等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

1、2.3 2.3 等差數(shù)列的等差數(shù)列的 前前n n項(xiàng)和（一）項(xiàng)和（一）上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入1. 等差數(shù)列定義：等差數(shù)列定義： 即即anan1 d (n2).2. 等差數(shù)列通項(xiàng)公式：等差數(shù)列通項(xiàng)公式： (1) ana1(n1)d (n1).(2) anam(nm)d .(3) anpnq (p、q是常數(shù)是常數(shù))上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入11 naadnmnaadmn 1 nnaad3. 幾種計(jì)算公差幾種計(jì)算公差d的方法的方法: 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入4. 等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)bAabaA,2 成等差數(shù)列成等差數(shù)列. mnpq amanapaq. (m，n，p，qN)5. 等

2、差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入6. 數(shù)列的前數(shù)列的前n項(xiàng)項(xiàng)和：和： 稱為數(shù)列稱為數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和，記作項(xiàng)和，記作S Sn n，那么，那么S Sn n1 1表示什么？表示什么？a an n，S Sn n，S Sn n1 1三者之間有什么關(guān)系？三者之間有什么關(guān)系？naaaa321 1)( 2)( 11nSnSSannn上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7.7.數(shù)列的通項(xiàng)公式能反映數(shù)列的基本特?cái)?shù)列的通項(xiàng)公式能反映數(shù)列的基本特性，在實(shí)際問(wèn)題中常常需要求數(shù)列的前性，在實(shí)際問(wèn)題中常常需要求數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .對(duì)于等差數(shù)列，為了方便運(yùn)算，我對(duì)于等差數(shù)列，為了方便運(yùn)算，我們

3、希望有一個(gè)求和公式，這是一個(gè)有待們希望有一個(gè)求和公式，這是一個(gè)有待研究的課題研究的課題. .復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)高斯（高斯（Gauss,17771855），），德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，被稱容涉及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，被稱為歷史上最偉大的三位數(shù)學(xué)家為歷史上最偉大的三位數(shù)學(xué)家之一，他與阿基米德、牛頓齊之一，他與阿基米德、牛頓齊名，是數(shù)學(xué)史上一顆光芒四射名，是數(shù)學(xué)史上一顆光芒四射的巨星，被譽(yù)為的巨星，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子數(shù)學(xué)王子”.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個(gè)堆放

4、鉛筆的現(xiàn)了一個(gè)堆放鉛筆的V形架，形架，V形架的最下面一層放形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一都比它下面一層多放一支，最上面一層放支，最上面一層放100支支.老師問(wèn)：高斯，你知道這老師問(wèn)：高斯，你知道這個(gè)個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆嗎？形架上共放著多少支鉛筆嗎？創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：?jiǎn)栴}就是：計(jì)算計(jì)算1 2 3 99 100上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)高斯的算法高斯的算法計(jì)算：計(jì)算： 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100100個(gè)數(shù)可以分為個(gè)數(shù)可以分為5050組：組： 第一個(gè)數(shù)與最后一個(gè)數(shù)一組；第一個(gè)數(shù)與最后

5、一個(gè)數(shù)一組； 第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組；第二個(gè)數(shù)與倒數(shù)第二個(gè)數(shù)一組； 第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組，第三個(gè)數(shù)與倒數(shù)第三個(gè)數(shù)一組， 每組數(shù)的和均相等，都等于每組數(shù)的和均相等，都等于101101，5050個(gè)個(gè)101101就等于就等于50505050了。高斯算法將加法問(wèn)題了。高斯算法將加法問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果. .首尾首尾配對(duì)配對(duì)相加相加法法中間的一中間的一組數(shù)是什組數(shù)是什么呢？么呢？上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)問(wèn)題呈現(xiàn) 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛(ài)妃所建，她宏偉壯觀

6、，為紀(jì)念其愛(ài)妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕。之細(xì)致令人叫絕。 傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，傳說(shuō)陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有共有100100層（見(jiàn)左圖），奢靡之程層（見(jiàn)左圖），奢靡之程度，可見(jiàn)一斑。度，可見(jiàn)一斑。你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？石嗎？上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？ 這是求奇數(shù)個(gè)項(xiàng)和的問(wèn)

