平面的相對(duì)位置關(guān)系

1、第5章 直線、平面的相對(duì)位置關(guān)系教學(xué)目的要求：研究直線與平面以及平面與平面的相對(duì)位置關(guān)系（包括：平行、相交和垂直）及在投影圖中的投影特性和基本作圖方法。教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：相交關(guān)系的作圖方法與步驟，及可見(jiàn)性的判斷，線、面相對(duì)位置綜合作圖。學(xué) 時(shí)：4§1 平行關(guān)系一、 直線與平面平行幾何條件：如果平面外的一直線和這個(gè)平面上的一直線平行，則此直線平行于該平面，反之亦然。投影：如果直線的投影與平面內(nèi)任意一直線的同面投影平行，在空間則直線與平面平行。根據(jù)此定理，我們可以在投影圖上判斷直線與平面是否平行，并解決直線與平面平行的作圖問(wèn)題。作圖：如圖5-1所示，已知bd ef,bdef,且BD是ABC平

2、面上的一直線因此，直線BDABC 圖5-2 圖 5-1 例1 過(guò)點(diǎn)K作一水平線，使之平行于ABC（圖5-2）解： 在ABC上作一水平線AD。（先作正面投影 adX） 過(guò)K點(diǎn)作直線KLAD。（klad，klad）直線KL即為所求。例 2 過(guò)點(diǎn)K作一鉛垂面（用跡線表示），使之平行于直線AB解 分析 由于鉛垂面的H投影為一直線，所以作鉛垂面平行于直線AB，則PH必平行于ab。 過(guò)k作PHab,與X軸交于PX點(diǎn)。 過(guò)PX點(diǎn)作PVX軸，則P平面即為所求。 圖5-3 二、平面與平面平行幾何條件：如果一平面上的兩條相交直線分別平行于另一平面上的兩條相交直線，則此兩平面平行。投影： 一個(gè)平面內(nèi)任意兩條直線的投

3、影分別與另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線的同面投影對(duì)應(yīng)平行，則這兩個(gè)平面平行。作圖： 由于ABA1B1,BCB1C1,所以平面ABC平面A1B1C1，如圖5-4所示 圖5-4 兩平行平面的同面跡線一定平行，反之，如果兩平面的兩對(duì)同面跡線分別相互平行,則不能確定兩平面是相互平行的。在圖5-5中兩平面平行，在圖5-6中兩平面不平行。 圖5-5 圖5-6 §2 相交關(guān)系求直線與平面的交點(diǎn)和兩平面的交線是解決相交問(wèn)題的基礎(chǔ)。一、利用積聚性求交點(diǎn)、交線1直線與平面相交求交點(diǎn) 當(dāng)平面或直線的投影有積聚性時(shí)，根據(jù)交點(diǎn)的公有性，一個(gè)投影可直接確定，另一個(gè)投影可用在直線或平面上取點(diǎn)的方法求出。例1 試求直線A

4、B與平面P的交點(diǎn)（圖57） 作圖步驟： （1）確定正面投影k。 （2）求水平投影k。 圖57 圖58 例2 試求直線EF與ABC的交點(diǎn)（圖58a）作圖步驟 （1）過(guò)k在abc上作輔助線ad。 （2）作ad的正面投影ad。 （3）求交點(diǎn)的正面投影k。 （4）判斷可見(jiàn)性。在投影圖中，為了增強(qiáng)清晰性，將直線與平面重影部分判斷可見(jiàn)性。規(guī)定：不可見(jiàn)部分畫(huà)成虛線，可見(jiàn)部分畫(huà)成實(shí)線，交點(diǎn)是直線投影虛實(shí)的分界點(diǎn)。 圖58b 圖5-8（a） 2平面與平面相交求交線當(dāng)兩平面之一投影有積聚性時(shí)，交線的兩個(gè)投影有一個(gè)可直接確定，另一個(gè)投影可用在平面上作直線的方法求出。例 試求平面ABC與平面P的交線（圖59a）解法一

5、 （圖59b）作圖步驟 （1）連接ac。 （2）求出PV與abc的交線kl。 （3）求交線的水平投影kl。 圖59a 圖59b 圖59c解法二 分析: P平面是水平面，它與平面ABC的交線一定是水平線，BC也是平面ABC內(nèi)的一水平線，根據(jù)同一平面的水平線的投影相互平行的特性，既可求出交線的投影。作圖步驟（1） 求出PV與ab的交點(diǎn)k。（2） 求出K的水平投影k。（3） 過(guò)k作klbc。（4） 求出l。KL即為所求。二、用輔助面求交點(diǎn)、交線當(dāng)直線、平面均為一般位置時(shí)，其交點(diǎn)、交線不能直接求出，必須通過(guò)輔助平面來(lái)求。1用輔助面求交點(diǎn)作圖步驟(圖510)（1） 過(guò)已知直線做一輔助平面，如平面P(為便

