function Kmax,Kmin=zx(Ax,Bx,Ay,By)xl=zeros(235*212,1);l=1;for i=1:235 for j=1:212 if (Bx(j)-Ax(i)0 xl(l)

29、=(By(j)-Ay(i)/(Bx(j)-Ax(i); l=l+1; end endendKmax,cc=max(xl);m=ccKmin,dd=min(xl);n=dd3.matlab程序代碼3%像素坐標(biāo)與像坐標(biāo)轉(zhuǎn)換A1=(A-512)./3.78;%A為圖像橫坐標(biāo)像素矩陣B1=(384-B)./3.78;%B為圖像縱坐標(biāo)像素矩陣A1B14.matlab程序代碼4%當(dāng)圓心坐標(biāo)偏移1mm時(shí)圓心像的坐標(biāo)偏移量算法（穩(wěn)定性分析）Ox=-49.8577 -24.5423 32.5168 18.3139 -60.3038;Oy=50.6559 49.1824 48.5784 -30.6194 -30.3856;Ox1=-50.2655 -25.2322 31.6507 17.8788 -61.975;Oy1=50.4574 48.836 47.9526 -29.9348 -29.8224;dd=(Ox-Ox1).2+(Oy-Oy1).2).(1/2)m=sum(dd)n=m/55.matlab程序代碼5(模型檢驗(yàn))Ax=-49.0734 -62.1173 -38.7086 -50.2395;%由給定像A邊緣上四個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)解出的對應(yīng)的物A