放縮法應(yīng)用及定義

1、放縮法的應(yīng)用范疇及其定義杜林濤【摘要】放縮法是針對(duì)不等式結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，將一端向另一端進(jìn)行放大或縮小，使問(wèn)題解決的一種變形手段. 所以放縮法被認(rèn)為只適用于證明不等式成立，不被重視，它的應(yīng)用范疇也大多集中在中小學(xué)的證明題. 但放縮法也是始終貫穿證明不等式的指導(dǎo)變形方向的一種思考方法，從這作為出發(fā)點(diǎn)，對(duì)放縮法在數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)以及點(diǎn)集拓?fù)渲羞M(jìn)行了研究. 通過(guò)分析放縮法在一般分析學(xué)中的應(yīng)用，進(jìn)而重新認(rèn)識(shí)放縮法，發(fā)現(xiàn)它不僅適用于任何有關(guān)不等式的證明，還可以作為定理用來(lái)求值或判別某種性質(zhì). 放縮法應(yīng)用在不等式證明之外，脫離了不等式的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)，那什么是放縮法，放縮法作為可以簡(jiǎn)化問(wèn)題或解決問(wèn)題的一種工具，抽

2、象成概念，即在保持某種條件不變的情況下，向特定方向進(jìn)行不等變形的方法是放縮法. 放縮法具有廣泛的應(yīng)用性，應(yīng)重視運(yùn)用放縮法解決問(wèn)題. 【關(guān)鍵詞】放縮法；不等式；收斂法；集合. 目 錄1引言12放縮法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用舉例12.1放縮法在不等式證明中的應(yīng)用12.2放縮法在求值和判別原則中的應(yīng)用62.3放縮法在實(shí)數(shù)基本定理中的應(yīng)用123放縮法在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用舉例143.1放縮法在集合中的應(yīng)用143.2放縮法在測(cè)度中的應(yīng)用154放縮法在點(diǎn)集拓?fù)渲械膽?yīng)用165結(jié)論17參考文獻(xiàn)181 引言近年來(lái)，放縮法的主要研究方向是在不等式中應(yīng)用的技巧放縮的思想已經(jīng)應(yīng)用在生活的各個(gè)方面，只是進(jìn)行了放大或縮小就被認(rèn)為使

3、用了放縮法，這種想法是錯(cuò)誤的單純的放大或縮小既不能使問(wèn)題簡(jiǎn)化，也沒(méi)有其它的研究?jī)r(jià)值隨意的進(jìn)行放大或縮小的行為不是放縮法放縮法是不等式證明的一種方法證明不等式A<B成立，可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個(gè)中間量，放縮法的主要理論依據(jù)是不等式的傳遞性，即若A<B，B<C，則A<C放縮法是始終貫穿證明不等式指導(dǎo)變形方向的一種思考方法，放縮法可以將不等式證明化繁為簡(jiǎn)，化難為易但放縮法不只適用于不等式證明，它還可以應(yīng)用到更廣闊的領(lǐng)域，在解決某些問(wèn)題時(shí)，放縮法可以達(dá)到事半功倍，如何理解放縮法尤為重要本文將主要舉例探討放縮法在數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)、點(diǎn)集拓?fù)渲械膽?yīng)用，推廣放縮法在分析學(xué)中

4、的應(yīng)用，并指出保持某種條件不變向特定方向不等變形的方法，就是放縮法2 放縮法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用舉例2.1 放縮法在不等式證明中的應(yīng)用例2.1 證明不等式 ， 成立，其中實(shí)數(shù)證明 其中 ，證畢這道題利用了不等式的傳遞性，從左端向右端放大了三次得到了結(jié)果，有兩個(gè)中間量，其實(shí)已經(jīng)得到了兩個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論和，在體現(xiàn)了放縮法的基本思想如果把改成2，這就是一道運(yùn)用放縮法的中學(xué)題目例2.2 設(shè) 為上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，且 ，證明：,.證 令，則，且 ，于是 ,因此此題構(gòu)造了一個(gè)中間量，從左向右放大了兩次這是典型的放縮法，證明A<C，尋找一個(gè)中間量B，使得A<B，證明B<C成立即可說(shuō)明在積分不等式中

