拋物線及其標準方程教案

1、 拋物線及其標準方程 我們知道，與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡，當0e1時是橢圓，當e1時是雙曲線那么，當e1時它是什么曲線呢？把一根直尺固定在圖板上直線l的位置(圖819)把一塊三角尺的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣，再把一條細繩的一端固定在三角尺的另一條直角邊的一點A，取繩長等于點A到直角頂點C的長(即點A到直線l的距離)，并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點F用鉛筆尖扣著繩子，使點A到筆尖的一段繩子緊靠著三角尺，然后將三角尺沿著直尺上下滑動，筆尖就在圖板上描出了一條曲線從圖819中可以看出，這條曲線上任意一點P到F的距離與它到直線l的距離相等把圖板繞點F旋轉90&#

2、176;，曲線就是初中見過的拋物線平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線下面根據(jù)拋物線的定義，我們來求拋物線的方程如圖820，建立直角坐標系xOy，使x軸經(jīng)過點F且垂直于直線l，垂足為K，并使原點與線段KF的中點重合 設點M(x，y)是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d由拋物線的定義，拋物線就是集合P=M|MF|=d將上式兩邊平方并化簡，得y22px(p0) 方程叫做拋物線的標準方程它表示的拋物線的焦點在x軸的一條拋物線，由于它在坐標平面內(nèi)的位置不同，方程也不同所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：y2=2px，x2=2py

3、，x2=2py這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程列表如下：例1 (1)已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，2)，求它的標準方程線的標準方程是：x2=8y拋物線的簡單幾何性質(zhì) 我們根據(jù)拋物線的標準方程y22px(p0)來研究它的幾何性質(zhì)1范圍因為p0，由方程可知，這條拋物線上的點M的坐標(x，y)滿足不等式x0，所以這條拋物線在y軸的右側；當x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸2對稱性以y代y，方程不變，所以這條拋物線關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸3頂點拋物線和它的軸的交點叫

4、做拋物線的頂點在方程中，當y=0時，x=0，因此拋物線的頂點就是坐標原點4離心率拋物線上的點M與焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e=15，焦點弦：若拋物線的焦點弦為AB，則；6.若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點例1 已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過解：因為拋物線關于x軸對稱，它的頂點在原點，并且經(jīng)過點M(2，y2=2px(p0)因為點M在拋物線上，所以即p=2因此所求方程是y2=4x的范圍內(nèi)幾個點的坐標，得描點畫出拋物線的一部分，再利用對稱性，就可以畫出拋物線的另一部分(圖823)在本題的畫

5、圖過程中，如果描出拋物線上更多的點，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無限延伸，但并不能像雙曲線那樣無限地接近于某一直線，也就是說，拋物線沒有漸近線這就是標準方程中2p的一種幾何意義(圖824)利用拋物線的幾何性拋物線基本特征的草圖例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點P到點A(3,4)與到準線的距離和最小,則點 P的坐標為_ (2)拋物線C: y2=4x上一點Q到點B(4,1)與到焦點F的距離和最小,則點Q的坐標為 。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當A、P、F三點共線時，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRl交于R，則當B、Q、R三點共線時，距離和最小

6、。解：（1）（2，）連PF，當A、P、F三點共線時，最小，此時AF的方程為 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交點為()，它為直線AF與拋物線的另一交點，舍去）（2）（）過Q作QRl交于R，當B、Q、R三點共線時，最小，此時Q點的縱坐標為1，代入y2=4x得x=，Q()點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉化的一個典型例題，請仔細體會。練習、已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過定點p(-2，0)，則弦AB中點的軌跡方程是 直線與圓錐曲線的位置關系一， 相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近

7、線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩

8、支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線；（1） 過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。常用知識點：1、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應的準線的距離。2、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設

9、橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中， ，且當即為短軸端點時，最大為；，當即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線的焦點三角形有：；。3、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設AB為焦點弦， M為準線與x軸的交點，則AMFBMF；（3）設AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點，則PAPB；（4）若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。4、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為

10、A、B的縱坐標，則，若弦AB所在直線方程設為，則。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。5、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！例2、定長為3的線段AB的兩個端點在y=x2上移動，AB中點為M，求點M到x軸的最短距離。分析：（1）可直接利用拋物線設點，如設A(

11、x1,x12)，B(x2，X22)，又設AB中點為M(x0y0)用弦長公式及中點公式得出y0關于x0的函數(shù)表達式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（2）M到x軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮M到準線的距離，想到用定義法。解法一：設A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點M(x0，y0)則由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x2·1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)·1+(2x0)2=9， 當4x02+1=3 即 時，此時法二：如圖， 即， 當AB經(jīng)

12、過焦點F時取得最小值。M到x軸的最短距離為【同步練習】1、已知：F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，過F1作直線交雙曲線左支于點A、B，若，ABF2的周長為（ ）A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若點P到點F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，則P點的軌跡方程是 （ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3、已知ABC的三邊AB、BC、AC的長依次成等差數(shù)列，且，點B、C的坐標分別為(-1，0)，(1，0)，則頂點A的軌跡方程是（ ）A、 B、 C、 D、4、過原點的橢圓的一個焦點為F(1，0)，其長軸長為4，則橢圓中心的軌

13、跡方程是 （ ）A、 B、C、 D、5、已知雙曲線上一點M的橫坐標為4，則點M到左焦點的距離是 6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是 7、過雙曲線x2-y2=4的焦點且平行于虛軸的弦長為 8、直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點個數(shù)只有一個，則k= 9、設點P是橢圓上的動點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，求sinF1PF2的最大值。10、已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，左焦點到坐標原點、右焦點、右準線的距離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于A、B兩點，且AB中點M為(-2，1)，求直線l的方程和橢圓方程。11、已知直線l和雙曲線及其漸近線的交點從左

14、到右依次為A、B、C、D。求證：。【參考答案】 1、C，選C2、C點P到F與到x+4=0等距離，P點軌跡為拋物線 p=8開口向右，則方程為y2=16x，選C3、D，且點A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又A、B、C三點不共線，即y0，故選D。4、A設中心為(x，y)，則另一焦點為(2x-1，2y)，則原點到兩焦點距離和為4得， 又c<a,(x-1)2+y2<4 ，由，得x-1，選A5、左準線為x=-，M到左準線距離為 則M到左焦點的距離為6、設弦為AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中點為(x，y)，則y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22) 2=2&

15、#183;2x，將代入y=2x2得，軌跡方程是(y>)7、y2=x+2(x>2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點M(x，y)，則，即y2=x+2又弦中點在已知拋物線內(nèi)P，即y2<2x，即x+2<2x，x>28、4，令代入方程得8-y2=4y2=4，y=±2，弦長為49、y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0得4k2+8(1-k2)=0，k=1-k2=0得k=±110、解：a2=25，b2=9，c2=16設F1、F2為左、右焦點，則F1(-4，0)F2(4，0)設則 2-得2r1r2(1+cos)=4b2 1+cos= r1+r2， r1r2的最大值為a21+cos的最小值為，即1+coscos， 則當時，sin取值得最大值1，即sinF1PF2的最大值為1。11、設橢圓方程為由題意：C、2C、成等差數(shù)列，a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案 000),a2=2b2橢圓方程為，設A(x1，y1)，B(x2，y2)則 -得2222222即