實變函數(shù)論（課堂PPT）

1、.1 本講目的：掌握Lp-空間的定義及其重要意義， 重點與難點： Newton-Leibniz公式的證明。.2 人們在用迭代方法解微分方程或積分方程時，常常會碰到這樣的問題：盡管任意有限次迭代函數(shù)都是很好的函數(shù)（可微或連續(xù)函數(shù)），但當施行極限手續(xù)以求出準確解時卻發(fā)現(xiàn)，迭代序列的極限不在原來所限定的范圍內(nèi)，這促使人們將函數(shù)的范圍拓寬，空間理論正是在此基礎上產(chǎn)生的。1907年，F(xiàn).Riesz與Frechet首先定義了0，1上的平方可積函數(shù)空間，即 |,|)1 , 0(2可積且可測函數(shù)是fLebesgueffLp.3 隨后,人們又進一步考察p-方可積函數(shù)，得到空間 ,考慮這些空間的一個基本思想是，不

2、再是將每一個函數(shù)當作一個孤立對象看，而是作為某一類集合中的一個元素，將這個函數(shù)集合看作一個整體討論其結(jié)構(gòu)。如果說前面所研究的Lebesgue可測函數(shù)是一棵棵的樹木, 現(xiàn)在則要將這些樹木放在起構(gòu)成一片森林。 pL.4pL),(baC一. 空間的定義gf ,| )()(|maxxgxfbxanR 我們知道，Rn中有線性運算，有距離公式，對于兩個函數(shù)，可以定義它們的線性運算，但它們之間所謂“距離”的定義卻不是件簡單的是。首先，所定義的距離必須有意義，例如，對于 中的兩個函數(shù) ，可以用 定義它們的距離，但如果用它來定義一般Lebesgue可測函數(shù)間的距離顯然是不合適的。其次，所定義的距離，必須滿足距離

3、的一些最基本的性質(zhì)。這些性質(zhì)是什么呢？我們可以通過 中的距離歸納出來，即下面的 .5定義1 設 是一個集合。 的函數(shù)。滿足：1RAA到是 A（i）對任意 )(0),(0),(,非負性當且僅當并且gfgfgfAgf（ii）對任意 )(,(),(,對稱性gfgfAgf),(),(),(,ghhfgfAhgf（iii） 對任意（三角不等式）。 則稱是A上的距離是E上的Lebesgue可測函數(shù)， ffELLEppn|)(,1記設且 Epdxxf| )(|。.6 對任意 ，顯然 仍是E上的可測函數(shù)，由于對任意實數(shù) ，有 1,)(,RELgfp及gfba,|,| |,max|2|baba所以| )(| ,

4、| )(max|2| )()(|ppppxgxfxgxf)| )(| )(|(|2pppppxgxf.7因此不難看出 。從 的定義，啟發(fā)我們以下面的方式定義 上的距離：由上面的討論，顯見對任意 ，有)(ELgfp)(ELp)(ELppEpdxxgxfgfp/1| )()(|),()(,ELgfp),(0gf.8 即 上非負的有限函數(shù)。它是不是 上的距離呢？為此，設 ，則得 ， 于是 ，進而 由此立得 另一方面，若 )()(ELELpp是)(ELp0),(gf0| )()(|1pEpdxxgxf0| )()(|Epdxxgxf.0| )()(|Eeaxgxfp.)()(Eeaxgxf.)()(1

5、Eeaxfxf.)()(1Eeaxgxg.9則 ，從 而 。 上述分析說明， 并不是 上的距離，但使 的函數(shù)必有幾乎處處相等的，反之亦然。因此，我們可以將 中幾乎處處相等的函數(shù)放在一起，從而構(gòu)成新的集合： 當且僅當 .)()()()(11Eeaxgxfxgxf),(),(11gfgf),(gf)(ELp0),(gf)(ELp),(| )(fgELffELpp.Eeagf .10 對任意 ，定義 不難看到，對任意 ， ，恒有 故上面的定義是無歧義的，此外，若 ，則顯然有 。這樣， 作為 上的函數(shù)的確滿足距離定義中的（i），至于（ii）則是顯而易見的，所以只需驗證它是否滿足（iii）。 )(,EL

