數(shù)學(xué)建模答案3

1、一、解釋下列詞語(yǔ)，并舉例說明(每小題滿分5分，共15分)1模型模型指為了某種特定目的將原型的某一部分信息簡(jiǎn)化、壓縮、提煉而構(gòu)造成的原型替代物。如地圖、苯分子圖。2數(shù)學(xué)模型由數(shù)字、字母或其他數(shù)學(xué)符號(hào)組成的，描述現(xiàn)實(shí)對(duì)象（原型）數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。具體地說，數(shù)學(xué)模型也可以描述為：對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對(duì)象，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些簡(jiǎn)化假設(shè)后，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)陳偉數(shù)學(xué)模型。如概率的功利化定義。3抽象模型抽象模型是指通過人們對(duì)模型的反復(fù)觀察、理解、認(rèn)識(shí)，從獲取到的信息中抽出共同的、本質(zhì)性的特征，舍棄其非本質(zhì)的特征來(lái)建立一個(gè)合理的模型。二、簡(jiǎn)答題（每小題滿分

2、8分，共24分）1模型的分類按照模型替代原型的方式，模型可以簡(jiǎn)單分為形象模型和抽象模型兩類。形象模型：直觀模型、物理模型、分子結(jié)構(gòu)模型等；抽象模型：思維模型、符號(hào)模型、數(shù)學(xué)模型等。2數(shù)學(xué)建模的基本步驟（1）建模準(zhǔn)備：確立建模課題的過程；（2）建模假設(shè)：根據(jù)建模的目的對(duì)原型進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化。有目的性原則、簡(jiǎn)明性原則、真實(shí)性原則和全面性原則；（3）構(gòu)造模型：在建模假設(shè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析建模假設(shè)的各條款，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和構(gòu)造模型的方法對(duì)其進(jìn)行表征，構(gòu)造出根據(jù)已知條件和數(shù)據(jù)，分析模型的特征和模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，設(shè)計(jì)或選擇求解模型的數(shù)學(xué)刻劃實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；（4）模型求解：構(gòu)造數(shù)學(xué)模型之后，找出解決問

3、題的方法和算法，并借助計(jì)算機(jī)完成對(duì)模型的求解；（5）模型分析：根據(jù)建模的目的要求，對(duì)模型求解的數(shù)字結(jié)果，或進(jìn)行穩(wěn)定性分析，或進(jìn)行系統(tǒng)參數(shù)的靈敏度分析，或進(jìn)行誤差分析等；（6）模型檢驗(yàn)：模型分析符合要求后，還必須回到客觀實(shí)際中去對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，看它是否符合客觀實(shí)際；（7）模型應(yīng)用：模型應(yīng)用是數(shù)學(xué)建模的宗旨，將其應(yīng)用于分析、研究和解決實(shí)際問題，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)模型在生產(chǎn)和科研中的特殊作用。3數(shù)學(xué)模型的作用數(shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型化繁為簡(jiǎn)、化難為易，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)際問題。正因?yàn)槿绱?，?shù)學(xué)模型在科學(xué)發(fā)展、科學(xué)預(yù)見、科學(xué)預(yù)測(cè)、科學(xué)管理、科學(xué)決策、駕控市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)乃至個(gè)人高效工作和

4、生活等眾多方面發(fā)揮著特殊的重要作用。數(shù)學(xué)不僅是人們認(rèn)識(shí)世界的有力工具，而且對(duì)于人的素質(zhì)培養(yǎng)，無(wú)論是在自然科學(xué)，還是社會(huì)科學(xué)中都隨時(shí)發(fā)生著作用，使其終生受益。特別是，當(dāng)代計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得數(shù)學(xué)模型的方法如虎添翼，加速了數(shù)學(xué)向各個(gè)學(xué)科的滲透，產(chǎn)生了眾多的邊緣學(xué)科。數(shù)學(xué)模型還物化于各種高新科技之中，從家用電器到天氣預(yù)報(bào)，從通信到廣播電視，從核電站到衛(wèi)星，從新材料到生物工程，高科技的高精度、高速度、高安全、高質(zhì)量、高效率等特點(diǎn)無(wú)一不是通過數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)方法并借助計(jì)算機(jī)的計(jì)算、控制來(lái)實(shí)現(xiàn)的。三、解答題（滿分20分）A 題 (9n, 9n+8)小童父親要到美國(guó)訪問，授人之托希望多帶點(diǎn)東西。中

