高中數(shù)學(xué)課本中的定理、公式、結(jié)論的證明

1、數(shù)學(xué)課本中的定理、公式、結(jié)論的證明數(shù)學(xué)必修一第一章集合（無(wú)）第二章函數(shù)（無(wú)）第三章指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)1,對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果 a > 0 , a 1 , M> 0 , N > 0 ,那么(1) lOga(MN ) loga M log a N ； lOgaM 10g a M - 10g a N ； N(3) loga M n nloga M (n R).根據(jù)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)證明對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 證明：（性質(zhì)1）設(shè)logaM p, loga N q,由對(duì)數(shù)的定義可得p q p qMN a a a loga(MN ) p q ,即證得 loga MN loga M loga N .

2、證明：（性質(zhì)2）設(shè)loga Mp , log a N q ,由對(duì)數(shù)的定義可得Map, N aq," apq， aMn log a p q,N即證得 loga M- loga M - loga N . N證明（性質(zhì)3）設(shè)logaM p,由對(duì)數(shù)的定義可得M ap,loga M n np ,即證得log a Mnloga M2、證明對(duì)數(shù)換底公式1 門甌1。自力證明 設(shè)上=1。以N,根據(jù)對(duì)數(shù)定義有N 匕兩邊取以仃為底的對(duì)數(shù)，得1。&7 = 1。乩, 而1口艮為=.對(duì)。&/.所以1。品闖=川力4由于布勺，則k%由產(chǎn)0,解出4得窿：因?yàn)閕k)Ar,所以 loN =1。&l

3、og/;第四章函數(shù)應(yīng)用（無(wú)）數(shù)學(xué)必修二第一章立體幾何初步直線與平面、平面與平面平行、垂直的判定定理與性質(zhì)定理的證明.1、直線與平面平行的判定定理若平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行.已Hh蜀父以&冢，2/ b*j求證：a#證明：不防途直線a的方向向量為；，直線b的方向向量為：, 平面Q的法向量為；*因?yàn)閍" b所以u(píng)與、哄線，即u=kr,十平面包的法向量為m所以/、-=0,一所以kr n二小即n u=Q,旦我四所以可知a4 口一2、平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.g"巾'記碣

4、 地圖已仙平百內(nèi)南梟柳交的直線，且“小m.平詞也福的法向量分別是叫*地.要證r *招只需證口;42- 又由于，力險(xiǎn)，"死，故臼早明少的夕3所以吃一叫叫_1瓦 書于M與相交，極同后辦也是河的法同量從而有的/物，3、直線與平面垂直的判定定理如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.記國(guó) 如陽(yáng)鼠I是平而尸國(guó)的兩條府文吉茂把線口滿足二八一,，乙設(shè)戶是平面才為任意一條4線.則只需無(wú)，八段宜就。/的方向向量分機(jī)是日5萬(wàn).4具需證叱L"因?yàn)橹睉?zhàn)由仁相交所以5與不共提.力于直或 X、P在同一平而玄化，根據(jù)平面向地的東定理，本也 實(shí)數(shù)產(chǎn)便打?=出*卜匕、刑p =

5、tU 斗*口 G.國(guó)內(nèi)日上匕 口一一所以 邛，口=S w * w =。.叢麗心 =圻以直線乖以r平面膜4、平面與平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.已經(jīng)：直線/和平面儀, p3其中/復(fù)總/， 求證；我1 A證明：設(shè)直線l的方向向量為a,平面，的法向量分別為u, r （建立立體幾何問題與向量之間的聯(lián)系），因?yàn)閘 ，所以a|r ,即a=kr（ k R）（把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題）,又l，所以a u a?u=0 （把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題），所以ku?r=0u r（把空間向量的結(jié)果轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論），所以平面與平面互相垂直，5、直線與平面平行

6、的性質(zhì)定理如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么過該直線的任意一個(gè)平而與已知平面的交線與該直線平行.2 門、如圖所示已知在平面,o:c0E求證，用出/。和以沒有公共點(diǎn), 又,/白在口內(nèi)n."和b也沒有公共點(diǎn)，而3和b部在卬L金和b也沒有公共點(diǎn)】6、平面與平面平行的性質(zhì)定理如圖所示.已知支居sc尸名證明？:用叱分別在平面飛卬且為V而 ,而訐相交.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行又丁而b都在平面病,7、直線與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.已電卜口線N_La于1八20_|_*干3 求i匕fM/FU.止城;如塞所示以。為幌立，射線UA為