5、，放縮法也適用例2.3 設(shè) 在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求證：對(duì)任意自然數(shù) 有.證不等式左端即證本題向右端只放大了一次，就得到了結(jié)果雖然沒(méi)有中間量，但這也是放縮法，因?yàn)樗昧瞬坏仁降膫鬟f性并向右端進(jìn)行放縮來(lái)得到證明結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)在不等式證明中只要向一端有選擇性的進(jìn)行放大或縮小的方法，就是放縮法定理2.1 （泰勒定理） 若函數(shù)在上存在直至 階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，至少存在一點(diǎn)，使得（帶有佩亞諾余項(xiàng)的）麥克勞林(Maclaurin)公式：我在這里介紹泰勒定理，是因?yàn)樘├斩ɡ砜梢园褲M足條件的多項(xiàng)式分解成關(guān)于 的一元多項(xiàng)式，在證明不等式時(shí)，多項(xiàng)式按照泰勒定理分解后，在原不等式成

6、立的條件下保留有限項(xiàng)，向右端進(jìn)行放縮而麥克勞林公式是泰勒公式的變形，至于它們的余項(xiàng)，在這里不用考慮，因?yàn)樵诓坏仁接梅趴s法的過(guò)程中是要舍掉的二項(xiàng)式定理也具有同樣的特點(diǎn)，例如，在這里就不作介紹了在某些不等式的證明中，帶有佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式可以把不等式化簡(jiǎn)，給不等式證明帶來(lái)了很大的便捷我在這里舉幾個(gè)常用函數(shù)的麥克勞林公式：.(2.1).例2.4 證明不等式:當(dāng)時(shí),.證明1 函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù),則根據(jù)公式（2.1），當(dāng)時(shí)明顯有,當(dāng)時(shí)，設(shè)，即即證當(dāng)時(shí)這道題如果只證明的情況，用這種方法進(jìn)行放縮就很簡(jiǎn)單了除了用麥克勞林公式進(jìn)行放縮，這道題還有其他的方法證明2 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，,所以，即 .同理

7、可證，當(dāng)時(shí)，.總之，當(dāng)時(shí)，.此不等式的幾何意義是,曲線位于曲線的上方在例的分析中我們知道本題運(yùn)用了放縮法，它是通過(guò)設(shè)立函數(shù)，利用微分判別函數(shù)的單調(diào)性，再對(duì)函數(shù)運(yùn)用放縮法得到結(jié)果這道題的特點(diǎn)是沒(méi)有在原不等式兩端進(jìn)行放縮，而是移項(xiàng)后和0比較，函數(shù)之間運(yùn)用放縮法例2.5 證明不等式：，式中為正有理數(shù)證明 （>0,為正整數(shù)）.設(shè)，為正整數(shù)，則由于,故.這道題利用了兩個(gè)已知不等式關(guān)系進(jìn)行放縮，如果把放縮法看成不等式證明的一個(gè)工具，在本題中利用已知不等式關(guān)系證明不等式就是放縮法因?yàn)榉趴s法是始終貫穿證明不等式指導(dǎo)變形方向的一種思考方法，而利用不等式關(guān)系本身就是在指導(dǎo)變形方向例2.6 證明不等式： 當(dāng)證

8、 當(dāng)時(shí),因?yàn)?,故不等式成立設(shè)時(shí),不等式成立,即,則對(duì)于時(shí),有由于 ，從而有，即對(duì)于 時(shí)，不等式也成立于是，對(duì)于任何自然數(shù)，有該題目在不等式證明中用的是數(shù)學(xué)歸納法，沒(méi)有直接用放縮法，但我們可以看出在證明時(shí)，不僅運(yùn)用了時(shí)不等式成立的假設(shè)，還利用了一個(gè)不等式關(guān)系 ，根據(jù)對(duì)例的分析，這道題明顯運(yùn)用了放縮法例2.7 證明：證 方法1 反設(shè)，那么存在著自然數(shù)列，使得由得，其中，皆為有界量上式兩邊取極限后得矛盾 方法2 注意到對(duì)任意的，于是這道例題的第一種證明方法用的是反證法，在其中并沒(méi)有運(yùn)用到放縮法，說(shuō)明不是所有證明不等式的就一定要用到放縮法第二種證明方法用的就是放縮法,說(shuō)明有關(guān)不等式的證明都可以用放縮