5、國(guó)民航的國(guó)際旅游須知中有關(guān)“計(jì)件免費(fèi)行李額”中規(guī)定“適應(yīng)于中美、中加國(guó)際航線上的行李運(yùn)輸。經(jīng)濟(jì)和旅游折扣票價(jià)，免費(fèi)交運(yùn)的行李件數(shù)為兩件，每件箱體三邊之和不得超過62英寸，但兩件之和不得超過107英寸，每件的最大重量不得超過32公斤?！痹噯栠@兩件箱子的長(zhǎng)、寬、高各為多少可達(dá)最大體積？請(qǐng)你到市場(chǎng)上看一看，商店出售的行李箱的尺寸與你的計(jì)算結(jié)果是否接近？為什么？解：x1 , y1 , z1 分別表示第一個(gè)箱子的長(zhǎng)、寬、高，x2 , y2 , z2 分別表示表示第一個(gè)箱子的長(zhǎng)、寬、高. 于是建立數(shù)學(xué)模型為MaxV = x1 y1 z1+ x2 y2 z2 x1+ y1+ z1 62,S.T .x2+ y

6、2 + z2 62, maxx1 , y1 , z1 + maxx2 , y2 , z2 107, x1 0, y1 0, z1 0, x2 0, y2 0, z2 0.當(dāng) x 1= y1= z2= x2= y2 = z2 =64時(shí),體積最大. 四、綜合題（21分）L. 跑步中的數(shù)學(xué)問題(7n+2, 7n+6, 7n+4)跑步是基本活動(dòng)技能，是人體快速移動(dòng)的一種動(dòng)作姿勢(shì)。跑步和走路的主要區(qū)別在于兩腿在交替落地過程中有一個(gè)騰空階段。跑步是最簡(jiǎn)便而易見實(shí)效的體育健身內(nèi)容。近二三十年來(lái)，跑步已成為國(guó)內(nèi)外千百萬(wàn)人參加的群眾健身運(yùn)動(dòng)， 是深受廣大群眾所歡迎的健身項(xiàng)目。人們普遍認(rèn)為跑步是最好的健身方法。

7、每個(gè)正常人都經(jīng)歷過跑步，有人會(huì)疲憊不堪。 我們的問題是：怎樣跑不能使我們消耗的能量盡可能的少？1.論文題目 關(guān)于跑步能量消耗的數(shù)學(xué)模型2.論文摘要跑步時(shí)人體快速移動(dòng)的一種動(dòng)作姿勢(shì)，是基本的活動(dòng)技能?，F(xiàn)在跑步已經(jīng)被公認(rèn)為是最好的健身方法，原因是它能全面的提高身體的協(xié)調(diào)性，增加體質(zhì)，增加肺活量，但是跑步過程中也伴隨著能量的消耗，研究其消耗能量的多少，可以幫助我們給清楚地認(rèn)識(shí)跑步的作用，并且讓我們達(dá)到科學(xué)訓(xùn)練的目的。3. 關(guān)鍵詞 身體 速度 能量消耗4. 論文正文 問題提出 跑步過程中能量的消耗與哪些因素有關(guān)，如何計(jì)算跑步過程中的能量消耗。 問題分析 人體自身有重量，而且在跑動(dòng)過程中，伴隨步伐的交替

8、，人的重心會(huì)上下浮動(dòng)，而且雙腿的向前交替運(yùn)動(dòng)皆存在做功過程，由功能關(guān)系可知此時(shí)存在能量的消耗。所以我們可以通過做功的角度換角度去求跑步過程中的能量損耗。 模型假設(shè)、模型設(shè)計(jì) （1）跑步所花費(fèi)的時(shí)間分成兩部分:第一部分為兩條腿同時(shí)離開地面的時(shí)間；第二部分為一條腿或兩條腿同時(shí)落地的時(shí)間。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)不妨設(shè) （2） 假設(shè)跑步是勻速的，速度為v 。跑步所消耗的能量為 （m為身體的質(zhì)量） （m為腿部的質(zhì)量）于是，跑步時(shí)所消耗的能量總和為(3) 用 L 表示人的身高,不妨設(shè) m 、m 與 L3 成正比， a 與 L 成正比，即 模型的解法與結(jié)果重心離開 B 上升到最高點(diǎn)所需要的時(shí)間因此，最高的高度為所以又因?yàn)?/p>

