數(shù)列求和中常見(jiàn)放縮方法和技巧含答案

1、數(shù)列求和中常見(jiàn)放縮方法和技巧一、放縮法常見(jiàn)公式：（1)（2）（3）（4）（二項(xiàng)式定理）（5），（常見(jiàn)不等式）常見(jiàn)不等式：1、均值不等式；2、三角不等式；3、糖水不等式；4、柯西不等式；5、絕對(duì)值不等式；若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來(lái)解題。例4. 已知nN*，求。證明：因?yàn)椋瑒t，證畢。例5. 已知且，求證：對(duì)所有正整數(shù)n都成立。證明：因?yàn)?，所以，又，所以，綜合知結(jié)論成立。例6、求證：證明：此題采用了從第三項(xiàng)開(kāi)始拆項(xiàng)放縮的技巧，放縮拆項(xiàng)時(shí)，不一定從第一項(xiàng)開(kāi)始，須根據(jù)具體題型分別對(duì)待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰倒好處。例6. 已知函數(shù)，證明：對(duì)于

2、且都有。證明：由題意知：，又因?yàn)榍?，所以只須證，又因?yàn)?，所以。例3. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+ca，則為真分?jǐn)?shù)，則，同理，故.綜合得。4、證明：證明：5、求證：證明：6、若，求證：證明：一、運(yùn)用放大、縮小分母或分子的辦法來(lái)達(dá)到放縮的目的分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式，如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可還可利用真分?jǐn)?shù)的分子和分母加上同一個(gè)正數(shù)，則分?jǐn)?shù)值變大；假分?jǐn)?shù)的分子和分母加上同一個(gè)正數(shù)，則分?jǐn)?shù)值變小來(lái)進(jìn)行放縮1、若a，b，c，d是正數(shù)求證：2、求證：3

3、、求證：4、證明：【練習(xí)】求證：5、求證：二、放縮法常見(jiàn)技巧式：（數(shù)列求和中常見(jiàn)放縮方法和技巧-放縮后能求和如放縮后是等比或可裂項(xiàng)求和）1、添加或舍棄一些正項(xiàng)（或負(fù)項(xiàng)）例1、已知求證：證明： 若多項(xiàng)式中加上一些正的值，多項(xiàng)式的值變大，多項(xiàng)式中加上一些負(fù)的值，多項(xiàng)式的值變小。由于證明不等式的需要，有時(shí)需要舍去或添加一些項(xiàng)，使不等式一邊放大或縮小，利用不等式的傳遞性，達(dá)到證明的目的。本題在放縮時(shí)就舍去了，從而是使和式得到化簡(jiǎn).例2、函數(shù)f（x）=，求證：f（1）+f（2）+f（n）>n+.證明：由f(n)= =1-得f（1）+f（2）+f（n）>.此題不等式左邊不易求和,此時(shí)根據(jù)不等式

4、右邊特征, 先將分子變?yōu)槌?shù)，再對(duì)分母進(jìn)行放縮，從而對(duì)左邊可以進(jìn)行求和. 若分子, 分母如果同時(shí)存在變量時(shí), 要設(shè)法使其中之一變?yōu)槌Ａ?，分式的放縮對(duì)于分子分母均取正值的分式。如需放大，則只要把分子放大或分母縮小即可；如需縮小，則只要把分子縮小或分母放大即可。例3、已知an=n ，求證：3證明：=1 =1 () =1123本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).三. 單調(diào)函數(shù)放縮根據(jù)題目特征，通過(guò)構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)進(jìn)行放縮求解。例10. 已知a，bR，求證。證明：構(gòu)造函數(shù)，首先判斷其單調(diào)性，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以在上是增函?shù)，取，顯然滿(mǎn)足，所以，即。證

5、畢。二、函數(shù)放縮例8.求證：.解析:先構(gòu)造函數(shù)有,從而cause所以例10.求證:解析:提示:函數(shù)構(gòu)造形式: 當(dāng)然本題的證明還可以運(yùn)用積分放縮如圖,取函數(shù),首先:,從而,取有,所以有,相加后可以得到: 另一方面,從而有取有,所以有,所以綜上有例13.證明: 解析:構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo),可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以例3（武漢市模擬）定義數(shù)列如下：證明：（1）對(duì)于恒有成立。 （2）當(dāng)，有成立。 （3）。分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。 （2）由得： 以上各式兩邊分別相乘得： ，又 （3）要證不等式，可先設(shè)法求和：，再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。又原不等式得證。本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項(xiàng)

6、求和。數(shù)列不等式證明中的一些放縮技巧1. 放縮為裂項(xiàng)求和例1.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和.(1) 求首項(xiàng)與通項(xiàng)；(2)設(shè)，證明：.解：（1）；(2)所以，.2.放縮為等比求和例2.已知數(shù)列滿(mǎn)足(1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2) 證明：解：（1）;(2)先證不等式的右邊：.再證不等式的左邊：（先將通項(xiàng)放縮，從某一項(xiàng)開(kāi)始放縮后，和式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和）.例3.設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足(1) 當(dāng)時(shí)，求并由此猜想出的一個(gè)通項(xiàng)公式；(2) 當(dāng)時(shí)，證明對(duì)所有的，有（）； （）證明：（）由 (),下面考慮對(duì)1+進(jìn)行縮小=.(無(wú)窮遞縮等比數(shù)列，其部分項(xiàng)和)3.奇偶相鄰問(wèn)題捆綁求和放縮例4.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足(1)寫(xiě)出數(shù)列的前3項(xiàng)；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4,有.解：(2);(3) 由（2）不等式左邊=分母-1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來(lái)一起進(jìn)行放縮，嘗試知：(4) ，因此，可將保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和.這里需要對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)且n為奇數(shù)時(shí)，=，于是(1)當(dāng)m>4且m為偶數(shù)時(shí)(2)當(dāng)m>4且m為奇數(shù)時(shí)由（1）知：.總之，數(shù)列和不等式的證明，關(guān)鍵