高中圓錐曲線橢圓雙曲線拋物線規(guī)律技巧總結(jié)

1、八、圓錐曲線1 .圓錐曲線的兩個(gè)定義：（1）笫二定義小要更選:括號(hào)，區(qū)的限制條件：橢圓中，與兩個(gè)定點(diǎn)Fi, F2的距離的和等于常數(shù)2a,且此常數(shù)2a一定要大于FF?,當(dāng)常數(shù)等于FF2時(shí)，軌跡是線段F1F2,當(dāng)常數(shù)小于|FiF2|時(shí)，無軌跡；雙曲線中，與兩定點(diǎn)Fi, F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a,且此常數(shù)2a一定要小于| F1F2I ,定義中的“絕對(duì)值”與2a<IF1F2I不可忽視。若2a =尸產(chǎn)2,則軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線，若2a>|F1F2| ,則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對(duì)值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點(diǎn)F1（ 3,0）,F2（3,0）,在滿足下

2、列條件的平面上動(dòng)點(diǎn) P的軌跡中是橢圓的是A. PF1 PF2 4 B. PF1 PF2 6 C. PF1PF2 10D. |PFj2|PF2|212 （答：C）;.（2）方程 J（x6）2y2*x 6）2y28表示的曲線是 （答：雙曲線的左支）（2）第二定義中要注意定點(diǎn)和定直線是相應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，且“點(diǎn)點(diǎn)距為分子、 點(diǎn)線距為分母”，具商即是離心率e。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點(diǎn) 到焦點(diǎn)距離與此點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線距離間的關(guān)系，要善于運(yùn)用第二定義對(duì)它們進(jìn)行相互轉(zhuǎn)2化。如已知點(diǎn)Q（2j2,0）及拋物線y L上一動(dòng)點(diǎn)P （x,y）,則y+|PQ|的最小值是 4（答:2）坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸時(shí)的2.圓錐

3、曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（標(biāo)準(zhǔn)方程是指中心（頂點(diǎn)）在原點(diǎn), 標(biāo)準(zhǔn)位置的方程）：X2（1）橢圓：焦點(diǎn)在X軸上時(shí)-2 a2 y b21 (a b 0) x ybcos (參數(shù)方程, sin2其中為參數(shù)），焦點(diǎn)在y軸上時(shí)鼻 a2 x b7=1 (a b 0)。方程Ax2 By2 C表示橢圓的充要條件是什么？ （ ABCW0,且A, B, C同號(hào)，AWB）。如（1）已知方程22一 1表示橢圓，則k的取值范圍為（答：（3, 1）U（1,2） ; （2）若3 k 2 k22x, y R ,且3x2 2y2 6 ,則x y的最大值是,x2 y2的最小值是（答而2)2222(2)雙曲線：焦點(diǎn)在x軸上：x2 與=1 ,焦

4、點(diǎn)在y軸上：與 之=1 a ba b(a 0,b 0)。方程Ax2 By2 C表示雙曲線的充要條件是什么？(ABCW0,且A,B異號(hào))。如(1)雙曲線的離心率等于5,且與橢圓K i1有公共焦點(diǎn)，則該雙曲2942線的方程(答：y2 1) ; (2)設(shè)中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)4軸上，離心率e V2的雙曲線C過點(diǎn)P(4,麗,則C的方程為(答：22x y 6)(3)拋物線：開口向右時(shí)y2 2px(p 0),開口向左時(shí)y22px(p 0),開口向2 2上時(shí) x 2 py( p 0),開口 向下時(shí) x 2py( p 0)。3 .圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷(首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷)：(1)橢

5、圓：由x 2, y 2分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。如已知方程221表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_(答：m 1 2 m (,1) (1,)2(2)雙曲線：由x 2, y 2項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的坐標(biāo)軸上；(3)拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號(hào)決定開口方向。特別提醒：(1)在求解橢圓、雙曲線問題時(shí)，首先要判斷焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn) Fi, F2 的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的類型，而方程 中的兩個(gè)參數(shù)a,b,確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時(shí)，首先要判斷開口方向；(2)在橢圓中，a最大，

