拉氏變換詳解（課堂PPT）

1、.12.常用函數(shù)的拉氏變換常用函數(shù)的拉氏變換(1)例例1.求階躍函數(shù)求階躍函數(shù)f(t)=A1(t)的拉氏變換。的拉氏變換。單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)f(t)=1(t)的拉氏變換為的拉氏變換為 。 (2)例例2.求單位脈沖函數(shù)求單位脈沖函數(shù)f(t)=(t)的拉氏變換。的拉氏變換。sAesAdtAesFstst00)(1)!2! 111(1)1(111)()(220000000limlimlimlimsssesesdtedtetsFsstststs1數(shù)學知識回顧.2 （3）例）例3.求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù)f(t)= 的拉氏變換的拉氏變換幾個重要的拉氏變換幾個重要的拉氏變換ateaseasdtedtee

2、sFtastsastat11)(0)(0)(0f(t)F(s)f(t)F(s)(t)1sinwt1(t)1/scoswt t1/(s+a)21 sate)(22wsw)(22wsswteatsinwteatcos22)(wasw22)(wasas.3v3.拉氏變換的基本性質(zhì)拉氏變換的基本性質(zhì) (1)線性性質(zhì)線性性質(zhì) 原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉原函數(shù)之和的拉氏變換等于各原函數(shù)的拉氏變換之和。氏變換之和。 (2)微分性質(zhì)微分性質(zhì) 若若 ，則有，則有f(0)為原函數(shù)為原函數(shù)f(t) 在在t=0時的初始值。時的初始值。)()()()(2121tfbLtfaLtbftafL)()(sFtfL)

3、0()()(fssFtfL.4 證：根據(jù)拉氏變換的定義有證：根據(jù)拉氏變換的定義有 原函數(shù)二階導數(shù)的拉氏變換原函數(shù)二階導數(shù)的拉氏變換依次類推，可以得到原函數(shù)依次類推，可以得到原函數(shù)n階導數(shù)的拉氏階導數(shù)的拉氏變換變換) 0()()()()()(000fssFetfdtetfsdtetftfLststst)0()0()()0()0()()0()()(2fsfsFsffssFsftfsLtfL ) 0 () 0 () 0 ()()(121nnnnnffsfssFstfL.5(3)積分性質(zhì)積分性質(zhì) 若若 則則 式中式中 為積分為積分 當當t=0時的值。時的值。證：設證：設 則有則有 由上述微分定理，有由

4、上述微分定理，有dttfth)()()()(sFtfLsfssFdttfL)0()()(1dttf)()0(1f)()(tfth)0()()(hthsLthL)0(1)(1)0(1)(1)0(1)(1)(1fssFshstfLshsthLsthL.6即：即：同理，對同理，對f(t)的二重積分的拉氏變換為的二重積分的拉氏變換為若原函數(shù)若原函數(shù)f(t)及其各重積分的初始值都等于及其各重積分的初始值都等于0則有則有 即原函數(shù)即原函數(shù) f(t)的的n重積分的拉氏變換等于其象重積分的拉氏變換等于其象函數(shù)除以函數(shù)除以 。 sfssFdttfL)0()()(1)(1)(sFsdttfLnn)0(1)0(1)

5、(1)()2()1(222fsfssFsdttfLns.7（4）終值定理）終值定理原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以原函數(shù)的終值等于其象函數(shù)乘以s的初值。的初值。證：由微分定理，有證：由微分定理，有等式兩邊對等式兩邊對s趨向于趨向于0取極限取極限)(lim)(lim0ssFtfst)0()()()(0fssFdtetftfLst)(lim)(lim)0()(lim)0()(lim)0()(lim)()()(lim)(lim000000000ssFtffssFfssFftftfdttfdtetfdtetfstsststssts右邊左邊.8注：若注：若 時時f(t)極限極限 不存在，不存在，則不能用終值

6、定理。如對正弦函數(shù)和余弦則不能用終值定理。如對正弦函數(shù)和余弦函數(shù)就不能應用終值定理。函數(shù)就不能應用終值定理。(5)初值定理：初值定理：證明方法同上。只是要將證明方法同上。只是要將 取極限。取極限。(6)位移定理：位移定理：a.實域中的位移定理，若原函數(shù)在時間上延實域中的位移定理，若原函數(shù)在時間上延遲遲 ，則其象函數(shù)應乘以，則其象函數(shù)應乘以t)(limtft)(lim)(lim0ssFtfst)()(sFetfLs ses.9b.復域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲復域中的位移定理，象函數(shù)的自變量延遲a，原函數(shù)應乘以原函數(shù)應乘以 即：即：(7)時間比例尺定理時間比例尺定理 原函數(shù)在時間上收縮（或