7、題，不能簡(jiǎn)單模仿偶數(shù)個(gè)項(xiàng)求和的辦法，需要把中間項(xiàng)11看成首、尾兩項(xiàng)1和21的等差中項(xiàng)。 通過(guò)前后比較得出認(rèn)識(shí)：高斯“首尾配對(duì)” 的算法還得分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況求和。 有無(wú)簡(jiǎn)單的方法？ 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？ 借助幾何圖形之直觀性，把這個(gè)“全等三角形”倒置，與原圖補(bǔ)成平行四邊形。上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？ 12321212019121(121)212s獲得算法：上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)探究了以上兩個(gè)實(shí)探究了以上兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題的求和，我際問(wèn)題的求和，我們對(duì)數(shù)列求和有了們對(duì)數(shù)列求和有了一定的認(rèn)識(shí)，那么一定的認(rèn)識(shí)，那么

8、能否將能否將“倒序相加倒序相加法法”推廣到任意一推廣到任意一個(gè)等差數(shù)列呢？個(gè)等差數(shù)列呢？這種方法不需分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況就可以求這種方法不需分奇、偶個(gè)項(xiàng)的情況就可以求和，很有創(chuàng)意，用數(shù)學(xué)式子表示就是：和，很有創(chuàng)意，用數(shù)學(xué)式子表示就是： 1+ 2+ 3+ 4+2121+20+19+18+1對(duì)齊相加（其中下第二行的式子與第一行的對(duì)齊相加（其中下第二行的式子與第一行的式子恰好是倒序）式子恰好是倒序）這實(shí)質(zhì)上是我們數(shù)學(xué)中一種求和的重要方法這實(shí)質(zhì)上是我們數(shù)學(xué)中一種求和的重要方法倒序相加法倒序相加法上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 若若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面

9、一層一層都比它下面一層多放一支，最上面多放一支，最上面一層有很多支鉛筆，一層有很多支鉛筆，老師說(shuō)有老師說(shuō)有n支。問(wèn)：支。問(wèn)：這個(gè)這個(gè)V形架上共放形架上共放著多少支鉛筆？著多少支鉛筆？ 創(chuàng)設(shè)情景創(chuàng)設(shè)情景問(wèn)題就是：?jiǎn)栴}就是：1 2 3 (n-1) n若用首尾配對(duì)相加法，需要分類討論若用首尾配對(duì)相加法，需要分類討論.三角形三角形平行四平行四邊形邊形上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)nn) 1(321計(jì)算：2) 1() 1(321nnnnn (n-1) (n-2) 2 1倒序相加法倒序相加法 那么，對(duì)一般的等差數(shù)列，如何求它的前前n項(xiàng)和項(xiàng)和呢？前前n項(xiàng)和項(xiàng)和) 1() 1(3212nnnn分析：這分析：這其實(shí)是求其實(shí)是

10、求一個(gè)具體一個(gè)具體的等差數(shù)的等差數(shù)列前列前n項(xiàng)項(xiàng)和和.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)123nnSaaaa12()nnSn aa 1213212nnnnnSaaaaaaaa121321nnnnaaaaaaaa又問(wèn)題分析問(wèn)題分析已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列 an 的首項(xiàng)為的首項(xiàng)為a1，項(xiàng)數(shù)，項(xiàng)數(shù)是是n，第，第n項(xiàng)為項(xiàng)為如何才能將如何才能將等式的右邊等式的右邊化簡(jiǎn)？化簡(jiǎn)？121nnnnSaaaa1()2nnn aaS即上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)求和公式求和公式1()2nnn aaS等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式：項(xiàng)和的公式：思考：（思考：（1）公式的文字語(yǔ)言；）公式的文字語(yǔ)言；11 ,naand由于1(1)2nn nSn

11、ad故（2）公式的特點(diǎn)；）公式的特點(diǎn)；不含不含d可知三可知三求一求一1(1)2nn nSnad等差數(shù)列的等差數(shù)列的前前n項(xiàng)和等項(xiàng)和等于于首末兩項(xiàng)首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半乘積的一半。上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) dnnnaSn2)11 （dnaan)1(1 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)公式的記憶公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前列前 n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式.na1an1()2nnn aaS上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)公式的記憶公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)我們可結(jié)合梯形的面積公式來(lái)記憶等差數(shù)列前列前 n 項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式.a1(n-1)dna1an將圖