7、非負(fù)下軸.建田空間直角里林萊 心 hA分用力沿.，軸產(chǎn)知.t蛔的量標(biāo)向量，/卜 ”我|=?京=溫 一峋定一條火線的方向向盤/$ y >諛9一口。一入 工，因?yàn)?比）中 加以苫力_L Sf5xr k ：¥豆。* i." i） * （U 0» 0）jD. U£ j （Ji y* 白, <0* C1）_v_0* 所打石方一w. c. d 卻重。步,砸吊九 條直線的方向向量所以兩個(gè)空同向盤的方向向墻中行又知：先兩個(gè)不同的點(diǎn)所門門（哨.兩個(gè)字同向量所在由空向直紋T行另法如圖所示:已知在_L % bl端垂足分別為4 B.求證：a.;1/b.證明；假設(shè)a和

8、b不平行，過B點(diǎn)作a的平行線打由異面直線垂亙定義，b與平面口內(nèi)過點(diǎn)A的任意 直戰(zhàn)都垂直.也即有H_LabDbh反故直線U與1與確定一個(gè)平面，記小口門產(chǎn)二上在平面內(nèi)，過B點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于故直線b與匕重合，所以二/；b.8、平面與平面垂直的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面,如圖所示：已知 , 二MN, ABS 內(nèi)，AB MN 于B點(diǎn)。 求證：AB .證明：在平面內(nèi)做直線BC MN , 則ABC是二面角 -MN-的 平面角，Q , ABC =90 o, AB BC 又AB MN,AB9三垂線定理及逆定理，三季緩審更，若平面內(nèi)杓一條育犬罪有T

9、平百外的一條 言她在該甲面上的投書,財(cái)這兩條直紋垂苴一7 已知：如圖地斗泅/外的一條也就. K戲l是1。在pin /上的投能,在線、平盯向一直線。天直求證:M征期式有線廿上任點(diǎn)七面的加"沒直找的方向向量分別是叫占,CE,只需正嘰LM 由于由面t根靠平面向鼠葷平定理，疔鋁賓敏籍使嚕6= Al-t rjt,<1 + b XQ *。： +產(chǎn)修三H于jJ_板仃-工二門： 因?yàn)橹本€門在平面室內(nèi)山 浙門0*£：；,44 I k另法證明：已知：如圖，直線1與平面 相交與點(diǎn)A, 1在 上的射影OA垂直于a，a求證：1，a證明：過P作PO遠(yuǎn)直于VPQL a .POL a又 a 

10、7;QA , P6 QA=Q. a，平面 PQA則它垂直于這條直線在該(三垂線定理的逆定理)若平面內(nèi)的一條直線垂直于平面外的一條直線, 平面內(nèi)的投影第二章解析幾何初步(無(wú))數(shù)學(xué)必修三數(shù)學(xué)必修四第一章三角函數(shù)誘導(dǎo)公式公式： sin( ) -sincos( ) cos tan( ) tan如圖：設(shè)的終邊與單位圓(半徑為單位長(zhǎng)度1的圓)交于點(diǎn)P(x, y),則角-的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P'(x, -y).由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得 sin =y, cos =x, sin(- )=-y, cos(- )=x, 所以：sin(- )= -sin , cos(- )= cos a公式：s

11、in(） -sin cos（ ） -costan（ ） tan由倒數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可以得到有關(guān)正切的-誘導(dǎo)公式，它刻畫了角 +與角的正弦值(或余弦值)之間的關(guān) 系，這個(gè)關(guān)系是：以角 終邊的反向延長(zhǎng)線為終邊的角的正弦值 (或余弦值)與角 的正弦值(或余弦值)關(guān)系，設(shè)角 終邊圓 交于點(diǎn)P( x , y),則角終邊的反向延長(zhǎng)線，即 十角的終邊與單位圓的交點(diǎn)必為P'(-x，-y)(如圖4-5-1 ). 由正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義，即可得 sin =y, cos =x, sin( + )=-y, cos( + )=-x, 所以:sin( + )=-sin , cos( + )=-cos . 由倒

