拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

1、 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 我們知道，與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0e1時(shí)是橢圓，當(dāng)e1時(shí)是雙曲線那么，當(dāng)e1時(shí)它是什么曲線呢？把一根直尺固定在圖板上直線l的位置(圖819)把一塊三角尺的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣，再把一條細(xì)繩的一端固定在三角尺的另一條直角邊的一點(diǎn)A，取繩長(zhǎng)等于點(diǎn)A到直角頂點(diǎn)C的長(zhǎng)(即點(diǎn)A到直線l的距離)，并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F用鉛筆尖扣著繩子，使點(diǎn)A到筆尖的一段繩子緊靠著三角尺，然后將三角尺沿著直尺上下滑動(dòng)，筆尖就在圖板上描出了一條曲線從圖819中可以看出，這條曲線上任意一點(diǎn)P到F的距離與它到直線l的距離相等把圖板繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)90&#

2、176;，曲線就是初中見(jiàn)過(guò)的拋物線平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線下面根據(jù)拋物線的定義，我們來(lái)求拋物線的方程如圖820，建立直角坐標(biāo)系xOy，使x軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l，垂足為K，并使原點(diǎn)與線段KF的中點(diǎn)重合 設(shè)點(diǎn)M(x，y)是拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到l的距離為d由拋物線的定義，拋物線就是集合P=M|MF|=d將上式兩邊平方并化簡(jiǎn)，得y22px(p0) 方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程它表示的拋物線的焦點(diǎn)在x軸的一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其他幾種形式：y2=2px，x2=2py

3、，x2=2py這四種拋物線的圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程列表如下：例1 (1)已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(0，2)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程線的標(biāo)準(zhǔn)方程是：x2=8y拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 我們根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)來(lái)研究它的幾何性質(zhì)1范圍因?yàn)閜0，由方程可知，這條拋物線上的點(diǎn)M的坐標(biāo)(x，y)滿足不等式x0，所以這條拋物線在y軸的右側(cè)；當(dāng)x的值增大時(shí)，|y|也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸2對(duì)稱性以y代y，方程不變，所以這條拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，我們把拋物線的對(duì)稱軸叫做拋物線的軸3頂點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫

4、做拋物線的頂點(diǎn)在方程中，當(dāng)y=0時(shí)，x=0，因此拋物線的頂點(diǎn)就是坐標(biāo)原點(diǎn)4離心率拋物線上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率，用e表示由拋物線的定義可知，e=15，焦點(diǎn)弦：若拋物線的焦點(diǎn)弦為AB，則；6.若OA、OB是過(guò)拋物線頂點(diǎn)O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)例1 已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)解：因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2，y2=2px(p0)因?yàn)辄c(diǎn)M在拋物線上，所以即p=2因此所求方程是y2=4x的范圍內(nèi)幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得描點(diǎn)畫出拋物線的一部分，再利用對(duì)稱性，就可以畫出拋物線的另一部分(圖823)在本題的畫

5、圖過(guò)程中，如果描出拋物線上更多的點(diǎn)，可以發(fā)現(xiàn)這條拋物線雖然也向右上方和右下方無(wú)限延伸，但并不能像雙曲線那樣無(wú)限地接近于某一直線，也就是說(shuō)，拋物線沒(méi)有漸近線這就是標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的一種幾何意義(圖824)利用拋物線的幾何性拋物線基本特征的草圖例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn) P的坐標(biāo)為_(kāi) (2)拋物線C: y2=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 。分析：（1）A在拋物線外，如圖，連PF，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。（2）B在拋物線內(nèi)，如圖，作QRl交于R，則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小

6、。解：（1）（2，）連PF，當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)AF的方程為 即 y=2(x-1),代入y2=4x得P(2,2)，（注：另一交點(diǎn)為()，它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去）（2）（）過(guò)Q作QRl交于R，當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，Q()點(diǎn)評(píng)：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。練習(xí)、已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn)p(-2，0)，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一， 相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當(dāng)直線與雙曲線的漸近

7、線平行時(shí)，直線與雙曲線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí),直線與雙曲線相交,但只有一個(gè)交點(diǎn)；如果直線與拋物線的軸平行時(shí),直線與拋物線相交,也只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）過(guò)雙曲線1外一點(diǎn)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下：P點(diǎn)在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩

8、支相切的兩條切線，共四條；P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；（1） 過(guò)拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。常用知識(shí)點(diǎn)：1、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線的距離。2、焦點(diǎn)三角形（橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形）問(wèn)題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)