7、展寬）若干倍，原函數(shù)在時間上收縮（或展寬）若干倍，則象函數(shù)及其自變量都增加（或減?。┩瑒t象函數(shù)及其自變量都增加（或減?。┩瑯颖稊?shù)。即：樣倍數(shù)。即： 證：證：)()(asFtfeLat)()(asaFatfL)()(,/)()(00asaFadefatdteatfatfLsast則原式令ate.10(8)卷積定理卷積定理 兩個原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個象函兩個原函數(shù)的卷積的拉氏變換等于兩個象函數(shù)的乘積。數(shù)的乘積。即即證明：證明：)()()()(21021sFsFdftfLt02102110 021021)()( 1)()()(0)( 1)()()()()(dfttfdftfttftdtedf

8、tfdftfLtsttt時，.11 即得證。則令)()()()()()()()(,)(1)()()()(1)()()(1201020)(10202101020021021sFsFdefdefdefdfdftfLtdtettfdfdtedfttfdftfLssstststt.12二二.拉氏反變換拉氏反變換 1. 定義：從象函數(shù)定義：從象函數(shù)F(s)求原函數(shù)求原函數(shù)f(t)的運算的運算稱為拉氏反變換。記為稱為拉氏反變換。記為 。由由F(s)可按下式求出可按下式求出 式中式中C是實常數(shù)，而且大于是實常數(shù)，而且大于F(s)所有極點的所有極點的實部。實部。 直接按上式求原函數(shù)太復雜，一般都用查直接按上式

9、求原函數(shù)太復雜，一般都用查拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但拉氏變換表的方法求拉氏反變換，但F(s)必必須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。須是一種能直接查到的原函數(shù)的形式。 )(1sFL)0()(21)()(1tdsesFjsFLtfjCjCst.13 若若F(s)不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要不能在表中直接找到原函數(shù)，則需要將將F(s)展開成若干部分分式之和，而這些部展開成若干部分分式之和，而這些部分分式的拉氏變換在表中可以查到。分分式的拉氏變換在表中可以查到。例例1：例例2：求：求 的逆變換。的逆變換。解：解：abeetfbsasabbsassFbtat)()11(1)(1)(則tetsF

10、LtfssssssF1)()(1111) 1(1)(122) 1(1)(2sssF.14例例3.ttteetfssssFcbacssbssascsbsasFsssF1)()1(1111)(1, 1, 11)1()1()1(1)()1(1)(2222對應項系數(shù)相等得則解：的逆變換.152. 拉式反變換拉式反變換部分分式展開式的求法部分分式展開式的求法v（1）情況一）情況一:F(s) 有不同極點有不同極點,這時這時,F(s) 總能展開成如下簡單的部分分式之和總能展開成如下簡單的部分分式之和)()()()(1111110nmasasasbsbsbsbsDsMsFnnnnmmmmnnpscpscpsc

11、sF2211)(.16ipsiiiipssDsMccsDnip)()()(,0)(), 2 , 1(是常數(shù)的根是式中321)3)(2)(1(1)(:1321scscscssssF例.17tttssseeetfssssFsssscsssscssssc3233221110115161)(31101211511161)(101)3()3)(2)(1(1151)2()3)(2)(1(161)1()3)(2)(1(1.18v（2）情況）情況2:F(s)有共軛極點有共軛極點例例2：求解微分方程：求解微分方程1) 0 () 0 (, 054 yyyyy為零）拉氏變換（初始條件不則微分方程兩邊同時取tetey

12、sssssssssssFsFfssFfsfsFsttsin3cos1)2(31)2(21)2(321)2(5545)(0)(5)0(4)(4)0()0()(22222222.19v（3）情況）情況3:F(s)有重極點有重極點,假若假若F(s)有有L重重極點極點 ,而其余極點均不相同。而其余極點均不相同。那么那么11)()()()()()()()()()()(11111111111psllpsllnnllllllpssDsMdsdbpssDsMbpscpscpsbpsbpsbsDsMsF式中1p.20仍按以前的方法計算系數(shù),)()()()!1(1)()()(!1,1111111nlpsllpsl