9、完成一個(gè)周期跑步的時(shí)間為(a + b)v,從而單位時(shí)間所消耗的能量為再由第二假設(shè),令b = ja ,于是再令,有模型的優(yōu)缺點(diǎn)及改進(jìn)的方向模型中的變量比較單一，籠統(tǒng)，并且沒有考慮一些特殊的變量，因此存在計(jì)算方面的誤差。五、復(fù)述題（21分）R. 椅子放穩(wěn)模型(3n+2)一、問題重述在日常生活中，將一張四條腿一樣長(zhǎng)的椅子放在不平的地面上，通常只有三只腳著地，而使椅子不平穩(wěn)。我們通過建立模型分別解決以下問題：1解釋只需適當(dāng)將椅子“挪動(dòng)”幾次就可使椅子放穩(wěn)這一現(xiàn)象；2如果椅子的四只腳構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，通過適當(dāng)?shù)摹芭矂?dòng)”能夠放穩(wěn)嗎？3椅子的四只腳滿足什么條件通過挪動(dòng)就可使椅子放穩(wěn)？最后對(duì)模型進(jìn)行了分析和

10、推廣。二、模型假設(shè)為使問題簡(jiǎn)化，便于解決，我們作如下合理假設(shè)：1椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面的接觸部分相對(duì)椅子所占的地面面積可視為一個(gè)點(diǎn)，四腳的連線呈正方形；2地面凹凸坡面是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（如沒有象臺(tái)階那樣的情況），即地面可看作數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面；3相對(duì)椅腳的間距和椅子腿的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)平坦的，即使椅子在任何位置至少有三條腿同時(shí)著地；4挪動(dòng)僅只是繞一個(gè)定點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。假設(shè)1顯然是合理的。否則即便放在平面上也不會(huì)是椅子放穩(wěn)。假設(shè)2相當(dāng)于給出了椅子能夠放穩(wěn)的必要條件，因?yàn)槿绻孛娓叨炔贿B續(xù)（比如在有j階或裂縫的地方）是無(wú)法使椅子四只腳同時(shí)著地。假設(shè)3是要排除地面上與椅腳間距和

11、椅子腿長(zhǎng)度的尺寸大小相當(dāng)?shù)姆秶鷥?nèi)，出現(xiàn)深溝或凸峰（即使連續(xù)變化的），將使椅子三只腳也無(wú)法同時(shí)著地。三、建模與分析首先，根據(jù)假設(shè)1，椅腳連線呈正方形,而正方形以中心為對(duì)稱,即正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)可以表示椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置。如圖1，椅腳連線為正方形ABCD，在圖1所示的坐標(biāo)系下對(duì)角線AC與ox軸重合,椅子繞中心o旋轉(zhuǎn)角度后,正方形轉(zhuǎn)至的位置，如圖2所示，即對(duì)角線AC與ox軸的夾角表示了椅子的位置。 正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)其次，要把椅子著地用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來(lái)。如果用某個(gè)變量表示椅腳與地面的豎值距離，那么當(dāng)這個(gè)距離為零時(shí)就是椅腳著地了。椅子在不同的位置時(shí)，椅腳與地

12、面的距離不盡相同，所以這個(gè)距離是變量的函數(shù)。雖然椅子有四只腳，因而有四個(gè)距離，即每一個(gè)椅腳和地面都有一個(gè)距離。但由假設(shè)3以及正方形關(guān)于中心的對(duì)成性，只要設(shè)兩個(gè)距離就可以了。設(shè)A、C兩腳與地面的距離之和為f() ，B、D兩腳與地面的距離之和為 g(), 顯然f() 、 g() 0。由假設(shè)2知f() 、 g()都是連續(xù)函數(shù)。在由假設(shè)3知，椅子在任何位置上至少有三只腳著地，所以對(duì)于任意的， f() 、 g()中至少有一個(gè)為零。當(dāng)= 0 時(shí)，不妨設(shè)f() > 0、 g()= 0。另一方面，由對(duì)稱性知道，旋轉(zhuǎn)p/2的角度后，相當(dāng)于AC和BD互換一個(gè)位置.故有f(p/2)=0，g(p/2)>0

