小學(xué)奧數(shù)：同余問(wèn)題.專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)及答案解析

1、5-5-3.同余問(wèn)題gim 教學(xué)目標(biāo)1 .學(xué)習(xí)同余的性質(zhì)2 .利用整除性質(zhì)判別余數(shù)知識(shí)點(diǎn)撥同余定理1、定義：若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱(chēng) a、b對(duì)于模m同余，用式 子表示為：a三b ( modm),左邊的式子叫做同余式。同余式讀作： a同余于b,模m 2、重要性質(zhì)及推論：(1)若兩個(gè)數(shù)a, b除以同一個(gè)數(shù) m得到的余數(shù)相同，則 a, b的差一定能被 m整除 例如：17與11除以3的余數(shù)都是2,所以(17 1。能被3整除.(2)用式子表示為：如果有 a三b ( modm),那么一定有ab=mkk是整數(shù)，即m|( a b)3、余數(shù)判別法當(dāng)一個(gè)數(shù)不能被另一個(gè)數(shù)整除時(shí)，雖然可以用長(zhǎng)

2、除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時(shí)，計(jì)算是很麻煩的.建立余數(shù)判別法的基本思想是：為了求出“ N被m除的余數(shù)”，我們希望 找到一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù) R使彳導(dǎo):N與R對(duì)于除數(shù)m同余.由于R是一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)，所以可 以通過(guò)計(jì)算 R被m除的余數(shù)來(lái)求得 N被m除的余數(shù). 整數(shù)N被2或5除的余數(shù)等于 N的個(gè)位數(shù)被2或5除的余數(shù)； 整數(shù)N被4或25除的余數(shù)等于 N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù)； 整數(shù)N被8或125除的余數(shù)等于 N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)；(4)整數(shù)N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)； 整數(shù)N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；(不夠減的話先適

3、當(dāng)加11的倍數(shù)再減)；(6)整數(shù)N被7, 11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù) N從個(gè)位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被7,11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被 7,11或13除的余例題精講模塊一、兩個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【例1】 有一個(gè)整數(shù)，除 39,51,147所得的余數(shù)都是 3,求這個(gè)數(shù)【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】1星【題型】解答【解析】(法 1) 39 3 36,51-3=48,147 3 144,(36,144) 12,12 的約數(shù)是 1,2,3,4,6,12 , 因?yàn)橛鄶?shù)為3要小于除數(shù)，這個(gè)數(shù)是 4,6,12 ;(法2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的

4、任意兩數(shù)的差，也就是說(shuō)它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).51 39 12,147 39 108,(12,108) 12 ,所以這個(gè)數(shù)是4,6,12 . 【答案】4,6,12【例2】 某個(gè)兩位數(shù)加上 3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,這 個(gè)兩位數(shù)是.【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】人大附中，分班考試【解析】“加上3后被3除余1”其實(shí)原數(shù)還是余1,同理這個(gè)兩位數(shù)除以 4、5都余1,這 樣，這個(gè)數(shù)就是3、4、5+1=60+1=61?！敬鸢浮?1【例3】 有一個(gè)自然數(shù)，除345和543所得的余數(shù)相同， 且商相差33.求這個(gè)數(shù)是多少？【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】

5、3星【題型】解答【解析】 由于這個(gè)數(shù)除345和543的余數(shù)相同，那么它可能整除 543-345 ,并且得到的商為33.所以所求的數(shù)為(543 345) 33 6 .【答案】6【例4】一個(gè)大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是多少？【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】 這個(gè)自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除90 164 254后所得的余數(shù)，所以254和220除以這個(gè)自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個(gè)自然數(shù)是254 220 34的約數(shù)，又大于10,這個(gè)自然數(shù)只能是 17或者是34.如果這個(gè)

6、數(shù)是34,那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是 22、28、16,不符合題目 條件；如果這個(gè)數(shù)是 17,那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是 5、11、16,符合 題目條件，所以這個(gè)自然數(shù)是 17.【答案】17【例5 兩位自然數(shù)ab與ba除以7都余1,并且a b ,求ab ba .【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】ab ba能被7整除，即(10a b) (10b a) 9 (a b)能被7整除.所以只能有 a b_7 ,那么Ob可能為92和81 ,驗(yàn)算可得當(dāng)ab 92時(shí)，0 29滿足題目要求， ab ba 92 29 2668【答案】2668【例6