13、iilccpssDsMdsdlbpssDsMdsdib的其余互異極點。是式中0)(), 1()()()(sDnljppssDsMcjpsjjj.211)()1() 1() 1(11) 1() 1(11) 1() 1() 1(1)(.0)0()0()0(, 133:3121133213334122333)3( ssssssdsdsssdsdbsssbscsbsbsbsssFyyyyyyy求微分方程例.22tttsseteetysssssFssscsb2230313121111) 1(1) 1(11)(1) 1(11)2(! 21.23v如果不記公式如果不記公式,可用以下方法求解可用以下方法求解1

14、, 1, 1, 11)3()23(1) 1() 1() 1(1) 1() 1() 1(1)(32132123233323213322313bbbaasbbbasbbasbasssbssbsbsasbsbsbsasssF也可得解。也可得解。.243、線性定常微分方程的求解【例26 P25】下圖中，若已知L=1H, C=1F, r=1,U0(0)=0.1V, i(0)=0.1A, ui(t)=1V.試求電路突然接通電源時電容電壓的變化規(guī)律。rLCur(t)uc(t)i(t).25解：已求得微分方程為)()()()(tututurCtuLCrCCC 拉氏變換得1 . 01 . 0)()0()0()(

15、)(1 . 0)()0()()()()()()(2002 0 ssUsususUstuLssUussUtuLtututurCtuLCccccccrccc.26代入得）則30866. 0sin(2 . 0)120866. 0sin(15. 1112 . 01 . 0) 1(1)(,1)(12 . 01 . 01)()(5 . 05 . 022122tetessssssLtussUssssssUsUorro根據(jù)初值定理、終值定理.27三三.傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 1.定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系

16、統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。表示。 設線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是設線性定常系統(tǒng)（元件）的微分方程是)()()()()()()()(1111011110trbtrdtdbtrdtdbtrdtdbtcatcdtdatcdtdatcdtdammmmmmnnnnnn.28 c(t)為系統(tǒng)的輸出，為系統(tǒng)的輸出，r(t)為系統(tǒng)輸入，則零為系統(tǒng)輸入，則零初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得初始條件下，對上式兩邊取拉氏變換，得到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：到系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：nnnnmmmmasasasabsbsbsbsRsCsG11101110)()()(即是系統(tǒng)的特征方程。0)()(1110sNa

17、sasasasNnnnn分母中分母中S的最高階次的最高階次n即為系統(tǒng)的階次。即為系統(tǒng)的階次。.29 因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以所以G(s)G(s)的分母次數(shù)大于等于分子次數(shù)，即的分母次數(shù)大于等于分子次數(shù)，即 , ,若若mn,mn,我們就說這是物理不可實現(xiàn)的我們就說這是物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。系統(tǒng)。mn 是傳遞函數(shù)的極點極點。的根是函數(shù)的零點零點，的根，稱為傳遞是0)()2 , 1(0)()2 , 1()()()()()()()(210210sNnipssMmizspspspsazszszsbsNsMsGiinm.302.性質(zhì)性質(zhì) (1)傳遞函數(shù)

18、與微分方程一一對應。傳遞函數(shù)與微分方程一一對應。 (2)傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性。（傳遞傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)本身的動態(tài)特性。（傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結構參數(shù)，而與輸入函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結構參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素無關，可見傳遞函數(shù)有和初始條件等外部因素無關，可見傳遞函數(shù)有效地描述了系統(tǒng)的固有特性。）效地描述了系統(tǒng)的固有特性。） (3)只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，只能描述線性定常系統(tǒng)與單輸入單輸出系統(tǒng)，且內(nèi)部許多中間變量的變化情況無法反映。且內(nèi)部許多中間變量的變化情況無法反映。 (4)如果存在零極點對消情況，傳遞函數(shù)就不能正如果存在零極點對消情況，傳遞函數(shù)就不