12、數(shù)關(guān)系和商數(shù)關(guān)系可以得到有關(guān)正切的誘導(dǎo)公式。 相關(guān)誘導(dǎo)公式公式一：設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等:tan （2k 九 + a ） =tan asin （2kjt+a ） =sin a k C z cos （2kjt+a ） =cosa k C z k C z（九 + a ） =tan a公式二： sin （九+a） =sin a cos （九+a） = cos a tan公式三：sin (a) =sin a公式四：利用公式二和公式三可以得到 冗-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin (九一a) =sin a cos (九一a) = cos a tan (兀一 a = tan

13、 a公式五：利用公式一和公式三可以得到 2九-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:tan （2 九一a ） = tan atan （兀 /2+ a ） = cot a tan （九 /2 a ） =cot asin （2九一a） =sin a cos （2九一a） =cosa公式六：九/2 ± a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin （冗 /2+ a ） =cos acos（兀 /2+ a ） = sin asin （九 /2 a ） =cos acos （九 /2 a ） =sin a第二章平面向量1、共線向量定理（p82例3）內(nèi)容：如圖A,B,C為平面內(nèi)的三點(diǎn)，且 A,B不重合，點(diǎn)P為平

14、面內(nèi)任一點(diǎn)，若C在直證明：由題意，BC與BA共線,線AB上，則有PCPA（1 ）PBBC PC PB, BA PA PBBC BAPC PB (PA PB)化簡(jiǎn)為：PC PA（i ）pb2、平面向量基本定理（p83）內(nèi)容：如果e，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意一向量a,存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)I, 2,使得a iei2e2.證明：如圖過平面內(nèi)一點(diǎn)0,作OA ei,OB e2，OC a,過點(diǎn)C分別作直線OAJ 口直線 OB的平行線，交OAT點(diǎn)M交OB于點(diǎn)N,有且只有一組實(shí)數(shù)，使得OM1OA,ON 2OBOCOM ONOC1OA 2OB1 el2 e2.el3、平行向量定理（

15、p88）內(nèi)容：若兩個(gè)向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例;若兩個(gè)向量相對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行，證明：設(shè)a，b是非零向量，且a （xi，yi），b （x2，y2）若a b,則存在實(shí)數(shù) 使a b,且由平面向量基本定理可知x1iyij (X2i y2 j)X2iy?j.Xix2 ，yiy2 丫2 X2 得：Xiy2X2yi0X1X2°，y2 0 （即向量a，b不與坐標(biāo)軸平行）則yiy24、余弦定理證明（p93）內(nèi)容:ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，則2 ab22 cb22 a2 a2 c2 cb22bccosA2accosB2abcosC證明：如圖在AB

16、C 中，設(shè) Ab C,bca,AC .2 2 a2 a BC (AC AB)(AC AB)b則AC2AC ? ABABAC2AC ? AB cos A ABb22bccosA同理可證:2,22a b c22.2cab2bccosA2abcosC所以2 ab22 cb22 a2 a2 c2 cb22bccosA2accosB2abcosC5、點(diǎn)到直線距離公式證明（p99）己知直線f；十為十0 = 0,點(diǎn)M（見可）為直線外一點(diǎn)，求證：點(diǎn)M到直線的向量法證明:如圖所不:我（為是直線外一定點(diǎn)9 F0，y）是直線上任意一點(diǎn), 由直線L出+的+C = Q可以取它的方與=（瓦T）,法向量1=（凡3%葩于是，

17、點(diǎn)防"2口）到直線/：4+取+C =。的 距離等于向量畫布點(diǎn)方向上射影的長(zhǎng)度：鼠 尸泌聞二（為一小丹一用一" 1+ Jd”又因?yàn)槭?”)是直線上?任意一點(diǎn),所以c二-gr+劭)故 d 出口 的0 4司一_得證a定義法證：如圖，根據(jù)定義，點(diǎn)M到直線1的距離是點(diǎn)M到直線1的垂線段的長(zhǎng)，如圖1,設(shè)點(diǎn)M到直線1的垂線為1 ,垂足為Q,由1l可知1的斜率為A的方程:證明：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心,為頂點(diǎn)，X軸非負(fù)半軸為始邊分別作角a ,作一單位圓，再以原點(diǎn)B均為銳角時(shí)，By y。 (x Xo)A 與1聯(lián)立方程組第三章 三角恒等變形s sin1、兩角差的余弦公式證明 co