6、gfpppEdxgfgf/ 1|),(1ff 1gg ppEppEdxgfdxgf/ 111/ 1|0),(gfgf )()(ELELpp.11 為方便起見，以后也用 記 ，只要說 則指的就是與 幾乎處處相等的函數(shù)類 ，若 說 則指的就是單一的函數(shù) 。 二。幾個重要的不等式 引理1 設 是正數(shù)， ， ，則 等式成立當且僅當 ，或 中有一個為0。f f)(ELfpf f)(ELfpfba,0,1bababa ,.12 證明：不妨設 （ 情形可類似證 明），由引理的條件知，于是要證的不等式可寫成 即記 ，則對任意 ，存在 ，使 ， 因 ，所以 ，從而 ， ba ba 1) 1()(bababa)

7、1(1)(babaxxF)(1c, 1 c1)(1) 1 ()(FcFcF11) 1() 1 ()(cFcF.13 即 。令 ，立得 從證明過程可以看出，等號成立當且僅當 或 或0，證畢。 定理1（霍爾德（Holder）不等式） 設 ，（滿足條件的 稱作共軛數(shù)）， ， ，則 ) 1(1ccbac ) 1(1)(bababa 1a111, 1, 1qpqpqp,)(ELfp)(ELgq),(1ELfg.14 且 。（1）等式成立當且僅當 與 相差一個常數(shù)因子。 證明：若 中有一個為0，則（1）式顯然成立（事實上，此時（1）式兩邊都為0），故不妨 設 均不為0。于是都不為0，qqEppEEdxgd

8、xfdxfg11|pf |qg |gf ,gf ,dxgdxfqEpE|,|.15 記 則由引理1，當 ， 都不為0時，有 即 ,1,1,| )(|)(,| )(|)(qpdxgxgxbdxfxfxaqEppEp)(xf)(xg)()()()(xbxaxbxaqEqppEdxxgdxxfxgxf11| )(| )(| )()(|EqqEppdxxgxgqdxxfxfp| )(| )(|1| )(| )(|1.16 且等號只有在 即 與 只差一個常數(shù)因子時才成立，不等式兩邊作積分得 ，此即所要的不等式，證畢。 定理2（Minkowski不等式）dxxgxgdxxfxfqEqpEp| )(| )(

9、| )(| )(|pf |qg |111| )()(|11qpdxgdxfdxxgxfqqEppEE.17 設 ， ， 則 （2）若 ，則等號只在 與 相差一個非負常數(shù)因子時成立。 證明：當 時，不等式顯然成立，若 , 則不等式也是顯然的，故不妨 1p)(,ELgfpppEdxxgxf1| )()(|ppEppEdxxgdxxf11|)(|)(|1pfg1p0|dxgfpE.18 設 ，且 ，注意到 時 ， ，故 其中 是 的共軛數(shù)，即 ，于是由Holder不等式得 （3）0|dxgfpE1p)(,ELgfp)(ELgfp)(|ELgfpqp1qp111qpdxxgxfxfqpE| )()(|

10、 )(|qqqpEppExgxfdxxf11)| )()(| )(|.19 類似地，也有 （ 4 ） 將兩個不等式相加得 dxxgxfxgqpE| )()(|)(|qqqpEppEdxxgxfdxxg11)| )()(| )(|dxxgxfdxxgxfqpEpE1| )()(| )()(| )(| )(|11EppEppdxxgdxxfdxxgxfxgxfEqp| )()(|)(| )(|.20 兩邊同除以 立得所要的不等式。 要使（2）式中的等號成立，必須且只需（3）、（4）及 （5）的第一個不等式成為 等式，而使 （3）、（4）成為等式的充要 qpEdxxgxf1| )()(|.qpEdx

11、xgxf1| )()(|.21 條件是 ， 與 都只差一常數(shù)因子.由于假設了 從而 ，所以 與 只差一常數(shù)因子，即存在常數(shù)c，使 進而 。要使（5）中第一個不等式成為等式，必須有 pf |pg |qpgf|0|dxgfpE0|qpgfpf |pg | .|Eeagcfpp .|1Eeagcfp.22 這意味著 與 的符號在E上幾乎處處相 同， 從而由 得 所以 ，證畢。 由定理2不難看到 上的函數(shù) 滿足三角不等式，即對任意 ， .| )(| )(| )()(|Eeaxgxfxgxf)(xf)(xg .| )(| )(|1Eeaxgcxfp .)()(1Eeaxgcxfp .)()(1Eeaxgcxfp)()(ELELpp)(,ELhgfp.23 有 。事實上， 。綜上立知 是 上的距離對 ，定義),(),(),(ghhfgfppEdxxgxfgf1| )()(|),(ppEdxxgxhxhxf1| )()(| )()(|),(),(ghhf)(ELfpppEppEdxxgxhdxxhxf11| )()(|