9、法進(jìn)行嘗試.由以上例子我們可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)列、函數(shù)、積分的不等式證明中都運(yùn)用了放縮法，甚至任何有關(guān)不等式的證明中都用到了放縮法這說(shuō)明放縮法在證明不等式中至關(guān)重要，涉及有關(guān)不等式證明的都可以用放縮法進(jìn)行嘗試在不等式證明中無(wú)論是借助泰勒公式、函數(shù)的單調(diào)性還是已知的不等式關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)放縮法就是在保持原不等式成立的條件下，有選擇性的進(jìn)行放大或縮小的方法2.2 放縮法在求值和判別原則中的應(yīng)用在證明等式成立時(shí)有的也可以運(yùn)用放縮法，等式的證明可以分成兩個(gè)不等式的證明，即證明A=B等價(jià)于證明AB和AB，這就相當(dāng)于不等式BAB.這種形式類似于極限的迫斂性，證明極限的值也就是在證明等式成立下面我們統(tǒng)稱尋找適當(dāng)?shù)牧?/p>

10、B,使得BAB的方法叫迫斂法其中迫斂法就是A向兩端進(jìn)行放縮尋找B使得不等式成立的方法，即保持不等式兩端相等（可以是值相等，也可以是兩個(gè)極限值相等的不同的數(shù)列或函數(shù)），選擇性的放大或縮小的方法，所以迫斂法本身就是放縮法例2.8 證明：.證 由帶積分余項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式知，因而原命題等價(jià)于證明.再利用斯特林公式，知原命題等價(jià)于證明首先，注意到，于是其次，對(duì)任何，考慮輔助函數(shù)，因?yàn)?，而?故存在著實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，因而，在中遞增，故從而，再由的任意性知綜上所述，可得這道題用的就是迫斂法，其中還運(yùn)用了其他大量的放縮法，在上節(jié)中已經(jīng)講述這里的迫斂法是極限的迫斂性和上極限、下極限的混合使用定理2.2 （迫斂性）

11、 設(shè)收斂數(shù)列，都以為極限，數(shù)列滿足：存在正數(shù)，當(dāng)時(shí)有，則數(shù)列收斂，且級(jí)數(shù)的迫斂性就是向兩端縮放尋找收斂數(shù)列，從而得出數(shù)列收斂及其極限值數(shù)列極限的迫斂性本來(lái)是用來(lái)求極限的，它用的就是迫斂法即放縮法，所以放縮法也可以用來(lái)求數(shù)列的極限函數(shù)的極限也具有迫斂性，和數(shù)列的類似，這里就不再贅述了迫斂性又叫做夾逼定理例2.9 求數(shù)列的極限 解 由不等式，有，于是由于，故由夾逼定理可得這是用數(shù)列極限迫斂性的典型的例子其中，1的極限明顯就是1本身，右端進(jìn)行放縮求得的極限與左端一致，從而求出數(shù)列的極限也就是說(shuō)通過(guò)放縮法求出了數(shù)列的極限定義2.1 （函數(shù)的上、下極限） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有界，對(duì)任意的，令，分別是的單調(diào)遞

12、減和遞增有界函數(shù)，因此和存在，我們分別稱之為函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)的上、下極限記為，定理2.3 的充要條件是此定理可以用來(lái)驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)是否有極限，若有則同時(shí)求得函數(shù)的極限數(shù)列的極限也適用若將極限值改為函數(shù)在某點(diǎn)的值，這就成了連續(xù)函數(shù)的等價(jià)定義了在例中，運(yùn)用的迫斂法是夾逼定理和上、下極限的混合方法夾逼定理本身是用做求極限的，而上、下極限定理是用做驗(yàn)證和求數(shù)列或函數(shù)在某點(diǎn)的極限，兩者有其互通性?shī)A逼定理就是迫斂法，即運(yùn)用了放縮法；而上、下極限定理是等式形式，等式的證明有可能會(huì)用到放縮法，但是上、下極限定理無(wú)法單獨(dú)用來(lái)證明極限的等式，在此題中它是結(jié)合了夾逼定理來(lái)證明的回想一下夾逼定理，它是通過(guò)向兩端進(jìn)行放

