數(shù)學論文從平面向量的引入淺鑒高中數(shù)學新教材改革之一隅

1、數(shù)學論文:從平面向量的引入淺鑒高中數(shù)學新教材改革之一隅    文章摘要：從平面向量的引入淺鑒高中數(shù)學新教材改革之一隅 - - - - - - - - - 小議高中數(shù)學新教材改革之終極目標 隨著人類新型知識體系的構建和形成，新的教育理念正在向傳統(tǒng)的教育模式發(fā)起挑戰(zhàn)，促使其必須進行重大革命，以適應高度發(fā)展起來的現(xiàn)任新型知識體系。直到19                   

2、0;     從平面向量的引入淺鑒高中數(shù)學新教材改革之一隅 - - - - - - - - - 小議高中數(shù)學新教材改革之終極目標 隨著人類新型知識體系的構建和形成，新的教育理念正在向傳統(tǒng)的教育模式發(fā)起挑戰(zhàn)，促使其必須進行重大革命，以適應高度發(fā)展起來的現(xiàn)任新型知識體系。直到19世紀末20世紀初才發(fā)展起來的“向量數(shù)學”，以其在物理學、空間物質(zhì)結構中的廣泛應用，而備受人們所觀注，進而很快形成了一套具有優(yōu)良運算通法的數(shù)學體系，現(xiàn)已被納入中學數(shù)學基礎教程中，成為數(shù)學新教材改革的一大閃光點。 一、 人類新知識體系，使得21世紀的基礎教育課程結構更加現(xiàn)代化。

3、 按照英國技術預測專家詹姆斯馬丁的預測，人類的科學知識在10世紀是每50年增加1倍，在20世紀中期是每10年增加1倍，而當前是每35年增加1倍。他的預測的精確程度還有待考究，但據(jù)聯(lián)合國教科文組織的統(tǒng)計，截止1980年，當代人類知識體系中，人類有史以來100多萬年積累的知識占10%，而近30年積累的占90%，而90年代后，人類知識積累速度更加迅速。顯然人類新知識體系顯現(xiàn)出了前所未有的高度膨脹的短周期效應， 這就使人類基礎教育課程結構改革必須跟上時代發(fā)展的步伐。 現(xiàn)代電子辦公一體化的形成，復印機、傳真機、可視電話、移動通信、國際互聯(lián)網(wǎng)（Internet）以及全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)可謂是真正進入了人們的日

4、常生活。比如，網(wǎng)絡時代的產(chǎn)物：E-mail的接發(fā)、信息查詢（Archie）、登錄環(huán)球各信息網(wǎng)站（www）等等，這些都標志著的高度信息化社會的到來，大量有用的和無用的信息越來越多，傳播越來越便捷，人們獲取和傳播信息的方式和能力顯然與過去有了天地之別，這對現(xiàn)代中學基礎教課程教材提供了眾多新的課題。 由于剛過去的20世紀，我國教育從中小學到大學基本了停留在18、19世紀的舊知識體系上，不少陳舊知識占去了學生相當多的學習時間，學習知識老化與迅速發(fā)展的科學技術極不相稱。更加讓學子們不能接受的事實是，現(xiàn)在所學的內(nèi)容在今后56年畢業(yè)后，已經(jīng)陳舊甚至被淘汰。怎樣解決這一系列矛盾呢？現(xiàn)代化的電子媒介技術為基礎教

5、育課程改革提供了的新的廣闊前景，這也許就是人們通常所認為的“教學相長”吧，教育推動了科學技術的進步，同樣進步了的科學技術反過來又會推動教育向更高層面上發(fā)展。 在現(xiàn)代教育技術支持下，教師一改過去“單一的傳授教材知識”轉(zhuǎn)變?yōu)椤拜o以現(xiàn)代媒體技術的現(xiàn)代教材體系”。 目前，新的課程數(shù)學教學要求中，明確增加通過“研究性課題”使學生學會提出問題，明確探究方向，體驗數(shù)學活動的過程，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和應用能力。 二、 平面向量的引入，充分體現(xiàn)了高新教材改革的深度和廣度。 受新知識體系的影響，作為最近一個世紀才興起的“向量數(shù)學”這套數(shù)學體系，以其優(yōu)良的運算通性，將數(shù)學中的“數(shù)量”運算與物理中的“矢量”運算有機地結合起