6、a2 b2 c2,在雙曲線中，c最大，c2 a2 b2。4.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：22（1）橢圓（以與y2- 1 （a b 0）為例）：范圍：a x a, b y b； a b焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)（c,0）;對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸x 0,y 0, 一個(gè)對(duì)稱中心（0,0）,四個(gè)頂點(diǎn)（a,0）,（0, b）,其中長軸長為2a,短軸長為2b;準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線2xa-;離心率：e £,橢圓 0 e 1, e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越ca22,八。二扁。如（1）若橢圓上 L 1的離心率e 任，則m的值是 （答：3或一）；（2） 5 m53以橢圓上一點(diǎn)和橢圓兩焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積最大值為1時(shí)，則橢圓長

7、軸的最小值為_（答：2J2）X2 y2（2）雙曲線（以二 二 1 （ a 0,b 0）為例）：范圍：x a或x a, y R; a2 b2焦點(diǎn)：兩個(gè)焦點(diǎn)（c,0）;對(duì)稱性：兩條對(duì)稱軸x 0,y 0, 一個(gè)對(duì)稱中心（0,0）,兩個(gè)頂點(diǎn)（a,0）,其中實(shí)軸長為2a,虛軸長為2b,特別地，當(dāng)實(shí)軸和虛軸的長相等2時(shí)，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為 x2 y2 k,k 0;準(zhǔn)線：兩條準(zhǔn)線x ;c離心率：e c,雙曲線 e 1,等軸雙曲線e 拒，e越小，開口越小，e越a大，開口越大；兩條漸近線：y bx。如（1）雙曲線的漸近線方程是3x 2y 0, a則該雙曲線的離心率等于（答：逅或逅）;23（2）雙曲線a

8、x2 by2 1的離心_122率為百，則a:b= （答：4或1）； （3）設(shè)雙曲線三 y-r 1 （a>0,b>0）中,4a2 b2離心率eC V2,2,則兩條漸近線夾角8的取值范圍是（答：,）；3 2（3）拋物線（以y2 2 Px（p 0）為例）：范圍：x 0, y R;焦點(diǎn)：一個(gè)焦點(diǎn)（E,0）,其中p的幾何意義是：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；對(duì)稱性：一條對(duì)稱軸y 0,2沒有對(duì)稱中心，只有一個(gè)頂點(diǎn)（0,0）;準(zhǔn)線：一條準(zhǔn)線x 衛(wèi)；離心率：e 2拋物線 e 1。如設(shè)a 0,aR,則拋物線4ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0+);5、2點(diǎn)P(x0, y°)和橢圓二 a0)的關(guān)系：(1)點(diǎn)P(xo

9、,yo)在橢圓外2駕 1; (2)點(diǎn)P(x°,y°)在橢圓上 b2 x0 -2 a2包=1b2，(3)點(diǎn)P(xo,yo)在橢圓內(nèi)2四1 b2過雙曲線 J 匕 1的右焦點(diǎn)直線交雙曲線于 A、B兩點(diǎn)，若|AB| =4,則這樣的直 12線有條(答：3);(2)相切：0直線與橢圓相切；0直線與雙曲線相切；0直線與拋物線相切；(3)相離：0直線與橢圓相離；0直線與雙曲線相離；0直線與拋物線相離。特別提醒：(1)直線與雙曲線、拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的位置關(guān)系有兩種情形： 相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線相交，但只有一個(gè)交點(diǎn)； 如果直線與拋物線的軸平行時(shí)，直線與拋

10、物線相交，也只有一個(gè)交點(diǎn)；(2)過雙曲線221 4=1外一點(diǎn)P(x0, y。)的直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況如下： P點(diǎn)在兩a b條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點(diǎn)在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時(shí)，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條； P在兩條 漸近線上但非原點(diǎn)，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線； P6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(1)相交： 曲線相交不一定有 一個(gè)交點(diǎn)，故0 直線與橢圓相交;0直線與雙曲線相交，但直線與雙0,當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線