13、縮使兩端的極限值一致，從而求出極限值；上、下極限定理也是上、下兩個(gè)方向，但是它并沒(méi)有進(jìn)行放大和縮小，所以沒(méi)有用放縮法例2.10 證明極限不存在證 設(shè)， ，則顯然有， ，故由上、下極限的定理，極限不存在這道題用的就是數(shù)列的上、下極限，雖然 形式上很像迫斂法，但過(guò)程中并沒(méi)有進(jìn)行放縮，因?yàn)槭堑淖钚≈担堑淖畲笾?，這個(gè)過(guò)程只是在求的最大最小值保持不等式成立的條件下，有選擇性的進(jìn)行放大或縮小的方法是放縮法，而這道題的證明過(guò)程中不等式是恒成立的，但不具有選擇性因此，利用上、下極限定理的過(guò)程中并沒(méi)有運(yùn)用放縮法所以此題沒(méi)有應(yīng)用放縮法定理2.4 （比較原則） 設(shè)和是兩個(gè)正項(xiàng)的級(jí)數(shù)，如果存在某個(gè)正數(shù)，對(duì)一切都有，

14、則（i） 若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)也收斂；（ii） 若級(jí)數(shù)發(fā)散，則級(jí)數(shù)也發(fā)散推論 設(shè)(2.2)(2.3)是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若，則（i） 當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)（2.5）、（2.6）同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散；（ii） 當(dāng)且級(jí)數(shù)（2.6）收斂時(shí)，級(jí)數(shù)（2.5）也收斂；（iii） 當(dāng)且級(jí)數(shù)（2.6）發(fā)散時(shí)，級(jí)數(shù)（2.5）也發(fā)散級(jí)數(shù)的比較原則，若要證明收斂，只要通過(guò)適當(dāng)?shù)姆趴s找到收斂級(jí)數(shù)，這很明顯運(yùn)用的是放縮法根據(jù)上節(jié)對(duì)放縮法在不等式證明中的認(rèn)識(shí)，比較原則就是放縮法的應(yīng)用根據(jù)比較原則我們得到，在保持收斂性不變的情況下，向特定的方向進(jìn)行不等變形的方法，也是放縮法比較原則的推論也是放縮法應(yīng)用，雖然其中并沒(méi)有不等式，但推論中要證明級(jí)

15、數(shù)（2.5）的斂散性，需要找到容易做比值取極限的，所以需要進(jìn)行放縮找到合適的，而正項(xiàng)級(jí)數(shù)（2.5）跟（2.6）的斂散性一致在這過(guò)程中保持了斂散性不變，并向特定方向發(fā)生了不等變形，因此級(jí)數(shù)比較原則的推論也是放縮法例2.11 考察的收斂性解 由于當(dāng)時(shí)，有因?yàn)檎?xiàng)級(jí)數(shù)收斂，故由比較級(jí)數(shù)知，級(jí)數(shù)也收斂此題用的就是級(jí)數(shù)的比較原則，很容易發(fā)現(xiàn)它運(yùn)用的就是放縮法，所以放縮法也可以用來(lái)考察級(jí)數(shù)的斂散性級(jí)數(shù)除了比較原則還有比式判別法和根式判別法，這些判別法都是以比較原則為基礎(chǔ)的，所以在比式判別法和根式判別法的證明中都運(yùn)用了放縮法，但它們本身并不是放縮法，就像證明等式或不等式成立，雖然在證明過(guò)程中運(yùn)用了放縮法，但