19、能正確反映系統(tǒng)的動態(tài)特性了。確反映系統(tǒng)的動態(tài)特性了。 (5)只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，只能反映零初始條件下輸入信號引起的輸出，不能反映非零初始條件引起的輸出。不能反映非零初始條件引起的輸出。 .31例例1：RC電路如圖所示電路如圖所示依據(jù)：基爾霍夫定律依據(jù)：基爾霍夫定律 消去中間變量消去中間變量 ，rucuRCti)()()(tutRitucrdttduCtiC)()()(ti則微分方程為：則微分方程為：)()()(tutudttduRCrcc.32可用方框圖表示可用方框圖表示例例2.雙雙T網(wǎng)絡網(wǎng)絡)(sG)(sR)(sC11RCs)(sur)(sucrucu1C2C1R2R1i

20、2i1u對上式進行零初始條件下的拉氏變換得：對上式進行零初始條件下的拉氏變換得：11)()()(RCssususGrc.33解：方法一：根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微解：方法一：根據(jù)基爾霍夫定理列出下列微分方程組：分方程組：dttictutiRtutudttitictutiRtutuccr)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得：方程組兩邊取零初始條件下的拉氏變換得：.34)(1)()()()()()(1)()()()(222212111111sIsCsusIRsususIsIsCsusIRsusuCCr1)(1)()(21221

21、122211sCRCRCRsCRCRsusurC傳遞函數(shù)為消去中間變量后，得到.35方法二：雙方法二：雙T網(wǎng)絡不可看成兩個網(wǎng)絡不可看成兩個RC網(wǎng)絡的串網(wǎng)絡的串聯(lián)，即：聯(lián)，即：)1)(1(1)()(11)()(,11)()(2211222112sCRsCRsususCRsususCRsusurccr得R1R2urC1C2ucu2.36傳遞函數(shù)的基本概念 例例2-9 P31求電樞控制式直流電動機的傳遞函數(shù)。解已知電樞控制式直流電動機的微分方程為：cammKuKdtdT21)()()()1(21sMKsUKssTcam方程兩邊求拉氏變換為：令 ，得轉(zhuǎn)速對電樞電壓的傳遞函數(shù)：0)(sMc1)()()(

22、1sTKsUssGmau令 ，得轉(zhuǎn)速對負載力矩的傳遞函數(shù)：0)(sUa1)()()(2sTKsMssGmcm最后利用疊加原理得轉(zhuǎn)速表示為：)()()()()(sMsGsUsGscmau.37.382.4典型環(huán)節(jié)的特性典型環(huán)節(jié)的特性 控制系統(tǒng)是由許多環(huán)節(jié)組成的，為控制系統(tǒng)是由許多環(huán)節(jié)組成的，為了研究控制系統(tǒng)的特性，有必要首先研了研究控制系統(tǒng)的特性，有必要首先研究其各個組成部分的特性，即研究究其各個組成部分的特性，即研究各個各個環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)的特性。的特性。 不同物理性質(zhì)，不同結構用途的環(huán)不同物理性質(zhì)，不同結構用途的環(huán)節(jié)可以表現(xiàn)出相同的動態(tài)特性，可以有節(jié)可以表現(xiàn)出相同的動態(tài)特性，可以有相同的數(shù)學模型，所

23、以這里按相同的數(shù)學模型，所以這里按數(shù)學模型數(shù)學模型對環(huán)節(jié)進行分類。對環(huán)節(jié)進行分類。.39 1、比例環(huán)節(jié)、比例環(huán)節(jié)（1）微分方程）微分方程 c (t) = K r (t) K 為常數(shù)為常數(shù) 任意時刻，輸出與輸入成比例。任意時刻，輸出與輸入成比例。（2）傳遞函數(shù)）傳遞函數(shù) K為常數(shù)為常數(shù) （3）動態(tài)結構圖）動態(tài)結構圖（4）動態(tài)特性）動態(tài)特性 r (t) = 1(t) c (t) = K 1(t)輸出不失真，不延遲，成比例地輸出不失真，不延遲，成比例地表現(xiàn)輸入信號的變化。表現(xiàn)輸入信號的變化。（迅速、準確地表現(xiàn)輸入信號的變化）（迅速、準確地表現(xiàn)輸入信號的變化）KsRsCsG)()()(K KR R(