6、于作圖，常用特殊位置平面)；（2） 求出輔助平面與已知平面的輔助交線，如直線CD;（3） 求出輔助交線與已知直線的交點(diǎn)，如K點(diǎn)，即為所求交點(diǎn)。 圖5-10例 試求直線AB與平面EFG的交點(diǎn)。（圖511a） 圖511解 作圖步驟（1） 過(guò)AB作鉛垂面P（圖511b）；（2） 求P與EFG的交線CD;（3） 求CD與AB的交點(diǎn)（k,k）,則K為直線AB與平面EFG的交點(diǎn)（圖511c）;（4） 判別水平投影的可見(jiàn)性（圖511d）；（5） 判別正面投影的可見(jiàn)性。 圖511a 圖511b 圖511c 圖511d2 用輔助面法求交線作圖步驟 （1）過(guò)AB作一正垂面P,求出P與平面DEF的交線12，12與A

7、B的交于K點(diǎn),則K點(diǎn)是一個(gè)公共點(diǎn)。（2）過(guò)直線AC作正垂面Q,求出它與平面DEF的交線為34，34與AC交于點(diǎn)L,則交線KL即為所求。求出交線后一定要判斷可見(jiàn)性，交線時(shí)可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界線，交線一側(cè)可見(jiàn)，另一側(cè)必不可見(jiàn)，交線本身是可見(jiàn)的，用粗實(shí)線畫(huà)出。 圖512§3 垂直關(guān)系一、直線與平面垂直幾何條件：如果一直線垂直于平面上的兩條相交直線，則此直線垂直于該平面。反之，如果一直線垂直于一平面，則此直線垂直于該平面上的一切直線。投影：若一直線的水平投影一定垂直于平面上水平線的水平投影，直線的正面投影垂直于平面上正平線的正面投影，則該直線必垂直于此平面。反之，若一直線垂直于一個(gè)平面，則它的

8、水平投影一定垂直于平面是水平線的水平投影，它的正面投影一定垂直于平面上正平線的正面投影，它的側(cè)面投影一定垂直于平面上側(cè)平線的側(cè)面投影。 圖513如圖513所示，AB和AC分別是ABC平面上的水平線和正平線，adab,adac,則直線垂直于平面ABC。例1 試求點(diǎn)K到ABC平面的距離（圖514a）解 分析 求點(diǎn)到平面的距離，需自該點(diǎn)向平面做垂線，并求出垂線與平面的交點(diǎn)，然后確定該點(diǎn)到垂足之間線段的實(shí)長(zhǎng)。（圖514b,514c）作圖步驟 （1）在ABC平面上任作一水平線BD和AE。 （2）自K點(diǎn)向BD、AE引垂線，即作klbd,klae,得垂線KL。（3）過(guò)KL作輔助面P,求出垂足F。 （4）用直

9、角三角形法求出實(shí)長(zhǎng)K1f,則K1f即為所求。 圖514a 圖514b 圖514c 二、平面與平面垂直幾何條件：如果一直線垂直于一平面，則通過(guò)此直線的所有平面都垂直于該平面。反之，如果兩平面互相垂直，則自第一個(gè)平面上的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面所作的垂線，一定在第一個(gè)平面上。（圖515） 圖515 圖516例 1 試過(guò)直線EF作一平面垂直于平面ABCD(圖516)解 作圖步驟 （1）從直線EF上的任意一點(diǎn)E向平面ABCD引垂線EH;（2）則平面FEH垂直于平面ABCD,即為所求。 圖517三、兩一般位置平面垂直作圖依據(jù)：一直線垂直于一平面，則這條直線垂直于一平面，則這條直線垂直該平面上的所有直線。例

10、試過(guò)A點(diǎn)作一條直線，使其與直線BC垂直相交（圖518a）解: 分析 由于BC為一般位置直線，過(guò)點(diǎn)A與BC垂直相交的直線也是一般位置直線。所求直線必在過(guò)點(diǎn)A且與直線BC垂直的平面內(nèi)，該平面與直線BC的交點(diǎn)和點(diǎn)A的連線，即為所求（圖518b）作圖步驟 （圖518c）:（1） 過(guò)點(diǎn)A作水平線ADBC,作正平線AEBC;（2） 求直線BC與平面（AD、AE確定）的交點(diǎn)K(k,k);（3） 連接A、K,則AK(ak,ak),即為所求。 (b)（a） (c) 圖518 兩一般位置直線互相垂直§4 點(diǎn)、線、面綜合題及其解法點(diǎn)、線、面綜合題是指在解題過(guò)程中需要運(yùn)用前面點(diǎn)、線、面，特別是直線、平面相對(duì)