13、，這樣，改變椅子位置使四只腳同時(shí)著地，就歸結(jié)為證明如下數(shù)學(xué)命題。命題1已知f()和g()是的連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意的，有f(). g()=0 ，且f(0 )>0 、g(0)=0，g(/2)>0 ,f(/2 )=0,則存在0 , (/2 ，使得f( )= g( ) =0 .可以看到，引入變量和函數(shù)f() 、g()，就把模型的假設(shè)條件和椅腳同時(shí)著地的結(jié)論用簡(jiǎn)單而精確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示出來(lái)，從而構(gòu)成了這個(gè)實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型。四、模型求解令h()= f()g()，則h(0)>0和h(/2)<0.由 f () ，g () 的連續(xù)性知 h () 為0 ，/2 上連續(xù)函數(shù)，根據(jù)區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的

14、介質(zhì)性定理, 必存在一個(gè)0 , /2,使h( )=0，即f（ ) = g( ). 因?yàn)閒() . g()=0，所以f( ) = g( ) = 0.五、模型的分析及推廣1. 模型分析模型的優(yōu)點(diǎn)在于用一元變量表示了椅子的位置，用的兩個(gè)函數(shù)表示了椅子四只腳與地面的距離，充分運(yùn)用了正方形關(guān)于中心的對(duì)稱性，使得問題得到了極大的簡(jiǎn)化，并得到了邏輯上的求解。缺點(diǎn)在于運(yùn)用了正方形關(guān)于中心的對(duì)稱性，使模型的適應(yīng)范圍受到了一定的局限，如對(duì)一般四邊形是否也適應(yīng)，未能作出回答；而且也未能考慮到平行移動(dòng)的情形。2. 如果椅腳連線呈矩形，其結(jié)論也成立。事實(shí)上，如圖3建立坐標(biāo)系，A、B、C、D表示椅子的四只腳.假設(shè)條件只需

15、將正方形假設(shè)條件中的正方形改為矩形。設(shè)f()表示相鄰兩腳A、B與地面的距離之和，g()表示相鄰兩腳C、D兩腳與地面的距離之和。由矩形對(duì)稱性知道,旋轉(zhuǎn)180°度的角后，相當(dāng)于AB和CD互換一個(gè)位置。這樣，改變椅子位置使四只腳同時(shí)著地就歸結(jié)為證明如下數(shù)學(xué)命題：命題2已知f()和g()是的連續(xù)函數(shù), 對(duì)任意的，有f(). g()=0，且f(0 )>0 、g(0) =0 ，f()=0 、g()>0，則存在0，,使得f( )= g( ) =0。3. 模型的進(jìn)一步分析與推廣由于正方形和矩形的任意一個(gè)頂點(diǎn)通過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)，可到達(dá)每一個(gè)頂點(diǎn)，即就是說正方形和矩形的四個(gè)頂點(diǎn)繞其中心旋轉(zhuǎn)一周所

16、得軌跡是同一個(gè)圓周。這也就是正方形和矩形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓，可通過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)將椅子放平穩(wěn)。那么，椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，是否一定可通過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)？反之，通過適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)可將椅子放平穩(wěn)，椅子四腳連線是否一定是圓內(nèi)接四邊形？我們先看一個(gè)實(shí)例，設(shè)地面為一個(gè)足夠大的球面部分，其方程為： x2 + y2 + (z . 10000)2 = 100002 (z < 10000)椅子四只腳構(gòu)成一菱形ABCD，對(duì)角線的長(zhǎng)度分別為 AC=8，BD=6。根據(jù)球面的特點(diǎn)，要使得菱形ABCD的頂 點(diǎn)至少有三個(gè)在球面上，則其三個(gè)頂點(diǎn)必在同一個(gè)圓上。 不妨取菱形 ABCD 所在的平面與球面的