24、(S S) )C C( (S S) ).40（5）舉例：）舉例：a、工作于線性狀態(tài)的電子放大器，其慣、工作于線性狀態(tài)的電子放大器，其慣性很小可以近似地看成一個比例環(huán)節(jié)。性很小可以近似地看成一個比例環(huán)節(jié)。b、測速發(fā)電機空載時，它的輸出電壓與、測速發(fā)電機空載時，它的輸出電壓與輸入轉(zhuǎn)速成正比例關系。帶負載時，略去輸入轉(zhuǎn)速成正比例關系。帶負載時，略去其電樞反應和電刷與換相器的接觸電壓，其電樞反應和電刷與換相器的接觸電壓，仍近似地把它視為一個比例環(huán)節(jié)。仍近似地把它視為一個比例環(huán)節(jié)。.412-4 結構圖結構圖一一.結構圖的概念和組成結構圖的概念和組成v1.概念概念 我們可以用結構圖表示系統(tǒng)的組成和信號流向

25、。在引入傳遞函數(shù)后，可以把環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)標在結構圖的方塊里，并把輸入量和輸出量用拉氏變換表示。這時Y(s)=G(s)X(s)的關系可以在結構圖中體現(xiàn)出來。 定義定義 ：表示變量之間數(shù)學關系的方塊圖稱為函數(shù)結構圖或方塊圖。X(t)Y(t)電位器電位器例：結構： 結構圖： 微分方程：y(t)=kx(t) 若已知系統(tǒng)的組成和各部分的傳遞函數(shù)，則可以畫出各個部分的結構圖并連成整個系統(tǒng)的結構圖。X(s)G(s)=KY(s).42 (3)比較點：比較點： 綜合點，相加點綜合點，相加點 加號常省略，負號必須標出加號常省略，負號必須標出 (4)引出點：引出點： 一條傳遞線上的信號處處相等一條傳遞線上的信號處處

26、相等 ，引出點的信號與原信號，引出點的信號與原信號相等。相等。G(s)X(s)Y(s)2. 組成組成 (1)方框：有輸入信號，輸出信號，傳遞線，方框方框：有輸入信號，輸出信號，傳遞線，方框內(nèi)的函數(shù)為輸入與輸出的傳遞函數(shù)，一條傳遞線上內(nèi)的函數(shù)為輸入與輸出的傳遞函數(shù)，一條傳遞線上的信號處處相同。的信號處處相同。 （2）信號線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號的流）信號線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標注信號的時間函數(shù)或象函數(shù)向，在直線旁標注信號的時間函數(shù)或象函數(shù).43結構圖等效變換例子結構圖等效變換例子|例例2-11例1利用結構圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。解：不能把左圖簡單地

27、看成兩個RC電路的串聯(lián),有負載效應。根據(jù)電路定理，有以下式子：)(1)()(11sIRsusui11R)(1sI)(sui)(su-)()()(21sIsIsI-)(sI)(1sI)(2sI)(1)(1susCsIsC11)(sI)(su)(1)()(22sIRsusuo21R)(2sI)(su)(suo-)(1)(22susCsIosC21)(2sI)(suoiuou1R2R1C2C1i2iui,2i二二.結構圖的繪制結構圖的繪制.44繪圖：繪圖：ui(s)為輸入，畫在最左邊。為輸入，畫在最左邊。這個例子不是由微分方程組這個例子不是由微分方程組代數(shù)方程代數(shù)方程組組結構圖，而是直接列寫結構圖，

28、而是直接列寫s域中的代數(shù)方域中的代數(shù)方程，畫出了結構圖。程，畫出了結構圖。11RsC1121RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo.45若重新選擇一組中間變量，會有什么結果呢？若重新選擇一組中間變量，會有什么結果呢？(剛才中間變量為剛才中間變量為i1,u1,i2，現(xiàn)在改為，現(xiàn)在改為I,I1,I2)rucu1C2C1R2R1I2II從右到左列方程：從右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc.46 這個結構與前一個不一樣，這個結構與前一個不一樣，選擇不同的選

29、擇不同的中間變量，結構圖也不一樣，但是整個系統(tǒng)中間變量，結構圖也不一樣，但是整個系統(tǒng)的輸入輸出關系是不會變的。的輸入輸出關系是不會變的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI繪圖繪圖1)(1)()()(21221122121sCRCRCRsCCRRsususGrc.47三三.結構圖的等效變換結構圖的等效變換（1）串聯(lián)）串聯(lián)G(s)X(s)Y(s)()()()()()()(),()()()()()()()(21211121sGsGsxsysGsxsysGsxsxsGsGsxsysG證明：X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s).48(2)并聯(lián)并聯(lián)G