11、位置的基本概念和作圖方法。一、 解題的一般步驟（1） 分析題意。主要分析清楚已知條件和欲求結(jié)果，以及其應(yīng)滿(mǎn)足的條件。（2） 確定解題方法和步驟。這是解題的關(guān)鍵。（3） 投影作圖。二、解題方法1. 綜合分析法 此方法就是從已知條件出發(fā)，根據(jù)作圖的要求條件，逐步推理最后得到索要的結(jié)果。整個(gè)過(guò)程都是“正”、“反”結(jié)合。這是畫(huà)法幾何的基本方法。例 試過(guò)點(diǎn)K作直線KL,使其同時(shí)垂直于兩相錯(cuò)直線AB、CD(圖519a)。 （a） (b)圖519 過(guò)點(diǎn)作同時(shí)垂直于兩錯(cuò)直線的直線解 分析 由已知條件可知，所要求的直線KL，應(yīng)滿(mǎn)足三個(gè)條件：KL過(guò)點(diǎn)K,KLAB及KLCD。因要求KL同時(shí)垂直于AB和CD,因此，K

12、L一定垂直于AB和CD共同平行的平面P。為作圖簡(jiǎn)便起見(jiàn)，可包含直線AB作一平行于CD的平面P。作圖步驟（略去）2.軌跡相交法 軌跡相交法是畫(huà)法幾何的常用方法，它適應(yīng)于有兩個(gè)或多個(gè)作圖條件的問(wèn)題，如果考慮每一個(gè)條件，都有無(wú)數(shù)個(gè)解答，并各自形成一個(gè)軌跡。這樣所得各軌跡的交，即為所求的結(jié)果。例 已知一直角三角形ABC，其中AB為一直角邊，另一直角邊AC平行于平面R，且點(diǎn)C距V面20mm，試完成該三角形的兩投影（圖520a）。 （a） (b) 圖520軌跡相交法解 分析 由已知條件可知，所要求的直角三角形的另一邊AC應(yīng)滿(mǎn)足三個(gè)條件：ACAB;ACR;C點(diǎn)距V面20mm。滿(mǎn)足ACAB的條件，AC的軌跡為

13、過(guò)點(diǎn)A且垂直于直線AB的平面P(圖522b中的MAN平面)；滿(mǎn)足ACR面的條件，AC的軌跡為過(guò)點(diǎn)A且平行于平面R的平面Q.則點(diǎn)C必在兩平面PP、Q的交線AL上。在根據(jù)點(diǎn)C距面V20mm的條件，在AL上確定點(diǎn)C,最后連接B、C，完成全圖。作圖步驟（略去）3.輔助作圖法 這是解畫(huà)法幾何題經(jīng)常使用的方法。通常輔助作圖是在投影圖上進(jìn)行，但有時(shí)需要在投影圖以外進(jìn)行。例 試過(guò)A作直線AB，使其對(duì)H面的傾角=30°，對(duì)V面的傾角=45°，且實(shí)長(zhǎng)=25mm（圖521a）解: 分析 由已知條件可知， 所求直線AB應(yīng)滿(mǎn)足四個(gè)條件： AB過(guò)點(diǎn)A; =30° =45°L=25m

14、m,可根據(jù)直角三角形法來(lái)求。作圖步驟（圖521b）(1) 在正投影圖以外畫(huà)出輔助直角三角形，圖解求出ab、z和ab、y;(2) 根據(jù)直線AB的V投影長(zhǎng)ab和兩點(diǎn)A、B的高標(biāo)差z求得點(diǎn)B的V投影b；(3) 根據(jù)b及兩點(diǎn)A、B的縱標(biāo)差y（或AB的H投影長(zhǎng)ab）求得b；(4) 連接兩點(diǎn)A、B,則直線AB即為所求。本題可有八解。 (a) (b) 5-21 輔助作圖法 圖222 變更問(wèn)題法 圖5-21c4變更問(wèn)題法 這種方法是將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成較易解決的問(wèn)題來(lái)解。例如，求兩平面的夾角（圖522），這時(shí)可以不直接求角，而是可以自平面外的任意一點(diǎn)K向兩平面引垂線KM、KN,再求出KM、KN之間的夾角，其補(bǔ)角

15、即為要求的二面角，這樣就把求兩平面夾角的空間問(wèn)題變?yōu)槠矫鎲?wèn)題。 （a） (b) 圖523 求直線與平面的傾角例 試求直線KL與ABC平面的傾角（圖523a）。解 分析 如圖524所示，求直線與平面P的夾角，可自直線上任意一點(diǎn)K向平面P作垂線KM，求出直線KL與垂線KM的夾角，其余角就是直線KL與平面P的夾角。作圖步驟（略）5反求法反求法就是解題時(shí)，有時(shí)從正面推導(dǎo)不易得到結(jié)果，而根據(jù)要求結(jié)果，先在圖外作出其投影，加以分析而得到解題方法。例 已知等邊ABC的邊AB的V投影abX軸，即AC邊的H投影ac，試完成該ABC的投影（圖525a）。解 分析 初看起來(lái)，根據(jù)已知條件磁體不易入手。如果要作的是等邊三角形，且一邊AB是水平線，先在旁邊畫(huà)出這樣的 圖524