18、s ( a B ) =cos a cos B +sinB , sin B ),即有兩單位向量叫 Rcosacos B +sin a sin 0°p】' op?,它們的所成角是設(shè)它們的終邊分別交單位圓于點(diǎn) P1 (cos a, sin a), P2 (cosr ，根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)得:OPOPcos (a - p)由得 cos ( a B ) =cos a cos B +sins sin B又根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得:由誘導(dǎo)公式可證明當(dāng)a , B均為任意角時(shí)式仍成立, 2、兩角和的余弦公式證明cos() cos ( ) =(略)3、兩角和(差)的正弦公式證明內(nèi)容:sin(s

19、incoscossin , sin()sincoscos sin證明:sin(cos (2)cos(- 2cos(一 2)cossin(一 2)sinsin cos cos sinsin(4、兩角和cos 2(差)cos(2)cossin(2)sinsin cos cos sin的正切公式證明內(nèi)容:證明:tan(tan tan1 tan tantan()tantan1 tan tansin coscos sintan(sin(cos(sin coscos costan(cos sinsin sincos coscos coscos costantan1 tan tansin coscos co

20、s sin sincos coscos sin)sin( cos(sin coscos coscos sincos coscos cossinsincos cossin sincos coscos costantan1 tan tan(2010四川理19)證明兩角和的余弦公式Ccos(cos cossin sin0由c推導(dǎo)兩角和的正弦公式:sin()sincos cos sin解：如圖，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)做單位圓O,并作出角a、B與-B ,使角a的始邊為Ox,交。于點(diǎn)R,終邊交 。于P2；角B的始邊為。巳終邊交。于P3；角-B的始邊為 OP,終邊交。于 R.則 Pi (1, 0) , P2

21、(cosa , sin a),P3 (cos ( a+B) , sin (a+B) ) , P4 (cos (- B ) , sin (- B ) 由RR=P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式，得cos (a+B ) -1 2+sin2 ( a + B ) =cos (-0) -cosa2+sin (-0) -sin a展開并整理得：2-2cos ( a + B ) =2-2 (cos a cos B -sin a sin 0 )cos ( a + B ) =cos a cos B - sin a sin B ；由易得 cos (九-a ) =sin a , sin (兀 2 - a ) =cos as

22、in ( a + B ) =cos - ( a + B ) =cos ( - a ) + (- B )=cos ( - a ) cos (- B ) -sin ( - a ) sin (- B )=sin a cos B +cos a sin 0 ；數(shù)學(xué)必修五第一章數(shù)列1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式已知等差數(shù)列 an的首項(xiàng)為ai ,公差為d,證明數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an a1 (n 1)d證明：由等差數(shù)列的定義可知 當(dāng)n生時(shí)有七問二&- tl-1 d將上面口 J個(gè)等式的兩邊分別相加.得%-研=ST川當(dāng)理三1時(shí),1也適合上面的等式/. 4 =4 +(M l)rf說明：用“疊加法”證明等差數(shù)列的通

23、項(xiàng)公式，需要驗(yàn)證對(duì)ai同樣成立2、等差數(shù)列前n項(xiàng)和內(nèi)容：an是等差數(shù)列，公差為d ,首項(xiàng)為ai , Sn為其前n項(xiàng)和，則Snain兇"n(ai an)證明：由題意，Sn a1 (a1 d) (a1 2d)."1)d)反過來可寫為.S n an (an d ) (a n 2d ) (an (n 。d)a1 n a1 n a1 n+得：2Snn個(gè)G n(a1 an)一 S n LT 所以，2，把a(bǔ)n a1 (n 1)d代入中，得23、等比數(shù)列通項(xiàng)公式已知等比數(shù)列 an的首項(xiàng)為a1 ,公比為q,證明數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為n -1 an a1q類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的證明，用“疊乘法

