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文檔簡介
1、.1 本講目的:掌握Lp-空間的定義及其重要意義, 重點與難點: Newton-Leibniz公式的證明。.2 人們在用迭代方法解微分方程或積分方程時,常常會碰到這樣的問題:盡管任意有限次迭代函數(shù)都是很好的函數(shù)(可微或連續(xù)函數(shù)),但當施行極限手續(xù)以求出準確解時卻發(fā)現(xiàn),迭代序列的極限不在原來所限定的范圍內(nèi),這促使人們將函數(shù)的范圍拓寬,空間理論正是在此基礎上產(chǎn)生的。1907年,F(xiàn).Riesz與Frechet首先定義了0,1上的平方可積函數(shù)空間,即 |,|)1 , 0(2可積且可測函數(shù)是fLebesgueffLp.3 隨后,人們又進一步考察p-方可積函數(shù),得到空間 ,考慮這些空間的一個基本思想是,不
2、再是將每一個函數(shù)當作一個孤立對象看,而是作為某一類集合中的一個元素,將這個函數(shù)集合看作一個整體討論其結(jié)構(gòu)。如果說前面所研究的Lebesgue可測函數(shù)是一棵棵的樹木, 現(xiàn)在則要將這些樹木放在起構(gòu)成一片森林。 pL.4pL),(baC一. 空間的定義gf ,| )()(|maxxgxfbxanR 我們知道,Rn中有線性運算,有距離公式,對于兩個函數(shù),可以定義它們的線性運算,但它們之間所謂“距離”的定義卻不是件簡單的是。首先,所定義的距離必須有意義,例如,對于 中的兩個函數(shù) ,可以用 定義它們的距離,但如果用它來定義一般Lebesgue可測函數(shù)間的距離顯然是不合適的。其次,所定義的距離,必須滿足距離
3、的一些最基本的性質(zhì)。這些性質(zhì)是什么呢?我們可以通過 中的距離歸納出來,即下面的 .5定義1 設 是一個集合。 的函數(shù)。滿足:1RAA到是 A(i)對任意 )(0),(0),(,非負性當且僅當并且gfgfgfAgf(ii)對任意 )(,(),(,對稱性gfgfAgf),(),(),(,ghhfgfAhgf(iii) 對任意(三角不等式)。 則稱是A上的距離是E上的Lebesgue可測函數(shù), ffELLEppn|)(,1記設且 Epdxxf| )(|。.6 對任意 ,顯然 仍是E上的可測函數(shù),由于對任意實數(shù) ,有 1,)(,RELgfp及gfba,|,| |,max|2|baba所以| )(| ,
4、| )(max|2| )()(|ppppxgxfxgxf)| )(| )(|(|2pppppxgxf.7因此不難看出 。從 的定義,啟發(fā)我們以下面的方式定義 上的距離:由上面的討論,顯見對任意 ,有)(ELgfp)(ELp)(ELppEpdxxgxfgfp/1| )()(|),()(,ELgfp),(0gf.8 即 上非負的有限函數(shù)。它是不是 上的距離呢?為此,設 ,則得 , 于是 ,進而 由此立得 另一方面,若 )()(ELELpp是)(ELp0),(gf0| )()(|1pEpdxxgxf0| )()(|Epdxxgxf.0| )()(|Eeaxgxfp.)()(Eeaxgxf.)()(1
5、Eeaxfxf.)()(1Eeaxgxg.9則 ,從 而 。 上述分析說明, 并不是 上的距離,但使 的函數(shù)必有幾乎處處相等的,反之亦然。因此,我們可以將 中幾乎處處相等的函數(shù)放在一起,從而構(gòu)成新的集合: 當且僅當 .)()()()(11Eeaxgxfxgxf),(),(11gfgf),(gf)(ELp0),(gf)(ELp),(| )(fgELffELpp.Eeagf .10 對任意 ,定義 不難看到,對任意 , ,恒有 故上面的定義是無歧義的,此外,若 ,則顯然有 。這樣, 作為 上的函數(shù)的確滿足距離定義中的(i),至于(ii)則是顯而易見的,所以只需驗證它是否滿足(iii)。 )(,EL
6、gfpppEdxgfgf/ 1|),(1ff 1gg ppEppEdxgfdxgf/ 111/ 1|0),(gfgf )()(ELELpp.11 為方便起見,以后也用 記 ,只要說 則指的就是與 幾乎處處相等的函數(shù)類 ,若 說 則指的就是單一的函數(shù) 。 二。幾個重要的不等式 引理1 設 是正數(shù), , ,則 等式成立當且僅當 ,或 中有一個為0。f f)(ELfpf f)(ELfpfba,0,1bababa ,.12 證明:不妨設 ( 情形可類似證 明),由引理的條件知,于是要證的不等式可寫成 即記 ,則對任意 ,存在 ,使 , 因 ,所以 ,從而 , ba ba 1) 1()(bababa)