17、截痕及菱形，在 xoy面上投影圖如示圖，其圓周的半徑為R=25/8,2R=25/4<B=AC.這說明A,C兩點(diǎn)必有一點(diǎn)在球面之外。于是D點(diǎn)到底面即球面的距離為d= - >7/10000>0這說明通過旋轉(zhuǎn)永遠(yuǎn)也不可能將椅子放穩(wěn)。即就是說椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形不是園內(nèi)接四邊形，通過旋轉(zhuǎn)不可能將椅子放穩(wěn)。下面我們來(lái)討論另一個(gè)問題。眾所周知，我們?nèi)粘Ｉ钪兴龅降囊巫哟蠖际撬哪_連線呈等腰梯形，那么，對(duì)這樣的椅子甚至四腳連線為任意園內(nèi)接四邊形的椅子是否也能在不平的平面上放穩(wěn)？為解決此問題我們重新建立模型。模型假設(shè)1椅子四條腿一樣長(zhǎng)，椅腳與地面的接觸部分相對(duì)椅子所占的地面面積可視為一

18、個(gè)點(diǎn)。2地面凹突破面世連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（沒有向臺(tái)階那樣的情況），即地面可看作數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。3相對(duì)椅腳的間距和椅子腿的長(zhǎng)度而言，地面是相對(duì)平坦的，即使椅子在任何位置至少有三條腿同時(shí)著地。4椅子四腳連線所構(gòu)成的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，即椅子四腳共圓。5挪動(dòng)僅只是旋轉(zhuǎn)。將椅子放在地面任何一個(gè)位置，并使至少三只腳同時(shí)著地。這時(shí)以椅子四腳共圓的圓心O為原點(diǎn)，四腳連線所在的平面為xoy坐標(biāo)面，并使椅腳之一（如椅腳A）在ox軸的正半軸上建立平面坐標(biāo)系圖. 由假設(shè)4，椅子四腳A、B、C、D共圓，設(shè)其半徑為R，則這四點(diǎn)必在圓周x2+y2=R2上不妨設(shè)OB、OC、OD分別與ox軸的正向夾角分

19、別為 、 、 . 這三個(gè)夾角應(yīng)滿足條件0< < < < 2 . 點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)依次為A (R.0) B (Rcos ,Rsin ) C(Rcos ,Rsin )D(Rcos ，Rsin )如果讓椅子繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，則A、B、C、D四點(diǎn)將同時(shí)繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，并且轉(zhuǎn)過同樣的角度（取逆時(shí)針方向?yàn)檎?，則轉(zhuǎn)動(dòng)后A、B、C、D四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C、D。由假設(shè)2，地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面,因此，如果取過原點(diǎn) O,垂直于xoy面向上的軸為oz軸,則在此空間直角坐標(biāo)系下地面的方程便可寫成z=f(x，y),其中f(x，y)是二元連續(xù)函數(shù)。特別地，在圓周上z 必為旋轉(zhuǎn)角的以2為周

20、期的單值連續(xù)函數(shù)z= R() . (Rcos ,Rsin) (Rcos (+ ),Rsin (+ ) ) (Rcos (+ ),Rsin（+ )） (Rcos （+ ），Rsin（+ )）è (Rcos ,Rsin,() (Rcos (+ ),Rsin (+ ),(+ ) ) (Rcos (+ ),Rsin（+ ),（+ )） (Rcos （+ ），Rsin（+ ),（+ )）由假設(shè)3，地面是相對(duì)平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地。這樣改變椅子的位置（即讓椅子繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）能否使四腳同時(shí)著地的問題就歸結(jié)為求解是否存 0 , /2,在使四點(diǎn)共面。這就是我們對(duì)該問題建立的數(shù)學(xué)模型.模型求解上面建立的數(shù)學(xué)模型的求解即證明下面的定理：定理1 設(shè).()是以2為周期的連續(xù)函數(shù)，R>0，1 、2 、3是滿足不等式0<1 <2 <3 < 2的任意常數(shù)，則一定存在 0 , /2,使當(dāng)= 0時(shí)，四點(diǎn)共面。定理一說明對(duì)四角共圓的椅子，在不平的地面上，總可以適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)把椅子放穩(wěn)。放穩(wěn)椅子的充要條件前面我們對(duì)四腳共圓的椅子進(jìn)行了討論，并建立了數(shù)學(xué)模型。那么四腳不共圓的椅子是否也能在一般不平面的地面上放穩(wěn)呢？回答是否定的，其反例如下：例：設(shè)椅子的四腳不共圓，地面為半徑充分大的球面，則這樣的椅子在相應(yīng)的地面上總放不穩(wěn)。證：反證法假設(shè)在這樣的地面上