30、(s)X(s)Y(s)()()()()()()()()()()()()()()()()()(2121212121sGsGsGsGsxsGsGsxsGsxsGsxsysysysGsGsG證明：X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S).49(3)反饋反饋這是個單回路的閉環(huán)形式，反饋可能是負，這是個單回路的閉環(huán)形式，反饋可能是負，可能是正，我們用消去中間法來證明?？赡苁钦?，我們用消去中間法來證明。R(s)C(s)()(1)(sHsGsG)()()()()()(),()()(sHsCsBsBsRsEsGsEsCC(s)G(s)H(s)E(s)R(s).50)()(1)()()()()(

31、)()()(1)()()()()()()()()()(sGsHsGssRsCsGsRsGsHsCsGsHsCsGsRsGsBsRsC以后我們均采用以后我們均采用(s)表示閉環(huán)傳遞函數(shù)，表示閉環(huán)傳遞函數(shù)，負反饋時，負反饋時， (s)的分母為的分母為1回路傳遞函數(shù)，回路傳遞函數(shù)，分子是前向通路傳遞函數(shù)。分子是前向通路傳遞函數(shù)。正反饋時，正反饋時， (s)的分母為的分母為1回路傳遞函數(shù)，回路傳遞函數(shù)，分子為前向通路傳遞函數(shù)。分子為前向通路傳遞函數(shù)。單位負反饋時，單位負反饋時，)(1)()(sGsGs.51（4）信號引出點的移動：）信號引出點的移動： 引出點從環(huán)節(jié)的輸入端移到輸出端)(sG)(1sX)

32、(1sX)(sY)(sG)(1sX)(sY)(sN)(1sX)(1)(),()()()(?)(11sGsNsXsNsGsXsN信號分支點的移動和互換信號分支點的移動和互換.52信號相加點和分支點的移動和互換信號相加點和分支點的移動和互換 引出點從環(huán)節(jié)的輸出端移到輸入端：)(sG)(1sX)(sY)(sY)(1sX)(sG)(sN)(sY)(sY)()(),()()(),()()(?)(11sGsNsYsNsXsYsGsXsN 注意： 相臨的信號相加點位置可以互換；見下例)(1sX)(2sX)(3sX)(sY)(1sX)(3sX)(2sX)(sY.53信號相加點和分支點的移動和互換信號相加點和分

33、支點的移動和互換 同一信號的分支點位置可以互換：見下例)(sG)(sX)(sY)(1sX)(2sX)(sG)(sX)(sY)(2sX)(1sX 相加點和分支點在一般情況下，不能互換。)(sG)(2sX)(3sX)(sX)(sG)(2sX)(3sX)(sX常用的結構圖等效變換見表2-1 所以，一般情況下，相加點向相加點移動，分支點向分支點移動。.54結構圖等效變換例子結構圖等效變換例子|例例2-11例2利用結構圖等效變換討論兩級RC串聯(lián)電路的傳遞函數(shù)。iuou1R2R1C2C1i2iui,2i總的結構圖如下：11RsC1121RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo.

34、55結構圖等效變換例子結構圖等效變換例子|例例2-11 為了求出總的傳遞函數(shù)，需要進行適當?shù)牡刃ё儞Q。一個可能的變換過程如下：11RsC111122sCR-)(sI)(1sI)(su)(sui)(suosC211RsC111122sCR-)(su)(sui)(suosCR21.56結構圖等效變換例子結構圖等效變換例子|例例2-1111RsC111122sCR-)(su)(sui)(suosCR211122sCR-)(sui)(suosCR211111sCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsCRsususGio2122112211212211) 1)(1(1) 1)(1(1) 1)(1

35、(1)()()(.57解：結構圖等效變換如下：例3系統(tǒng)結構圖如下，求傳遞函數(shù) 。)()()(sRsCsG)(1sG)(sH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC相加點移動)(1sG)()(2sGsH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC.58)(1sG)()(2sGsH)(2sG)(4sG)(3sG-+)(sR)(sC)()()(421sGsGsG)()()(1)(323sHsGsGsG)(sR)(sC)()()(1)()()()()(324213sHsGsGsGsGsGsGsG結構圖等效變換例子結構圖等效變換例子|例例2-12.59小結小結v結構圖的概念和繪制方法；v