12、形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形將圖形分割成一個(gè)平行四邊形和一個(gè)三角形.1(1)2nn nSnad上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)公式應(yīng)用公式應(yīng)用 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列an的Sn ： （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=2，n=505002550 1()12nnn aaS解：10 (595)2500 1(1)22nn nSnad解：50 (50 1)50 100-222550上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例例1 1、計(jì)算、計(jì)算（1 1） 5+6+7+79+80（2 2） 1+3+5+1+3+5+ +（2 2n-1-1）（3 3）1-2+3-4+5-6+1-2+3-4+5-6+

13、+（2 2n-1-1）-2-2n-n例題講解例題講解n2 135+ 21n2 解：22nn2n 135+ 212+4+6+2nn3 解：原式21nn n1212nnn 3230提示：提示：n=76法二：法二：1212222nnnn上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 例例2 2 在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中， 已知已知 ，求求S S7.7.4053 aa1777()74014022aaS+=例題講解例題講解上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例題講解例題講解 例例3 3、20002000年年1111月月1414日教育部下發(fā)了日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施學(xué)實(shí)施“校校通校校通”工程的通知工程的通知，某市據(jù)此提出了實(shí)

14、，某市據(jù)此提出了實(shí)施施“校校通校校通”工程的總目標(biāo)：從工程的總目標(biāo)：從20012001年起用年起用1010年的時(shí)年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測(cè)算，間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測(cè)算，20012001年該市用于年該市用于“校校通校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為工程的經(jīng)費(fèi)為500500萬(wàn)元。萬(wàn)元。為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加上一年增加5050萬(wàn)元。那么，從萬(wàn)元。那么，從20012001年起的未來(lái)年起的未來(lái)1010年內(nèi)，年內(nèi)，該市在該市在“校校通校校通”工程中的總投入是多少？工程中的總投入是多少？分析：分析：找

15、關(guān)鍵句；找關(guān)鍵句；求什么，如何求；求什么，如何求；解：由題意，該市在解：由題意，該市在“校校通校校通”工程中每年投入工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列的資金構(gòu)成等差數(shù)列an，且，且a1=500,d=50,n=10.故，該市在未來(lái)故，該市在未來(lái)10年內(nèi)的總投入為：年內(nèi)的總投入為：101010 110 5005072502S萬(wàn)元答答上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)變式練習(xí)變式練習(xí) 一個(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪危钜粋€(gè)屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪?，最上面一層鋪瓦片上面一層鋪瓦?1塊，往下每一層多鋪塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？層，共鋪瓦片多少塊？解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的

16、瓦解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列an，且，且a1=21，d=1，n=19.于是，屋頂斜面共鋪瓦片：于是，屋頂斜面共鋪瓦片：191919 119 2115702S 塊答：屋頂斜面共鋪瓦片答：屋頂斜面共鋪瓦片570塊塊.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)100,7*mNnnmmM且1007 n72147100nnM71a9814a7352)987(14nS例例4求集合求集合 的元素個(gè)的元素個(gè)數(shù)，數(shù)，并求這些元素的和并求這些元素的和.解：解：由由 得得正整數(shù)正整數(shù) 共有共有14個(gè)即個(gè)即 中共有中共有14個(gè)元素個(gè)元素即：即：7，14，21，98 是以是以 為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，以以 為末項(xiàng)

17、的等差數(shù)列為末項(xiàng)的等差數(shù)列.例題講解例題講解上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)課堂練習(xí)課堂練習(xí)答案答案: 27練習(xí)練習(xí)1、練習(xí)練習(xí)2、等差數(shù)列10，6，2，2，的前_項(xiàng)的和為54？ na在等差數(shù)列中，120,54,999,.nnaaSn求答案答案: n=9，或，或n=-3（舍去）（舍去）14,541042n ndn 提示：20+549992n提示：仍是仍是知三知三求一求一上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)練習(xí)練習(xí)3 已知一個(gè)共有已知一個(gè)共有n項(xiàng)的等差數(shù)列項(xiàng)的等差數(shù)列前前4項(xiàng)之和為項(xiàng)之和為26,末四項(xiàng)之和為末四項(xiàng)之和為110,且所有項(xiàng)的和為且所有項(xiàng)的和為187，求，求n.課堂練習(xí)課堂練習(xí)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)，1010010010SS=