16、等式或不等式本身和放縮法無(wú)關(guān)這些判別式的證明就不再敘述了例2.12 判別級(jí)數(shù)的斂散性解 此級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由公式 知，于是便有因此由的收斂性知收斂這道題用的就是級(jí)數(shù)比較原則的推論，推論的放縮法用到了麥克勞林公式，它是利用麥克勞林公式進(jìn)行放縮找到合適的級(jí)數(shù)，這說(shuō)明級(jí)數(shù)比較原則的推論就是放縮法并且我們發(fā)現(xiàn)脫離了不等號(hào)連接的形式，也能應(yīng)用放縮法，說(shuō)明放縮法還具有很大的應(yīng)用性通過(guò)以上分析，我們發(fā)現(xiàn)極限的迫斂性，級(jí)數(shù)的比較原則及其推論都是放縮法的應(yīng)用，也可以說(shuō)它們就是放縮法，放縮法可以用來(lái)求極限和判別級(jí)數(shù)的斂散性還有不是所有類似于形式的方法都是放縮法，放縮法必須一方通過(guò)另一方放縮得到，例如函數(shù)的上、下極

17、限定理在求或驗(yàn)證函數(shù)極限時(shí)的應(yīng)用級(jí)數(shù)比較原則的推論使放縮法脫離了不等號(hào)連接的形式，以上都顯示出放縮法的應(yīng)用廣泛，還有保持?jǐn)可⑿圆蛔?，向特定方向不等變形的方法也是放縮法2.3 放縮法在實(shí)數(shù)基本定理中的應(yīng)用定理2.5 （確界存在原理） 設(shè)S為非空數(shù)集若S是上方有界，則S一定存在上確界；反之亦然 證 設(shè)S含有非負(fù)數(shù)由于S有上界，故可以找到非負(fù)整數(shù)，使得1） 對(duì)于任何有；2） 存在，使得對(duì)半開(kāi)區(qū)間作10等分，分點(diǎn)為 ，則存在0,1,2，9中的一個(gè)數(shù)，使得1） 對(duì)于任何有；2） 存在，使得繼續(xù)不斷地10等分在前一個(gè)步驟中所得到的半開(kāi)區(qū)間，可知對(duì)任何，存在0,1,2，9中的一個(gè)數(shù)，使得1） 對(duì)于任何有；2

18、） 存在，使得將上述步驟無(wú)限進(jìn)行下去，得到實(shí)數(shù)以下證明為此只需要證明：（i） 對(duì)一切有；（ii） 對(duì)任何，存在使得下面我就不再給出證明了，因?yàn)槲蚁胝f(shuō)明的是在區(qū)間10等分的過(guò)程集合S的上界是，為了確定上確界把區(qū)間進(jìn)行10等分，然后選取區(qū)間使其包含上確界，無(wú)限記性下去從而找到上確界換成不等式形式就是，最后是的形式，所以用的就是迫斂法，也就是放縮法定理2.6 （布爾查諾-魏爾斯特拉斯（）引理） 由任何有界數(shù)列內(nèi)恒能選出收斂于有限極限的部分?jǐn)?shù)列（這種寫法不致除去在所給數(shù)列內(nèi)有相等的數(shù)的可能性）證明 設(shè)一切數(shù)都位于界限與之間將區(qū)間分成兩半，則必有一半包含著所給數(shù)列的無(wú)窮多個(gè)元素，因?yàn)椋舨皇沁@樣，則在全

19、區(qū)間內(nèi)所包含著的元素將是有限個(gè)數(shù)，但這是不可能的因此設(shè)包含著無(wú)窮多個(gè)的那一半是（若兩個(gè)半?yún)^(qū)間都是如此，則任取其中之一）類似地，在區(qū)間內(nèi)分出它的一半，使得在它里面包含著無(wú)窮多個(gè)繼續(xù)這種步驟至于無(wú)窮，在第次分出的區(qū)間內(nèi)照樣包含著無(wú)窮多個(gè)的這樣構(gòu)成的區(qū)間（由第二個(gè)開(kāi)始），每一個(gè)都包含在前一個(gè)之內(nèi)，等于它的一半此外，第個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度等于它隨著的增大而趨向零把關(guān)于區(qū)間套的引理應(yīng)用到這里來(lái)，便得結(jié)論：及趨向一個(gè)公共極限現(xiàn)在部分?jǐn)?shù)列可由下列方法歸納地產(chǎn)生出來(lái)在所給數(shù)列的元素內(nèi)任取包含在中的一個(gè)（例如，第一個(gè)）當(dāng)作在后面的元素內(nèi)任取包含在中的一個(gè)（例如，第一個(gè)）當(dāng)作，等等一般地說(shuō)，在以前分出的，后面的元素內(nèi)包含