9、橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別為，焦點(diǎn)的面積為，則在橢圓中， ，且當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，最大為；，當(dāng)即為短軸端點(diǎn)時(shí)，的最大值為bc；對(duì)于雙曲線的焦點(diǎn)三角形有：；。3、拋物線中與焦點(diǎn)弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：（1）以過(guò)焦點(diǎn)的弦為直徑的圓和準(zhǔn)線相切；（2）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦， M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，則AMFBMF；（3）設(shè)AB為焦點(diǎn)弦，A、B在準(zhǔn)線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點(diǎn)，則PAPB；（4）若AO的延長(zhǎng)線交準(zhǔn)線于C，則BC平行于x軸，反之，若過(guò)B點(diǎn)平行于x軸的直線交準(zhǔn)線于C點(diǎn)，則A，O，C三點(diǎn)共線。4、弦長(zhǎng)公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)A、B，且分別為A、B的橫坐標(biāo)，則，若分別為

10、A、B的縱坐標(biāo)，則，若弦AB所在直線方程設(shè)為，則。特別地，焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)的計(jì)算，一般不用弦長(zhǎng)公式計(jì)算，而是將焦點(diǎn)弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。5、圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題：遇到中點(diǎn)弦問(wèn)題常用“韋達(dá)定理”或“點(diǎn)差法”求解。在橢圓中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在雙曲線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率k=。因?yàn)槭侵本€與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)的必要條件，故在求解有關(guān)弦長(zhǎng)、對(duì)稱問(wèn)題時(shí)，務(wù)必別忘了檢驗(yàn)！例2、定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸的最短距離。分析：（1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(

11、x1,x12)，B(x2，X22)，又設(shè)AB中點(diǎn)為M(x0y0)用弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（2）M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。解法一：設(shè)A(x1，x12)，B(x2，x22)，AB中點(diǎn)M(x0，y0)則由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x2·1+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)·1+(2x0)2=9， 當(dāng)4x02+1=3 即 時(shí)，此時(shí)法二：如圖， 即， 當(dāng)AB經(jīng)

12、過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)取得最小值。M到x軸的最短距離為【同步練習(xí)】1、已知：F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1作直線交雙曲線左支于點(diǎn)A、B，若，ABF2的周長(zhǎng)為（ ）A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m 2、若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，則P點(diǎn)的軌跡方程是 （ ）A、y2=-16x B、y2=-32x C、y2=16x D、y2=32x3、已知ABC的三邊AB、BC、AC的長(zhǎng)依次成等差數(shù)列，且，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(1，0)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是（ ）A、 B、 C、 D、4、過(guò)原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1，0)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，則橢圓中心的軌

13、跡方程是 （ ）A、 B、C、 D、5、已知雙曲線上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，則點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離是 6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是 7、過(guò)雙曲線x2-y2=4的焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長(zhǎng)為 8、直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則k= 9、設(shè)點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求sinF1PF2的最大值。10、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M為(-2，1)，求直線l的方程和橢圓方程。11、已知直線l和雙曲線及其漸近線的交點(diǎn)從左

14、到右依次為A、B、C、D。求證：?！緟⒖即鸢浮?1、C，選C2、C點(diǎn)P到F與到x+4=0等距離，P點(diǎn)軌跡為拋物線 p=8開(kāi)口向右，則方程為y2=16x，選C3、D，且點(diǎn)A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又A、B、C三點(diǎn)不共線，即y0，故選D。4、A設(shè)中心為(x，y)，則另一焦點(diǎn)為(2x-1，2y)，則原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為4得， 又c<a,(x-1)2+y2<4 ，由，得x-1，選A5、左準(zhǔn)線為x=-，M到左準(zhǔn)線距離為 則M到左焦點(diǎn)的距離為6、設(shè)弦為AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)AB中點(diǎn)為(x，y)，則y1=2x12，y2=2x22，y1-y2=2(x12-x22) 2=2&

15、#183;2x，將代入y=2x2得，軌跡方程是(y>)7、y2=x+2(x>2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中點(diǎn)M(x，y)，則，即y2=x+2又弦中點(diǎn)在已知拋物線內(nèi)P，即y2<2x，即x+2<2x，x>28、4，令代入方程得8-y2=4y2=4，y=±2，弦長(zhǎng)為49、y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0得4k2+8(1-k2)=0，k=1-k2=0得k=±110、解：a2=25，b2=9，c2=16設(shè)F1、F2為左、右焦點(diǎn)，則F1(-4，0)F2(4，0)設(shè)則 2-得2r1r2(1+cos)=4b2 1+cos= r1+r2， r1r2的最大值為a21+cos的最小值為，即1+coscos， 則當(dāng)時(shí)，sin取值得最大值1，即sinF1PF2的最大值為1。11、設(shè)橢圓方程為由題意：C、2C、成等差數(shù)列，a2=2(a2-b22DDFFF2+2222222大案要案 000),a2=2b2橢圓方程為，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則 -得2222222即