36、結構圖的等效變換（環(huán)節(jié)的合并和分支點、相加點的移動）；作業(yè)：2-2(b)，2-4(b)，2-8，2-9，2-11，2-17(e).602-5 信號流圖信號流圖 信號流圖可以表示系統(tǒng)的結構和變量傳送過程中的數(shù)學關系。它也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學模型。在求復雜系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時較為方便。.61一、信號流圖及其等效變換一、信號流圖及其等效變換組成：信號流圖由節(jié)點和支路組成的信號傳遞網(wǎng)絡。見下圖： 1R1CNEPQ11G2GH信號流圖的概念信號流圖的概念節(jié)點：節(jié)點表示變量。以小圓圈表示。支路：連接節(jié)點之間的有向線段。支路上箭頭方向表示信號傳送方向，傳遞函數(shù)標在支路上箭頭的旁邊，稱支路增益。 支路相當于乘法器

37、，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變?yōu)榱硪环N信號。.62xyGxyG上圖中， 兩者都具有關系: 。支路對節(jié)點 來說是輸出支路，對輸出節(jié)點y來說是輸入支路。 )()()(sxsGsyx信號流圖的概念信號流圖的概念.63信號流圖的術語信號流圖的術語幾個術語： 輸出節(jié)點(阱點)：只有輸入支路的節(jié)點。如： C 混合節(jié)點：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點。如：E，P，Q ?；旌瞎?jié)點相當于結構圖中的信號相加點和分支點。它上面的信號是所有輸入支路引進信號的疊加。 前向通路：信號從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點傳輸時，每個節(jié)點只通過一次的通路叫前向通路。 輸入節(jié)點(源點)：只有輸出支路的節(jié)點。如： R，N。1R1CNEPQ

38、11G2GH.64 回路(閉通路)：起點和終點為同一節(jié)點，而且信號通過每一節(jié)點不多于一次的閉合通路稱為回路。 互不接觸回路：回路之間沒有公共節(jié)點時，這種回路稱為互不接觸回路。1R1CNEPQ11G2GH信號流圖的術語信號流圖的術語 通路傳輸(增益)：通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸或通路增益。前向通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為前向通路傳輸或前向通路增益。 回路傳輸(增益)：回路上各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路傳輸或回路增益。.65信號流圖的等效變換信號流圖的等效變換 串聯(lián)支路合并：abab1x2x3x3x1x 并聯(lián)支路的合并：ab1x2xba2x1x 回路的消除：a1x2x3x1x2x3xabcbcb

39、1.66 混合支路的清除：ab1x2x3x4xcdadbdacbc1x4x4x4x1x2xabcacbc2x3x3x1x2x 自回路的消除：a1x2x3xb1x3x4xab1bbab1x3x4xb11信號流圖的等效變換信號流圖的等效變換.67v節(jié)點表示系統(tǒng)的變量。一般，節(jié)點自左向右順序設置，每個節(jié)點標志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。v支路相當于乘法器，信號流經(jīng)支路時，被乘以支路增益而變換為另一信號。v信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞，即只有前因后果的因果關系。v對于給定的系統(tǒng),節(jié)點變量的設置是任意的，因此信號流圖不是唯一的信號流圖的性質(zhì).6

40、8信號流圖的繪制信號流圖的繪制信號流圖的繪制： 根據(jù)結構圖例2 已知結構圖如下，可在結構圖上標出節(jié)點，如上圖所示。然后畫出信號流圖如下圖所示。bdemghk)(SClf)(SR1V2V3V1bdelk1gfhmRCV1V2V3.69信號流圖的繪制信號流圖的繪制1bdelk1gfhmRCV1V2V3 按微分方程拉氏變換后的代數(shù)方程所表示的變量間數(shù)學關系繪制。如前例所對應的代數(shù)方程為bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVV按方程可繪制信號流圖.70梅遜公式的推導梅遜公式的推導二、二、梅遜公式的推導梅遜公式的推導1bdelk1gfhmRCV1V2V3如前例已知信號流圖如圖所示