18、練習(xí)練習(xí)4 4 在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中， 求求 . .110S課堂練習(xí)課堂練習(xí)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)知識(shí)打包知識(shí)打包 存放備用存放備用an=a1+(n-1)d對(duì)于對(duì)于Sn、an 、a1、n、d 五個(gè)量，五個(gè)量，“知三求二知三求二”.2)(1nnaanSdnnnaSn2) 1(1方程方程(組組)思想思想(待定系數(shù)法待定系數(shù)法)倒序求和法倒序求和法 掌握與應(yīng)用掌握與應(yīng)用上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1 1等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和的公式；項(xiàng)和的公式； 2 2等差數(shù)列前等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法倒序相加法；倒序相加法； 3.3.在兩個(gè)求和公式中在兩個(gè)求和公

19、式中,各有五個(gè)元素各有五個(gè)元素,只要只要知道其中三個(gè)元素知道其中三個(gè)元素,結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另結(jié)合通項(xiàng)公式就可求出另兩個(gè)元素兩個(gè)元素.上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)（兩個(gè)）（兩個(gè)）1()2nnn aaS1(1)2nn nSnad2.3 2.3 等差數(shù)列的等差數(shù)列的 前前n n項(xiàng)和（二）項(xiàng)和（二）上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)1.等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn公式的推導(dǎo)公式的推導(dǎo)2.等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和項(xiàng)和Sn公式：公式：an=a1+(n-1)ddnnnaSn2)1(1 2)(1nnaanS -倒序相加法倒序相加法上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)3.3.深入研究等差數(shù)列的概念與前深入研究等差數(shù)列的概念與前n n項(xiàng)和公項(xiàng)和公式及

20、通項(xiàng)公式的內(nèi)在聯(lián)系，可發(fā)掘出等式及通項(xiàng)公式的內(nèi)在聯(lián)系，可發(fā)掘出等差數(shù)列的一系列性質(zhì)，我們將對(duì)此作些差數(shù)列的一系列性質(zhì)，我們將對(duì)此作些簡(jiǎn)單探究簡(jiǎn)單探究. .上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 1. 1.將等差數(shù)列前將等差數(shù)列前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式 看作是一個(gè)關(guān)于看作是一個(gè)關(guān)于n n的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù) 有什么特點(diǎn)？有什么特點(diǎn)？2) 1(1dnnnaSn當(dāng)當(dāng)d0d0時(shí)，時(shí)，S Sn n是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)探究探究上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例例1. 已知數(shù)列已知數(shù)列an的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為,212nnSn 求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 這個(gè)數(shù)列這個(gè)數(shù)列是等差

21、數(shù)列嗎是等差數(shù)列嗎?如果是，它的首項(xiàng)如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么與公差分別是什么?例題講解例題講解上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)2.2. 若數(shù)列若數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和是項(xiàng)和是S Sn npnpn2 2qnqn， 那么數(shù)列那么數(shù)列aan n 是等差數(shù)列嗎？是等差數(shù)列嗎？aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 S Sn npnpn2 2qnqn. .探究探究若若S Sn npnpn2 2qnqnr r呢？呢？上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)3.3. 若數(shù)列若數(shù)列aan n 為等差數(shù)列，那么數(shù)列為等差數(shù)列，那么數(shù)列 是什么數(shù)列？是什么數(shù)列？nSn探究探究aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 是等差數(shù)列是等差數(shù)列nSn上頁(yè)

22、上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例題講解例題講解例例2、已知一個(gè)等差數(shù)列的前、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是310，前，前20項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是1220，由此可以確定，由此可以確定求其前求其前n項(xiàng)和的公式嗎？項(xiàng)和的公式嗎？解：由于解：由于S10310，S201220，將它們代，將它們代入公式入公式1(1)2nn nSnad可得可得111045310201901220adad146ad于是，所以所以2(1)46 32nn nSnnn 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例題講解例題講解例例2、已知一個(gè)等差數(shù)列的前、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是310，前，前20項(xiàng)的和是項(xiàng)的和是1220，由此可以確定，由此可以確定求其