7、1(1)(babaxxF)(1c, 1 c1)(1) 1 ()(FcFcF11) 1() 1 ()(cFcF.13 即 。令 ,立得 從證明過程可以看出,等號成立當且僅當 或 或0,證畢。 定理1(霍爾德(Holder)不等式) 設 ,(滿足條件的 稱作共軛數(shù)), , ,則 ) 1(1ccbac ) 1(1)(bababa 1a111, 1, 1qpqpqp,)(ELfp)(ELgq),(1ELfg.14 且 。(1)等式成立當且僅當 與 相差一個常數(shù)因子。 證明:若 中有一個為0,則(1)式顯然成立(事實上,此時(1)式兩邊都為0),故不妨 設 均不為0。于是都不為0,qqEppEEdxgd
8、xfdxfg11|pf |qg |gf ,gf ,dxgdxfqEpE|,|.15 記 則由引理1,當 , 都不為0時,有 即 ,1,1,| )(|)(,| )(|)(qpdxgxgxbdxfxfxaqEppEp)(xf)(xg)()()()(xbxaxbxaqEqppEdxxgdxxfxgxf11| )(| )(| )()(|EqqEppdxxgxgqdxxfxfp| )(| )(|1| )(| )(|1.16 且等號只有在 即 與 只差一個常數(shù)因子時才成立,不等式兩邊作積分得 ,此即所要的不等式,證畢。 定理2(Minkowski不等式)dxxgxgdxxfxfqEqpEp| )(| )(
9、| )(| )(|pf |qg |111| )()(|11qpdxgdxfdxxgxfqqEppEE.17 設 , , 則 (2)若 ,則等號只在 與 相差一個非負常數(shù)因子時成立。 證明:當 時,不等式顯然成立,若 , 則不等式也是顯然的,故不妨 1p)(,ELgfpppEdxxgxf1| )()(|ppEppEdxxgdxxf11|)(|)(|1pfg1p0|dxgfpE.18 設 ,且 ,注意到 時 , ,故 其中 是 的共軛數(shù),即 ,于是由Holder不等式得 (3)0|dxgfpE1p)(,ELgfp)(ELgfp)(|ELgfpqp1qp111qpdxxgxfxfqpE| )()(|
10、 )(|qqqpEppExgxfdxxf11)| )()(| )(|.19 類似地,也有 ( 4 ) 將兩個不等式相加得 dxxgxfxgqpE| )()(|)(|qqqpEppEdxxgxfdxxg11)| )()(| )(|dxxgxfdxxgxfqpEpE1| )()(| )()(| )(| )(|11EppEppdxxgdxxfdxxgxfxgxfEqp| )()(|)(| )(|.20 兩邊同除以 立得所要的不等式。 要使(2)式中的等號成立,必須且只需(3)、(4)及 (5)的第一個不等式成為 等式,而使 (3)、(4)成為等式的充要 qpEdxxgxf1| )()(|.qpEdx
11、xgxf1| )()(|.21 條件是 , 與 都只差一常數(shù)因子.由于假設了 從而 ,所以 與 只差一常數(shù)因子,即存在常數(shù)c,使 進而 。要使(5)中第一個不等式成為等式,必須有 pf |pg |qpgf|0|dxgfpE0|qpgfpf |pg | .|Eeagcfpp .|1Eeagcfp.22 這意味著 與 的符號在E上幾乎處處相 同, 從而由 得 所以 ,證畢。 由定理2不難看到 上的函數(shù) 滿足三角不等式,即對任意 , .| )(| )(| )()(|Eeaxgxfxgxf)(xf)(xg .| )(| )(|1Eeaxgcxfp .)()(1Eeaxgcxfp .)()(1Eeaxgcxfp)()(ELELpp)(,ELhgfp.23 有 。事實上, 。綜上立知 是 上的距離對 ,定義),(),(),(ghhfgfppEdxxgxfgf1| )()(|),(ppEdxxgxhxhxf1| )()(| )()(|),(),(ghhf)(ELfpppEppEdxxgxhdxxhxf11| )()(|
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