6、來，充分數(shù)學作為一門基礎性學科的重要地位。 向量作為一種新的量，它不同于數(shù)量，數(shù)量的代數(shù)運算在向量范圍不一定能施行，因此在實際教學中，應明確數(shù)量和向量的區(qū)別，并重新規(guī)定了向量的加法、減法、實數(shù)和向量的積、向量的數(shù)性積和矢性積等運算法則。并在引入二維坐標系后，將向量與坐標緊緊聯(lián)系起來，增加了向量的滲透性和實用性，更體現(xiàn)了向量運算的價值，下面簡單附幾例以亨讀者。 例1 設ABC是銳角三角形，在ABC外分別作等腰RtBCD、ABE、CAF，在這三個三角形中，BDC、BAE、CFA是直角，又在四邊形BCFE外作等腰RtEFG，EFG是直角，求證：（1）GA= AD （2）GAD=1350 （1994年

7、上海市試題） 【簡析】：以點A為原點建立直角坐標系（復平面），記G相應的復數(shù)為ZG，D相應復數(shù)為ZD，如圖， ZG=AG=AF+FG =AF+EF =AF+（EA+AF） =AF（1+ ）+BA （-1+ ）ZD=（-1+ ）AD =DA+AD =DB+BA+（AC+CD） =BA+DB+BD+AC =BA+（AF+FC） =BA+AF（1+ ） ZG=（-1+ ）ZD 即 GA= AD ，GAD=1350 。 【評析】：此題將向量與復數(shù)二維坐標系完美地結合起來，化繁為簡，創(chuàng)造性使用向量完成了證明，值得同學們借鑒。本題也可用傳統(tǒng)平幾證明方法證明，這里不再贅述。 例2 如圖，已知位于同一平面內(nèi)的

8、正三角形ABC，CDE和EHK（頂點依逆時針方向排列），并且AD=DK。證明：BHD也是正三角形。 （1981年蘇聯(lián)試題） 【簡析】：將CAD繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)600，易知其得到CBE， AD=BE 且AD、BE夾角為600 又AD=DK DK=AD=BE 且DK、BE的夾 角也是600 再將HBE繞H順針旋轉(zhuǎn)600，又因為 EHK是正三角形，所以點E轉(zhuǎn)到K，線段EB 與KD重合，即B轉(zhuǎn)到D 于是HB=HD，HB、HD夾角為600 BHD是正三角形。 【評析】：此題巧妙利用了向量與向量的夾角證明了正三角形的結論。實際題中條件“”等價于“在一直線上，”這個條件，讀者可以利用初等平幾知識進行證明，但

9、均不如向量證法簡潔明了。 例3 在半徑為15cm的均勻鐵板上，挖去一個圓洞，已知圓洞的圓心和鐵板的中心相距8cm，圓洞的半徑是5cm，求挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心。 【簡析】：如圖，以鐵板中心O1為原點建立直角坐標系，設挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心為 O（x,0）及圓洞中心O2 如果在O（x,0）處給一個支持點，根據(jù)重心原理，剩下的鐵板應該處于力的平衡狀態(tài)，即其余各力的力矩和應為0 ，則 F1O O1-F2O O2=0 -(*) 這里，F(xiàn)1=×152 F2=×52 O O1= x O O2= 8+x 代入(*)得，x = -1 挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心為O（-1,0） 【評析】：這實質(zhì)上是一道物理題的“變題”，利用“物體在平衡時，力矩和為0”來解題，這里力矩就一個向量，正體現(xiàn)了數(shù)學作為一門“工具性學科”的基礎用途。 高中新教材在引入向量以后，使得平面幾何和空間幾何中許多定理、公式及一些相關問題變得直觀、淺顯、易理解。教材還通過布置一定量的“實習作