20、在中的一個(gè)（例如，第一個(gè)），當(dāng)作這種產(chǎn)生數(shù)列方法是完全可能的：因?yàn)槊恳粋€(gè)區(qū)間內(nèi)包含著無(wú)窮多個(gè)，即包含著序號(hào)可為任意大的元素再則，因?yàn)椋?，故必有此即所要證的這個(gè)引理就是致密性定理在證明引理時(shí)，用了逐次等分所考察的區(qū)間的方法，稱為布爾查諾方法根據(jù)對(duì)定理2.5的分析，布爾查諾方法是放縮法，所以該定理的證明用了放縮法在證明該定理中還用到了區(qū)間套原理定理2.7 （區(qū)間套原理） 設(shè)是一串閉區(qū)間，滿足：（a），（b），則存在唯一的，這個(gè)定理的證明很簡(jiǎn)單，不再給出證明過(guò)程，過(guò)程中用到只是列出來(lái)的滿足條件，沒(méi)有用到放縮法因?yàn)橐呀?jīng)給出了閉區(qū)間套，不需要布爾查諾方法，而且兩個(gè)數(shù)列的極限值相等也給出實(shí)數(shù)空間的七個(gè)基

21、本定理包括確界定理，單調(diào)有界定理，柯西收斂準(zhǔn)則，區(qū)間套定理，聚點(diǎn)定理，致密性定理，有限覆蓋定理前六個(gè)定理都是用來(lái)直接論證函數(shù)局部性質(zhì)的，而有限覆蓋定理則是用來(lái)直接證明函數(shù)整體性質(zhì)的，它的作用在于將函數(shù)在各點(diǎn)的局部性質(zhì)擴(kuò)展到整個(gè)閉區(qū)間上有限覆蓋定理的證明中也用到了布爾查諾方法即放縮法，在函數(shù)的“整體性質(zhì)”和“局部性質(zhì)”的證明中都用到了放縮法數(shù)學(xué)分析是建立在實(shí)數(shù)上的，極限是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，不等式貫穿了整個(gè)數(shù)學(xué)分析，綜上，放縮法在數(shù)學(xué)分析中具有廣泛的應(yīng)用性并且不可或缺3 放縮法在實(shí)變函數(shù)中的應(yīng)用舉例3.1 放縮法在集合中的應(yīng)用下面出現(xiàn)的A,B,C,大寫字母都是指集合定義3.1 集合是指把具有某種性質(zhì)

22、或滿足一定性質(zhì)的所有對(duì)象或事物視為一個(gè)整體時(shí)，這一整體就稱為集合，而這些事物或?qū)ο缶头Q為屬于該集合的元素集合之間的包含關(guān)系是具有傳遞性的，可以類比不等式的傳遞性集合之間的交和并也可以看做是集合的縮小和放大所以集合的不等關(guān)系也可以運(yùn)用放縮法進(jìn)行證明定義3.2 設(shè)有集合A與B若存在一個(gè)從A到B的一一映射，則稱集合A與B對(duì)等(也就是說(shuō)可以把A與B的全部元素通過(guò)映射一一對(duì)應(yīng)起來(lái)），記為對(duì)等的意思就像數(shù)學(xué)分析中代數(shù)式的相等，是指集合A中的元素個(gè)數(shù)與集合B的相等定理3.1 （Cantor-Bernstein定理） 若集合與的某個(gè)真子集對(duì)等，與的某個(gè)真子集對(duì)等，則此定理本身沒(méi)有用到放縮法，證明這個(gè)定理的方法

23、有兩種也都沒(méi)有運(yùn)用放縮法我要說(shuō)明的是伯恩斯坦定理的特例定理的特例：設(shè)集合，滿足下述關(guān)系：，若，則這個(gè)特例應(yīng)用了放縮法，證明，就要對(duì)集合進(jìn)行縮小尋找集合，使得成立這就像函數(shù)證明，只要對(duì)進(jìn)行縮小找到使得，即利用了不等式的傳遞性，在保持等式關(guān)系成立的條件下，向特定縮小的方向變形的方法這個(gè)特例則是利用了集合的包含關(guān)系的傳遞性，在保持對(duì)等關(guān)系成立的條件下，向特定縮小方向變形的方法，明顯就是運(yùn)用了放縮法因此，伯恩斯坦的特例就是放縮法例3.1 ，這是因?yàn)橐阎?，且有如果我們要直接建立與之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，就會(huì)比較繁瑣些至少用一個(gè)連續(xù)函數(shù)來(lái)表達(dá)是不可能的，因?yàn)殚]區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)之值域仍為一個(gè)閉區(qū)間由以上說(shuō)明，放