7、】 現(xiàn)有糖果254粒，餅干210塊和桔子186個(gè).某幼兒園大班人數(shù)超過(guò) 40.每人分得 一樣多的糖果，一樣多的餅干，也分得一樣多的桔子。余下的糖果、餅干和桔子的 數(shù)量的比是：1: 3: 2,這個(gè)大班有 名小朋友，每人分得糖果 粒，餅 干 塊，桔子 個(gè)?！究键c(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】南京市，興趣杯【解析】 設(shè)大班共有a名小朋友。由于余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量之比是 1:3:2 ,所以 余下的糖果、桔子數(shù)目的和正好等于余下的餅干數(shù)，從而 254+186-210 一定是a 的倍數(shù)，即 254+186-210=230=1 X 230=10X 23=2X 5X 23 是 a

8、 的倍數(shù)。同樣，2X 254-186=322=23 X 14=23X 14=23X2X 7 也一定是 a 的倍數(shù)。所以，a 只能是 23X2 的因數(shù)。但 a>40,所以 a=46。此時(shí) 254=46X 5+24, 210=46X 3+72, 186=46X3+48。 故大班有小朋友46名，每人分得糖果5粒，餅干3塊，桔子3個(gè)。【答案】小朋友46名，每人分得糖果 5粒，餅干3塊，桔子3個(gè)模塊二、三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【例7】 有一個(gè)大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù) .【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】 這個(gè)題沒(méi)有告訴我們，這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分

9、別是多少，但是由于所得的余數(shù)相同，根據(jù)同余定理，我們可以得到：這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù) 的差，也就是說(shuō)它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).101 45 56,59 45 14,(56,14) 14 ,14的約數(shù)有1,2,7,14 ,所以這個(gè)數(shù)可能為 2,7,14?！敬鸢浮?,7,14【鞏固】有一個(gè)整數(shù)，除300、262、205得到相同的余數(shù)。問(wèn)這個(gè)整數(shù)是幾？【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第9題【解析】 這個(gè)數(shù)除300、262,得到相同的余數(shù)，所以這個(gè)數(shù)整除300-262 = 38,同理，這個(gè)數(shù)整除262205=57,因此，它是38、57的公約數(shù)19?！?/p>

10、答案】19【鞏固】在除13511, 13903及14589時(shí)能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是 .【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】 因?yàn)?13903 13511 392, 14589 13903 686,由于 13511, 13903, 14589 要被 同一個(gè)數(shù)除時(shí)，余數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個(gè)數(shù)整 除.(392,686) 98,所以所求的最大整數(shù)是 98.【答案】98【鞏固】140, 225, 293被某大于1的自然數(shù)除，所得余數(shù)都相同。2002除以這個(gè)自然數(shù)的 余數(shù)是 .【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】三帆中

11、學(xué)，入學(xué)測(cè)試【解析】 這樣我們用總結(jié)的知識(shí)點(diǎn)可知：任意兩數(shù)的差肯定余0。那么這個(gè)自然數(shù)是293-225=68的約數(shù)，又是225-140=85的約數(shù)，因此就是 68、85的公約數(shù)，所以這 個(gè)自然數(shù)是17。所以2002除以17余13?！敬鸢浮?3【鞏固】三個(gè)數(shù)：23, 51, 72,各除以大于 1的同一個(gè)自然數(shù)，得到同一個(gè)余數(shù)，則這個(gè) 除數(shù)是?！究键c(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第 4題，6分【解析】51 23 28, 72 51 21, （28, 21） =7,所以這個(gè)除數(shù)是 7。【答案】7【例8】 學(xué)校新買(mǎi)來(lái)118個(gè)乒乓球，67個(gè)乒乓千拍和33個(gè)乒乓

12、球網(wǎng)，如果將這三種物品 平分給每個(gè)班級(jí)，那么這三種物品剩下的數(shù)量相同.請(qǐng)問(wèn)學(xué)校共有多少個(gè)班？【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】3星【題型】解答【解析】 所求班級(jí)數(shù)是除以118,67,33余數(shù)相同的數(shù).那么可知該數(shù)應(yīng)該為118 67 51和67 33 34 的公約數(shù)，所求答案為 17.【答案】17【例9】 若2836, 4582, 5164, 6522四個(gè)自然數(shù)都被同一個(gè)自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同 且為兩位數(shù)，除數(shù)和余數(shù)的和為 .【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】 設(shè)除數(shù)為A.因?yàn)?836, 4582, 5164, 6522除以A的余數(shù)相同，所以他們兩

