數(shù)學(xué)論文從平面向量的引入淺鑒高中數(shù)學(xué)新教材改革之一隅

1、數(shù)學(xué)論文:從平面向量的引入淺鑒高中數(shù)學(xué)新教材改革之一隅    文章摘要：從平面向量的引入淺鑒高中數(shù)學(xué)新教材改革之一隅 - - - - - - - - - 小議高中數(shù)學(xué)新教材改革之終極目標(biāo) 隨著人類新型知識(shí)體系的構(gòu)建和形成，新的教育理念正在向傳統(tǒng)的教育模式發(fā)起挑戰(zhàn)，促使其必須進(jìn)行重大革命，以適應(yīng)高度發(fā)展起來(lái)的現(xiàn)任新型知識(shí)體系。直到19                   

2、0;     從平面向量的引入淺鑒高中數(shù)學(xué)新教材改革之一隅 - - - - - - - - - 小議高中數(shù)學(xué)新教材改革之終極目標(biāo) 隨著人類新型知識(shí)體系的構(gòu)建和形成，新的教育理念正在向傳統(tǒng)的教育模式發(fā)起挑戰(zhàn)，促使其必須進(jìn)行重大革命，以適應(yīng)高度發(fā)展起來(lái)的現(xiàn)任新型知識(shí)體系。直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初才發(fā)展起來(lái)的“向量數(shù)學(xué)”，以其在物理學(xué)、空間物質(zhì)結(jié)構(gòu)中的廣泛應(yīng)用，而備受人們所觀注，進(jìn)而很快形成了一套具有優(yōu)良運(yùn)算通法的數(shù)學(xué)體系，現(xiàn)已被納入中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教程中，成為數(shù)學(xué)新教材改革的一大閃光點(diǎn)。 一、 人類新知識(shí)體系，使得21世紀(jì)的基礎(chǔ)教育課程結(jié)構(gòu)更加現(xiàn)代化。

3、 按照英國(guó)技術(shù)預(yù)測(cè)專家詹姆斯馬丁的預(yù)測(cè)，人類的科學(xué)知識(shí)在10世紀(jì)是每50年增加1倍，在20世紀(jì)中期是每10年增加1倍，而當(dāng)前是每35年增加1倍。他的預(yù)測(cè)的精確程度還有待考究，但據(jù)聯(lián)合國(guó)教科文組織的統(tǒng)計(jì)，截止1980年，當(dāng)代人類知識(shí)體系中，人類有史以來(lái)100多萬(wàn)年積累的知識(shí)占10%，而近30年積累的占90%，而90年代后，人類知識(shí)積累速度更加迅速。顯然人類新知識(shí)體系顯現(xiàn)出了前所未有的高度膨脹的短周期效應(yīng)， 這就使人類基礎(chǔ)教育課程結(jié)構(gòu)改革必須跟上時(shí)代發(fā)展的步伐。 現(xiàn)代電子辦公一體化的形成，復(fù)印機(jī)、傳真機(jī)、可視電話、移動(dòng)通信、國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)（Internet）以及全球衛(wèi)星定位系統(tǒng)可謂是真正進(jìn)入了人們的日

4、常生活。比如，網(wǎng)絡(luò)時(shí)代的產(chǎn)物：E-mail的接發(fā)、信息查詢（Archie）、登錄環(huán)球各信息網(wǎng)站（www）等等，這些都標(biāo)志著的高度信息化社會(huì)的到來(lái)，大量有用的和無(wú)用的信息越來(lái)越多，傳播越來(lái)越便捷，人們獲取和傳播信息的方式和能力顯然與過(guò)去有了天地之別，這對(duì)現(xiàn)代中學(xué)基礎(chǔ)教課程教材提供了眾多新的課題。 由于剛過(guò)去的20世紀(jì)，我國(guó)教育從中小學(xué)到大學(xué)基本了停留在18、19世紀(jì)的舊知識(shí)體系上，不少陳舊知識(shí)占去了學(xué)生相當(dāng)多的學(xué)習(xí)時(shí)間，學(xué)習(xí)知識(shí)老化與迅速發(fā)展的科學(xué)技術(shù)極不相稱。更加讓學(xué)子們不能接受的事實(shí)是，現(xiàn)在所學(xué)的內(nèi)容在今后56年畢業(yè)后，已經(jīng)陳舊甚至被淘汰。怎樣解決這一系列矛盾呢？現(xiàn)代化的電子媒介技術(shù)為基礎(chǔ)教