24、”證明3、等比數(shù)列前n項(xiàng)和內(nèi)容：an是等比數(shù)列，公比為q ,首項(xiàng)為a1 , Sn為其n前項(xiàng)和，則na1,(q 1)a1Sn. 丁anqa1(1qn),(q1)證明：Sn2a1 aq aq23qSn aq aq aqna1q屹一得:(1 q)Sn a1 a1qnna1aq1 時(shí)，Sn 1 qa1(1 qn)n 11 q把a(bǔ)n a1q代入中，得a1anqSn 1 q1時(shí)，很明顯Sn na1na1,(q 1)所以,a1Sn-1nanqa1(1 q),(q 1)考題(2013陜西文)17.設(shè)&表示數(shù)列an的前n項(xiàng)和.(I )若a。為等差數(shù)列，推導(dǎo)S的計(jì)算公式；1 qn(n)若ai 1,q 0,

25、且對(duì)所有正整數(shù)n,有Sn .判斷縱是否為等比數(shù)列.i q解：(I)設(shè)公差為d,則an a1 (n 1)dSn a a? an 1 an2Sn(a an) (a? an 1) (an 1 a1) (an a)Sn an an 1a2 a12Sn n(a1 4)&"a q 1 q an) n(a1 n-d).2 2(北師大版數(shù)學(xué)必修五-課本證明方法)設(shè)S.是一差數(shù)列")的前打心和.即X. Hl十(勺十4G 十，十根據(jù)寫走數(shù)則k力的通項(xiàng)公式J：式可以可成5tt a 1 + (di + d) + (a -F 2rf) f + + (w )(/再把項(xiàng)的次昨反過來我又可以寫成5

26、* 八 + (&* -(/) + (% 2d) + + u. - 1 川把等號(hào)兩邊分別相加,用于是懺項(xiàng)為出,末項(xiàng)為小司數(shù)為“的等于是列的畫燈項(xiàng)和w+g,)占* o-if將+(稗IM代入式,用g/Mil1 ) j靠.flit gM i(n) a11, q 0,由題知 q 1,* c1 qnn N , Snq-1 qn 1naSS1 q"an 1，1On1ann 1q所以，數(shù)列an是首項(xiàng)ai1,公比q 1的等比數(shù)列,2、(2013陜西理)17.設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列.(I )推導(dǎo)an的前m項(xiàng)和公式；(n )設(shè)qw1,證明數(shù)列an 1不是等比數(shù)列.解：(I )分兩種情況討論，當(dāng)

27、q 1時(shí)，數(shù)列an是首項(xiàng)為a1的常數(shù)數(shù)列，所以Sn a aa na1.當(dāng)q 1時(shí)，Snaa?an1anqSnqaqa2qan1 qan.qan上面兩式錯(cuò)位相減：(1-q)Sn a1 (a2 qa1) (a3 qa2)(an qan 1) qan a1ai qan&(1 qn)Sn -.,1-q1- qna1,(q 1)綜上，Sna (1 qn)1 q ,(q )(北師大版數(shù)學(xué)必修五-課本證明方法)設(shè)51M5 +出中十f +小廣1 *的兩邊同乘心得F« </" 1 4以】/的兩邊分別減去的兩邊.得與 qS” =5 f 1 f 3由此得到時(shí).等比數(shù)列前&項(xiàng)

28、和公式國(guó)為所以上面的公式還可以寫成1 1很明鼬.當(dāng)時(shí),從式可得5恤.從而，等比數(shù)列前u項(xiàng)小公式為(n)使用反證法,設(shè)an是公比qwi的等比數(shù)列，假設(shè)數(shù)列an 1是等比數(shù)列.則當(dāng)n使得an1=0成立,則an 1不是等比數(shù)列，r當(dāng) n使得annan 11 aq1 0成立，則Tian 1 aq1,包為常數(shù)1naqn 1aq1當(dāng)a10日t,q 1,這與題目條件qwi矛盾,綜上兩種情況，假設(shè)數(shù)列an 1是等比數(shù)列均不成立，所以當(dāng) qwi時(shí),數(shù)列an 1不是等比數(shù)列,第二章解三角形1、正弦定理證明(p45)內(nèi)容：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等。即 sin A sin Bcsin C已知：在A

29、BC中,a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊,求證：sin Absin Bcsin C證明：方法1利用三角形的高證明正弦定理(1)當(dāng) ABC是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CDb sin ACD asin B ,由此，得sin A sinB,同理可得sn-Csin B故有sin A而百 kC.從而這個(gè)結(jié)論在銳角三角形中成立.(2)當(dāng) ABC是鈍角三角形時(shí)，過點(diǎn)C作AB邊上的高, 交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，有CD asin CBD asin ABC； CDbsin A由此，得sin Asin ABC ,同理可得c sinsinb"&qu