23、前求其前n項(xiàng)和的公式嗎？項(xiàng)和的公式嗎？1101011010()310622aaSaa1202012020()12201222aaSaa201060aa1060d6d14a 21132nn nSa ndnn（）另解： 兩式相減得上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)4.4.在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，中，S Sn n，S S2n2n- S- Sn n ，S S3n3n-S-S2n2n構(gòu)成一個(gè)怎樣的數(shù)列？構(gòu)成一個(gè)怎樣的數(shù)列？S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n) )探究探究;,2232dnSSSSSnadnnnnnn公差為仍成等差數(shù)列，項(xiàng)之和中依次每的等差數(shù)列公差為上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)30113030 2

24、9602Sad10.55:0.1ad解得例例例題講解例題講解上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)309003030(30)60SABAB10010103024002030ABABAB解得例題講解例題講解上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)解法三：解法三：設(shè)設(shè)a1+a2+a10=A， a11+a12+a20=B，a21+a22+a30=C，則則A，B，C成等差數(shù)列，成等差數(shù)列，且且A=10，A+B=30,解得解得B=20，所以所以C=30，S30=A+B+C=60.例題講解例題講解上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 等差數(shù)列等差數(shù)列an中中, S4=1,S8=4,求求a9+a10+a11+a12=5練習(xí)練習(xí)2.3 2.3 等差數(shù)列的等差數(shù)列的 前前n

25、n項(xiàng)和（三）項(xiàng)和（三）上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)當(dāng)當(dāng)d0d0時(shí)，時(shí)，S Sn n是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)1 1、對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列、對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和而言項(xiàng)和而言aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 S Sn npnpn2 2qnqn. .2 2、aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 是等差數(shù)列是等差數(shù)列nSn3 3、上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè);,42232dnSSSSSnadnnnnnn公差為仍成等差數(shù)列，項(xiàng)之和中依次每的等差數(shù)列公差為S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n) )上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) S S1 1S S2 2ndnd， 1

26、12nnaSSa+=5. 5. 在等差數(shù)列在等差數(shù)列aan n 中，設(shè)中，設(shè) S S1 1a a2 2a a4 4a a2n2n， S S2 2a a1 1a a3 3a a2n2n1 1， 則則 S S1 1S S2 2 與與 分別等于什么？分別等于什么？12SS探究探究上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè).,)(),21112*nnnnnnnaaSSndSSaaaanSNnn奇偶奇偶且為中間兩項(xiàng)）則（若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是如果將項(xiàng)數(shù)改為奇如果將項(xiàng)數(shù)改為奇數(shù)項(xiàng)，即數(shù)項(xiàng)，即2n-12n-1，那，那么結(jié)論會(huì)怎樣呢？么結(jié)論會(huì)怎樣呢？.1,()12(),1212*nnSSaSSaanSNnnnnnn奇偶偶奇且為中間項(xiàng)）則（

27、若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè) 例例4 4 設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為2 2， 且且 求求 的值的值. .1479750aaaa36999aaaa-82-82例題講解例題講解上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)6.6.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 、bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 分別為分別為S Sn n、T Tn n，則，則 等于什么？等于什么？2121nnnnaSbTnnab探究探究上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例例5 5 設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 、bbn n 的前的前n n項(xiàng)項(xiàng) 和分別為和分別為S Sn n、T Tn n，若，若 ， 求求 的值的值. .231nnSnTn88ab1

28、523例題講解例題講解上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)例例6己知等差數(shù)列己知等差數(shù)列 5, 4 , 3 , 的前的前n項(xiàng)和為項(xiàng)和為Sn, 求使得求使得Sn最大的序號(hào)最大的序號(hào)n的值的值.7274例題講解例題講解上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)解解:由題意知由題意知,等差數(shù)列等差數(shù)列5, 4 , 3 , 的公差的公差為為 ,所以所以sn= 25+(n-1)( ) = = ( n- )2+ 75727475145752nn 1452155611252n于是，當(dāng)于是，當(dāng)n取與取與15/2最接近的整數(shù)最接近的整數(shù)7或或8時(shí)，時(shí)，Sn取得最大值。取得最大值。上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7、等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法：項(xiàng)和的最值