24、縮法在集合中也具有應(yīng)用性3.2 放縮法在測(cè)度中的應(yīng)用定義3.3 點(diǎn)集稱為一個(gè)開(kāi)區(qū)間(維)，如將其中不等式一律換成，（或，），則稱之為一個(gè)閉區(qū)間（或左開(kāi)右閉區(qū)間）當(dāng)上述各種區(qū)間無(wú)區(qū)別的必要時(shí)，統(tǒng)稱為區(qū)間，記作稱為的第個(gè)“邊長(zhǎng)”，稱為的“體積”，記為定理3.2 設(shè)，則式對(duì)中任何開(kāi)區(qū)間都成立的充要條件是對(duì)中的任何點(diǎn)集都有證明 充分性顯然成立下證必要性設(shè)為中的任意集合，則由外側(cè)度定義，對(duì)于任何，有一列開(kāi)區(qū)間，使得，且但由于，故，從而由于的任意性，即得.另一方面，顯然有.故.由上述引理，我們現(xiàn)在可以給出中集合屬于的定義，即可測(cè)定義這個(gè)定理的證明，利用了已知不等式關(guān)系，所以很明顯是運(yùn)用了放縮法由以上我們可

25、以看出，放縮法在集合和測(cè)度中也具有應(yīng)用性，實(shí)變函數(shù)是建立在集合上的，而測(cè)度又是實(shí)變函數(shù)的基礎(chǔ)，所以放縮法在實(shí)變函數(shù)中也具有廣泛的應(yīng)用性4 放縮法在點(diǎn)集拓?fù)渲械膽?yīng)用定理4.1 設(shè)是拓?fù)淇臻g的一個(gè)連通子集，滿足條件則也是的一個(gè)連通子集證 假設(shè)是中的一個(gè)不連通子集在中有非空隔離子集和使得 因此由于是連通的，所以，或者如果，由于，所以，因此；同理如果，則這兩種情形都與假設(shè)矛盾即證我們已經(jīng)知道集合具有傳遞性，也可以應(yīng)用放縮法，本定理的證明過(guò)程中，所以，運(yùn)用的就是放縮法該定理與級(jí)數(shù)的迫斂性很相似，只不過(guò)迫斂性是求極限，該定理是驗(yàn)證子集的連通性，所以該定理用的就是迫斂法因此放縮法也是，保持連通性不變，向特定

26、方向不等變形的方法拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)即為同胚的拓?fù)淇臻g所共有的性質(zhì)上面的定理就是迫斂法，即放縮法，連通性是拓?fù)洳蛔冃裕c(diǎn)集拓?fù)涫且约蠟榛A(chǔ)的，所以放縮法可以拓寬為，在保持某種拓?fù)洳蛔冃缘那闆r下，向特定方向不等變形的方法在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，那么在連續(xù)映射下，是滿射但不是一一映射，那么必定保持某種性質(zhì)不變，而且特定方向是縮小的方向進(jìn)行的不等變形，所以這也是放縮法這具有廣泛的應(yīng)用性，適用很多種情況，例如在斜裁服裝樣板上面料縮率縮放新方法，其中有坐標(biāo)取點(diǎn)放縮法和曲線軌跡法，這是建立在連續(xù)映射下進(jìn)行的放大，所以運(yùn)用了放縮法因此放縮法在點(diǎn)集拓?fù)渲幸簿哂袕V泛的應(yīng)用性讓我們?cè)俳Y(jié)合例的結(jié)論，保持?jǐn)可⑿圆蛔?，向特定方向不等變形的方法是放縮法，所以我們可以概括得出，保持某種性質(zhì)不變，向特定方向不等變形的方法，是放縮法5