11、相交且只有0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件;0 直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有0,當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與拋物線相交且只有一個(gè)交點(diǎn)，故0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如(1)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y 2=6的右支有兩個(gè)不同的交15點(diǎn)，則k的取值范圍是(答：(-詈，-1)； (2)直線y kx1=0與橢圓22 1包有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是(答：1, 5) U (5, +oo) ) ； (3) 5 m為原點(diǎn)時(shí)不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點(diǎn)總有三條直線和拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)：兩條切線和一條平行于對(duì)稱軸的直線。如（1）

12、過點(diǎn)（2,4）作直線與拋物線 y2 8x只有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有 （答：2） ; （2）過點(diǎn)（0,2）與雙曲線22- 匕1有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的斜率的取值范圍為 （答：9 164, 述）;（3）過雙曲線x2工1的右焦點(diǎn)作直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn)， 332若AB 4,則滿足條件的直線l有條（答：3） ; （4）對(duì)于拋物線C: y2 4x ,我們稱滿足y02 4x0的點(diǎn)M（x0,y0）在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)M%?。┰趻佄锞€的內(nèi)部，則直線l: y°y 2（x x0）與拋物線C的位置關(guān)系是 （答：相離）；（5）過拋物 線y2 4x的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ

13、的長分別是p、22（答：1） : （6）設(shè)雙曲線二 1的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線169為l ,設(shè)某直線m交其左支、右支和右準(zhǔn)線分別于 P,Q,R,則 PFR和 QFR的大小關(guān)系為（*大于、小于或等于）（答：等于）；（7）求橢圓7x2 4y2 28上的點(diǎn)到直線3x 2y 16 0的最短距離（答:813、（8）直線y ax 1與雙曲線3x2 y2 1交于A、B兩點(diǎn)。當(dāng)a為何值時(shí)，A、B分別在雙曲線的兩支上？當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)？（答： 瓜如;a 1）;7、焦半徑（圓錐曲線上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離）的計(jì)算方法：利用圓錐曲線的第 二定義，轉(zhuǎn)化到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離，即焦半徑 r ed ,其中d表

14、示P到與F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線22的距離。如（1）已知橢圓匕1上一點(diǎn)P到橢圓左焦點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)P到右準(zhǔn)25 16線的距離為 （答：35） ; （2）已知拋物線方程為y2 8x,若拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng)軸 3的距離等于5,則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離等于 ; （3）若該拋物線上的點(diǎn)M到焦22點(diǎn)的距離是4,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為 （答：7,（2, 4） ； （4）點(diǎn)P在橢圓人 工1259上，它到左焦點(diǎn)的距離是它到右焦點(diǎn)距離的兩倍，則點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為（答：25) ; (5)拋物線y2 2x上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離和是5,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)12軸的距離為2（答：2） ; （6）橢圓 42在橢圓上有一點(diǎn)M,MP2MF之值

15、最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（等 1）;8、焦點(diǎn)三角形(橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形)問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設(shè)橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)P(xo,y。)到兩焦點(diǎn)Fi,F2的x2距離分別為riJ2,焦點(diǎn)F1PF2的面積為S,則在橢圓 a2b2一 .arccos( 1),且當(dāng)n r2即P為短軸環(huán)點(diǎn)時(shí)，取大為1222b cmax= arccos2一 ；aS b2tan2 c|yo1,當(dāng)1y01b即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，Smax的最大值為be；對(duì)于雙曲線223 -y2- 1的焦點(diǎn)三角形有： arccos 1 a b2b21 一 . 2,; S r1r2sinb cot-。如22(1)短軸長為J5,離心率e 2的橢圓的兩焦點(diǎn)為 己、F2,過F1作直線交橢圓于A、3B兩點(diǎn)，則ABF?的周長為.(答：6); (2)設(shè)P是等軸雙曲線x2 y2 a2(a 0)右支上一點(diǎn)，F(xiàn)i、F2是左右焦點(diǎn)，若PF2訐2 0, |PR|=6,則該雙曲線的方程為2 x（答：x y 4） ; （3）橢圓一 91的焦點(diǎn)為Fi、F2,點(diǎn)