5、育課程改革提供了的新的廣闊前景，這也許就是人們通常所認(rèn)為的“教學(xué)相長(zhǎng)”吧，教育推動(dòng)了科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，同樣進(jìn)步了的科學(xué)技術(shù)反過(guò)來(lái)又會(huì)推動(dòng)教育向更高層面上發(fā)展。 在現(xiàn)代教育技術(shù)支持下，教師一改過(guò)去“單一的傳授教材知識(shí)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤拜o以現(xiàn)代媒體技術(shù)的現(xiàn)代教材體系”。 目前，新的課程數(shù)學(xué)教學(xué)要求中，明確增加通過(guò)“研究性課題”使學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題，明確探究方向，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力。 二、 平面向量的引入，充分體現(xiàn)了高新教材改革的深度和廣度。 受新知識(shí)體系的影響，作為最近一個(gè)世紀(jì)才興起的“向量數(shù)學(xué)”這套數(shù)學(xué)體系，以其優(yōu)良的運(yùn)算通性，將數(shù)學(xué)中的“數(shù)量”運(yùn)算與物理中的“矢量”運(yùn)算有機(jī)地結(jié)合起

6、來(lái)，充分?jǐn)?shù)學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)性學(xué)科的重要地位。 向量作為一種新的量，它不同于數(shù)量，數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍不一定能施行，因此在實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)明確數(shù)量和向量的區(qū)別，并重新規(guī)定了向量的加法、減法、實(shí)數(shù)和向量的積、向量的數(shù)性積和矢性積等運(yùn)算法則。并在引入二維坐標(biāo)系后，將向量與坐標(biāo)緊緊聯(lián)系起來(lái)，增加了向量的滲透性和實(shí)用性，更體現(xiàn)了向量運(yùn)算的價(jià)值，下面簡(jiǎn)單附幾例以亨讀者。 例1 設(shè)ABC是銳角三角形，在ABC外分別作等腰RtBCD、ABE、CAF，在這三個(gè)三角形中，BDC、BAE、CFA是直角，又在四邊形BCFE外作等腰RtEFG，EFG是直角，求證：（1）GA= AD （2）GAD=1350 （1994年

7、上海市試題） 【簡(jiǎn)析】：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系（復(fù)平面），記G相應(yīng)的復(fù)數(shù)為ZG，D相應(yīng)復(fù)數(shù)為ZD，如圖， ZG=AG=AF+FG =AF+EF =AF+（EA+AF） =AF（1+ ）+BA （-1+ ）ZD=（-1+ ）AD =DA+AD =DB+BA+（AC+CD） =BA+DB+BD+AC =BA+（AF+FC） =BA+AF（1+ ） ZG=（-1+ ）ZD 即 GA= AD ，GAD=1350 。 【評(píng)析】：此題將向量與復(fù)數(shù)二維坐標(biāo)系完美地結(jié)合起來(lái)，化繁為簡(jiǎn)，創(chuàng)造性使用向量完成了證明，值得同學(xué)們借鑒。本題也可用傳統(tǒng)平幾證明方法證明，這里不再贅述。 例2 如圖，已知位于同一平面內(nèi)的

8、正三角形ABC，CDE和EHK（頂點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，并且AD=DK。證明：BHD也是正三角形。 （1981年蘇聯(lián)試題） 【簡(jiǎn)析】：將CAD繞C點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600，易知其得到CBE， AD=BE 且AD、BE夾角為600 又AD=DK DK=AD=BE 且DK、BE的夾 角也是600 再將HBE繞H順針旋轉(zhuǎn)600，又因?yàn)?EHK是正三角形，所以點(diǎn)E轉(zhuǎn)到K，線段EB 與KD重合，即B轉(zhuǎn)到D 于是HB=HD，HB、HD夾角為600 BHD是正三角形。 【評(píng)析】：此題巧妙利用了向量與向量的夾角證明了正三角形的結(jié)論。實(shí)際題中條件“”等價(jià)于“在一直線上，”這個(gè)條件，讀者可以利用初等平幾知識(shí)進(jìn)行證明，但

9、均不如向量證法簡(jiǎn)潔明了。 例3 在半徑為15cm的均勻鐵板上，挖去一個(gè)圓洞，已知圓洞的圓心和鐵板的中心相距8cm，圓洞的半徑是5cm，求挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心。 【簡(jiǎn)析】：如圖，以鐵板中心O1為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心為 O（x,0）及圓洞中心O2 如果在O（x,0）處給一個(gè)支持點(diǎn)，根據(jù)重心原理，剩下的鐵板應(yīng)該處于力的平衡狀態(tài)，即其余各力的力矩和應(yīng)為0 ，則 F1O O1-F2O O2=0 -(*) 這里，F(xiàn)1=×152 F2=×52 O O1= x O O2= 8+x 代入(*)得，x = -1 挖去圓洞后所剩下的鐵板的重心為O（-1,0） 【評(píng)析】：這實(shí)質(zhì)上是一道物理題的“變題”，利用“物體在平衡時(shí)，力矩和為0”來(lái)解題，這里力矩就一個(gè)向量，正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)作為一門(mén)“工具性學(xué)科”的基礎(chǔ)用途。 高中新教材在引入向量以后，使得平面幾何和空間幾何中許多定理、公式及一些相關(guān)問(wèn)題變得直觀、淺顯、易理解。教材還通過(guò)布置一定量的“實(shí)習(xí)作