13、兩之 差必能被A整除.又因?yàn)橛鄶?shù)是兩位數(shù)，所以A至少是兩位數(shù).4582-2836=1746 ,5164 4582 582, 6522 5164 1358,因?yàn)椋?82,1358） 194,所以 A是 194 的大 于10的約數(shù).194的大于10的約數(shù)只有97和194 .如果A 194 , 2386 194 14L 120,余數(shù)不是兩位數(shù)，與題意不符.如果 A 97,經(jīng)檢驗(yàn)，余 數(shù)都是23,除數(shù) 余數(shù) 97 23 120.【答案】120【例10】一個(gè)大于1的數(shù)去除290, 235, 200時(shí)，得余數(shù)分別為 a, a 2, a 5,則這 個(gè)自然數(shù)是多少？【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】4星【題型】

14、解答【解析】 根據(jù)題意可知，這個(gè)自然數(shù)去除290, 233, 195時(shí)，得到相同的余數(shù)（都為 a）.既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個(gè)數(shù)肯定余0.那么這個(gè)自然數(shù)是290 233 57的約數(shù)，又是233 195 38的約數(shù)，因此就是 57和38的公約 數(shù)，因?yàn)?7和38的公約數(shù)只有19和1,而這個(gè)數(shù)大于1,所以這個(gè)自然數(shù)是 19.【答案】19【鞏固】有3個(gè)吉利數(shù)888, 518, 666,用它們分別除以同一個(gè)自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為 a, a+7, a+10,則這個(gè)自然數(shù)是 .【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測(cè)試【解析】 處理

15、成余數(shù)相同的，則 888、518-7、666-10的余數(shù)相同，這樣我們可以轉(zhuǎn)化成同余問(wèn)題。這樣我們用總結(jié)的知識(shí)點(diǎn)可知：任意兩數(shù)的差肯定余0。那么這個(gè)自然數(shù)是888-656=232的約數(shù)，也是656-511=145的約數(shù)，因此就是 232、145的公約數(shù)， 所以這個(gè)自然數(shù)是29。【答案】29【例11】一個(gè)自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是 a 5、2a、a,求這個(gè)自然數(shù) 和a的值.【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】 將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為2a的數(shù)： 429 5 2 848 , 791、500 2 1000,這樣這些數(shù)被這個(gè)自然數(shù)除所得的余數(shù)都是2a,

16、故同余.將這三個(gè)數(shù)相減，得到 848 791 57、1000 848 152 ,所求的自然數(shù)一定是57和152的公約數(shù)，而57,15219,所以這個(gè)自然數(shù)是19的約數(shù)，顯然1是不符合條件的，那么只能是19.經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，當(dāng)這個(gè)自然數(shù)是 19時(shí)，除429、791、500所得的余數(shù)分別為11、12、6, a 6時(shí)成立，所以這個(gè)自然數(shù)是19, a 6.【答案】6【例12】甲、乙、丙三數(shù)分別為 603, 939, 393.某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是 A除乙數(shù)所得 余數(shù)的2倍，A除乙數(shù)所得余數(shù)是 A除丙數(shù)所得余數(shù)的 2倍.求A等于多少？【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】4星【題型】解答【解析】 根據(jù)題意，這三個(gè)數(shù)

17、除以 A都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來(lái)：603 A K1LL n,939 A K2 L L 收，393 A K3L L3 由于 r 2r2 ,2 2r3 , 要消去余數(shù)R, 2, 3,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減.這樣我們 先把第二個(gè)式子乘以 2,使得被除數(shù)和余數(shù)都擴(kuò)大 2倍，同理，第三個(gè)式子乘以4.于 是我們可以得到下面的式子：603 A K1L Lr1 939 2 A 2K2LL 2r2393 4 A 2K3L L 4r3這樣余數(shù)就處理成相同的.最后兩兩相減消去余數(shù)，意 味著能被 A 整除. 939 2 603 1275 ,393 4 603 969 ,1275