29、問(wèn)題有兩種方法：探究探究(1) 當(dāng)當(dāng)an0，d0，前，前n項(xiàng)和有項(xiàng)和有最大值最大值. 可由可由an0，且，且an1 0，求得，求得n的值；的值；當(dāng)當(dāng)an0，d0，前，前n項(xiàng)和有項(xiàng)和有最小值最小值. 可由可由an0，且，且an10，求得，求得n的值的值. (2) 由由 ndandSn)2(212 數(shù)數(shù)配方法配方法求得最值時(shí)求得最值時(shí)n的值的值.利用二次函利用二次函上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)課堂練習(xí)課堂練習(xí)1 1(1)(1)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列aan n 的的a an n24243n3n，則，則前多少項(xiàng)和最大？前多少項(xiàng)和最大？(2)(2)已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列bbn n 的通項(xiàng)的通項(xiàng)b bn n2n-

30、17,2n-17,則則前多少項(xiàng)和最小前多少項(xiàng)和最小? ?2. 2. 數(shù)列數(shù)列aan n 是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為a a1 100的等差數(shù)列的等差數(shù)列, ,又又S S9 9= S= S1212. .問(wèn)數(shù)列的前幾項(xiàng)和最小問(wèn)數(shù)列的前幾項(xiàng)和最小? ?3已知等差數(shù)列已知等差數(shù)列an,滿足滿足an=404n ,求前多少項(xiàng)的和最大求前多少項(xiàng)的和最大?最大值是多少最大值是多少?上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)課堂小結(jié)課堂小結(jié)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)當(dāng)當(dāng)d0d0時(shí)，時(shí)，S Sn n是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)是常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù)1 1、對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列、對(duì)于一個(gè)等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和而言項(xiàng)和而言aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 S

31、 Sn npnpn2 2qnqn. .2 2、aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 是等差數(shù)列是等差數(shù)列nSn3 3、上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè);,42232dnSSSSSnadnnnnnn公差為仍成等差數(shù)列，項(xiàng)之和中依次每的等差數(shù)列公差為S S3n3n3(S3(S2n2nS Sn n) )課堂小結(jié)課堂小結(jié)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè).,)(),251112*nnnnnnnaaSSndSSaaaanSNnn奇偶奇偶且為中間兩項(xiàng)）則（若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是.1,()12(),1212*nnSSaSSaanSNnnnnnn奇偶偶奇且為中間項(xiàng)）則（若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是課堂小結(jié)課堂小結(jié)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)6.6.設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aa

32、n n 、bbn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和 分別為分別為S Sn n、T Tn n，則，則2121nnnnaSbT課堂小結(jié)課堂小結(jié)上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)7、等差數(shù)列前等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法：項(xiàng)和的最值問(wèn)題有兩種方法：(1) 當(dāng)當(dāng)an0，d0，前，前n項(xiàng)和有項(xiàng)和有最大值最大值. 可由可由an0，且，且an1 0，求得，求得n的值；的值；當(dāng)當(dāng)an0，d0，前，前n項(xiàng)和有項(xiàng)和有最小值最小值. 可由可由an0，且，且an10，求得，求得n的值的值. (2) 由由 ndandSn)2(212 數(shù)數(shù)配方法配方法求得最值時(shí)求得最值時(shí)n的值的值.利用二次函利用二次函課堂小結(jié)課堂小結(jié)2.3 2.3 等

33、差數(shù)列的等差數(shù)列的 前前n n項(xiàng)和（四）項(xiàng)和（四）上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)1.1.等差數(shù)列的定義特征等差數(shù)列的定義特征從第從第2 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)于同一個(gè)常數(shù). .或an1an12 an(n2).2.2.等差數(shù)列的遞推公式等差數(shù)列的遞推公式anan1 d (n2).上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)3.3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana1( (n1) )dam( (nm) )dpnq. .4.4.等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式項(xiàng)和公式11()(1)22nnn aan ndSna+-=+上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè)5.5.等差數(shù)列的主要性質(zhì)等差數(shù)列的主要性質(zhì)（1 1）若數(shù)列）若數(shù)列aan n 、bbn n 都是等差數(shù)列，都是等差數(shù)列，則數(shù)列則數(shù)列papan n ，aan na an n1 1 ，aan nb bn n ，aan nb bn n 也是等差數(shù)列也是等差數(shù)列. .（3 3）aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列 S Sn npnpn2 2qnqn. .(2)mnpq amanapaq. 上頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)下頁(yè);,)5(2232dnSSSSSnadnnnnnn公差為仍成等差數(shù)列，項(xiàng)之和中依次每的等差數(shù)列公差為S S3n3n3(S3(S2n2nS S