41、，所對應的代數(shù)方程為以R為輸入，V2為輸出則可整理成下列方程RfbVVVkdehglm01101321bRlVmVV311fReVhVgVVC3212213kVdVV.71于是可求得該方程組的系數(shù)行列式mkedlhmhgklhkedlmmkekedlhdlgklmhhmkemhdlgklhmkdehglm)(11)1 ()1 ()1)(1 (1101和 RbgdlmfbdegbRdlfRdebRfRmdefRglbRm)1 ()1 (1012梅遜公式的推導梅遜公式的推導.72根據(jù)克萊姆法則得 mkedlhmhgklhkedlmRbgdlmfbdeVC)(1)1 (22于是傳遞函數(shù)為mkedlh

42、mhgklhkedlmbgdlmfbdeRsRsCs)(1)1 ()()()(2 分析上式可以看到，傳遞函數(shù)的分子和分母取決于方程組的系數(shù)行列式，而系數(shù)行列式又和信號流圖的拓撲結構有著密切的關系。從拓撲結構的觀點，信號流圖的主要特點取決于回路的類型和數(shù)量。而信號流圖所含回路的主要類型有兩種：單獨的回路和互不接觸回路。 梅遜公式的推導梅遜公式的推導.73圖中所示信號流圖共含有五個單獨回路和三對互不接觸回路（回路和、和、和） 1bdelk1gfhmRCV1V2V3gklhkedlmLii所有單獨回路增益之和為 兩兩互不接觸回路增益乘積之和為 dlhmhmkeLLkjkj,而值恰好為 mkedlhm

43、hgklhkedlmLLLkjkjii)(11,可見，傳遞函數(shù)的分母取決于信號流圖的拓撲結構特征。 梅遜公式的推導梅遜公式的推導.74 如果把中與第k條前向通道有關的回路去掉后，剩下的部分叫做第k條前向通道的余子式，并記為k。由圖可得，從輸入到輸出的前向通道和其增益以及響應的余子式如下表所示 前向通道前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=1mldR V1 V2 CP3=bg3=1梅遜公式的推導梅遜公式的推導1bdelk1gfhmRCV1V2V3mkedlhmhgklhkedlmLLLkjkjii)(11,.75故用信號流圖拓撲結構的術語，系統(tǒng)的傳遞函

44、數(shù)可表示為 kkkPsRsCs)()()(梅遜公式的推導梅遜公式的推導傳遞函數(shù)的分子等于系數(shù)行列式除以R(s)。而 恰好為 R2bgdlmfbdePPPPRkkk)1 (3322112前向通道前向通道增益余子式RV1 V3 V2 CP1=bde1=1R V2 CP2=f2=1mldR V1 V2 CP3=bg3=1.76梅遜公式梅遜公式 用梅遜公式可不必簡化信號流圖而直接求得從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點之間的總傳輸。（即總傳遞函數(shù)）其表達式為：nkkkPP11式中： 總傳輸（即總傳遞函數(shù)）； 從輸入節(jié)點到輸出節(jié)點的前向通道總數(shù)； 第k個前向通道的總傳輸； 流圖特征式；其計算公式為：PnkP二、二、梅遜

45、公式梅遜公式.77.1fedcbaLLLLLL（正負號間隔）式中： 流圖中所有不同回路的回路傳輸之和； 所有互不接觸回路中，每次取其中兩個回 路傳輸乘積之和； aLcbLL 所有互不接觸回路中，每次取其中三個回路傳輸乘積之和；fedLLL第k個前向通道的特征式的余子式；其值為 中除去與第k個前向通道接觸的回路后的剩余部分；k梅遜公式梅遜公式.78梅遜公式梅遜公式|例例2-13a解：前向通道有一條； 有一個回路； ugGGGGPu3211,fuaGGGGGL3211,111321fuaGGGGGLfuukkkgGGGGGGGGGPsusP3213211111)()()()(susg例2-13a求速度控制系統(tǒng)的總傳輸 。（不計擾動）gueu1u2uaucM11G2G3GuGmG1fG.79梅遜公式梅遜公式|例例4解：先在結構圖上標出節(jié)點，再根據(jù)邏輯關系畫出信號流圖如下：例4：繪出兩級串聯(lián)RC電路的信號流圖并用Mason公式計算總傳遞函數(shù)。11RsC21-)(sI)(2sI)(1sI)(su)(sui)(suo)(suesC1121R1111iueuu2IouI1I11ab11R21RsC11sC21.80圖中，有一個前向通道；2221111sCRCRP 有三個回路；sCRsC