18、,96951 3 17. 51的約數(shù)有1、3、17、51,其中1、3顯然不滿足，檢驗(yàn)17和51可知17滿足，所以A等于17.【答案】17【例13】已知60, 154, 200被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是a 1, a2, a3 1,求該自然數(shù)的值.【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】5星【題型】解答【解析】 根據(jù)題意可知，自然數(shù) 61, 154, 201被該數(shù)除所得余數(shù)分別是 a, a2, a3.由于a2 a a,所以自然數(shù) 612 3721與154同余；由于a3 a a2 ,所以61 154 9394與 201同余，所以除數(shù)是3721 154 3567和9394 201 9193的公約數(shù)，運(yùn)用輾轉(zhuǎn)

19、相除法可得 到（3567,9193） 29 ,該除數(shù)為29 .經(jīng)檢驗(yàn)成立.【答案】29【例14】有一個(gè)自然數(shù)，它除以15、17、19所得到的商（1）與余數(shù)（ 0）之和都相等, 這樣的數(shù)最小可能是多少.【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】5星【題型】解答A15aXa(Xa)A17bX b(Xb)A19cXc(XCcA 15a (XA 17b (XA 19c (Xa) 14a Xb) 16b Xc) 18c X14a 16b 18c72|a14a 16b 18c63| b14a 16b 18c56|c最小為1081 .【答案】1081a至少為72, A 15aXa 15 72 Xa aab 至少為 6

20、3, A 17b Xbc至少為 56, A 19c Xc1080 Xa17 63 Xb 1071 Xb19 56 Xc 1064 Xc cc5-5-3.同余問(wèn)題.題庫(kù)教師版page 7 of 72001,它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的【例15】三個(gè)不同的自然數(shù)的和為 余數(shù)也相同，這三個(gè)數(shù)是【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問(wèn)題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯【解析】設(shè)所得的商為a,除數(shù)為b. (19a b) (23a b) (31a b) 2001,73a 3b 2001, 由b 19,可求得a 27, b 10 .所以，這三個(gè)數(shù)分別是19a b 523, 23a b 631,

21、31a b 847?！敬鸢浮?23, 631, 847模塊三、運(yùn)用同余進(jìn)行論證【例16】在3X3的方格表中已如右圖填入了9個(gè)質(zhì)數(shù)。將表中同一行或同一列的3個(gè)數(shù)加上相同的自然數(shù)稱(chēng)為一次操作。問(wèn)：你能通過(guò)若干次操作使得表中9個(gè)數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎？為什么？【考點(diǎn)】運(yùn)用同余進(jìn)行論證【難度】3星【題型】解答【解析】略【答案】因?yàn)楸碇?9個(gè)質(zhì)數(shù)之和恰為100,被3除余1,經(jīng)過(guò)每一次操作，總和增加 3的倍 數(shù)，所以表中9個(gè)數(shù)之和除以3總是余1。如果表中9個(gè)數(shù)變?yōu)橄嗟?，那?9個(gè)數(shù) 的總和應(yīng)能被3整除，這就得出矛盾！所以，無(wú)論經(jīng)過(guò)多少次操作，表中的數(shù)都不 會(huì)變?yōu)?個(gè)相同的數(shù)?！纠?7】一個(gè)三位數(shù)除以17和19

22、都有余數(shù)，并且除以 17后所得的商與余數(shù)的和等于它 除以19后所得到的商與余數(shù)的和.那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù) 是多少？【考點(diǎn)】運(yùn)用同余進(jìn)行論證【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)?！窘馕觥?設(shè)這個(gè)三位數(shù)為s,它除以17和19的商分別為a和b,余數(shù)分別為 m和n,則 s 17a m 19b n .根據(jù)題意可知 a m b n ,所以s a m s b n ,即16a 18b,得8a 9b.所以a81是9的倍數(shù)，b是8的倍數(shù).此時(shí)，由 a m b n知n m a b a -a -a.由于s為 99三位數(shù)，最小為100,最大為999,所以100 17a m 999,而1 m 16,

23、所以 17a 1 17a m 999, 100 17a m 17a 16,得至U 5 a 58,而 a是 9 的倍數(shù)，所以 a1一最小為9,最大為54.當(dāng)a 54時(shí)，n m -a 6,而n 18,所以m 12,故此時(shí)s最大 91為17 54 12 930 ;當(dāng)a 9時(shí)，n m -a 1 ,由于m 1 ,所以此時(shí)s最小為 917 9 1 154.所以這樣的三位數(shù)中最大的是930,最小的是154.【答案】最大的是 930,最小的是154【例18】從1, 2, 3,n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為 13,則 n的最大值為多少？【考點(diǎn)】運(yùn)用同余進(jìn)行論證【難度】4星【題型】解答【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)