30、ot;ABCBa故有sin Asin ABC sinRtABC 中,sin Aa,sin B casin Ab c sin BC 90,sinC 1.asin Absin Bcsin C由(1)(2) (3)可知，在 ABC中,asin Asin Bsin C成立.方法2.外接圓證明正弦定理在 ABC中，已知BGa, AGb, AB=c,作 ABC的外接圓，O為圓心，連ZBO并延長(zhǎng)交圓于 B',設(shè)BB =2R.則根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角以及同弧所對(duì)的圓周角相等可以得到/ BAB =90 , / C =/ B',.sin C=sin B' =sinC sin Bc2Rc

31、sin C2R.同理，可得 3 sin A 這就是說aasin Absin B2R,-b:sin B2R. sinC2R.,對(duì)于任意白三角形，上述關(guān)系式均成立，因此，我們得到等式sin A sin B sinC方法3.向量法證明正弦定理如圖2 3所示以為原直.以射線小打的方向力，軸正方向建 立H用坐懷品（,點(diǎn)花尸林上的射影為（二因?yàn)橄騢tn/1”/在不抽I一的射影均為f黃。,即研以即同理，所眼|/| 一 |SC|EM/l-9<r>inL sin 於in 及 口而n HAmr A t. a _ ft sin A sin H " a _ c 的力A qna 4 f4 rl A

32、 wn JJ sin （' '若、為銳角成宜用,也可以傅到同樣附序論.方法4.等面積法（略）2、余弦定理證明（p49）內(nèi)容：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角的余弦之 積的兩倍，即口？= B +r2 - Zbc casAb* = J + c2 -2ac cos Be2 = 口？ 4 b? 2b cos C證明：方法1向量法證明方法2三角形證明（過程如下考題）考題（陜西20XX年文、理18）敘述并證明余弦定理，解余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與他們夾角 的余弦之積的兩倍，或：在ABC中，a,b,c為A,B,C的對(duì)邊，有a2

33、- b2 - 2bc cosA62 = cz2 + c2 -2(2ccos J 2ab cos C證法一如圖uuiv uuva2 BC?BCuuv uuiv uuv uuv(AC AB)?(AC AB)uuuv2 uuu/ UJV WV2AC 2AC ?AB ABuuuv2 ACuuu/2 ACuuvAB COSAuuv2 AB,22b 2bccosA c即 a2 b2 c2 2bccos A同理可證 b2 a2 c2 2accosB22,2cab 2ab cosCx軸,證法二 已知 ABC A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,以A為原點(diǎn)，AB所在直線為建立直角坐標(biāo)系，則 C(bcosA, bs

34、in A), B(c,0), a2 |BC2 (bcosA c)2 (bsin A)2b2cos2 A 2bccosA c2 b2sin2 A 22b c 2bccos A同理可證 b2 a2 c2 2accosB22,2cab 2abcosC第三章不等式（無(wú)）數(shù)學(xué)選修2-1第一章常用邏輯用語(yǔ)（無(wú)）第二章 空間向量與立體幾何1、空間向量基本定理：如果向量口，< . C是空間三個(gè)小才囿的向量通是空間任一向量，那名Q在唯一一組實(shí)SU- Z使得神=幻心卜山畛十亞&杷向。，H M妙s的4息牌一同-.0- r *.idr）P=«,如圖過點(diǎn)作二個(gè)Y面介利平行于e用&出 麻/

35、點(diǎn)_ 一d_ _和e所備衲平而.魯朝一平彳i六面體力4小”7:中"；也煉不而體的 張河俳線，酸OUf北小分別均向辰e ,i某出下班行H力盧=用 +AAEF =（M I （JC I OB.由該e力/一般需打量共線。勺性質(zhì).存在I組女低入 I I 史郡戊一九門/浪一兀g/千一屋。即 ff-OP-GA I （；H 1 （If -A ffi K I2、線面垂直判定定理（p40例1）如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直. 正陰 如圖 也是平面；r內(nèi)的兩條將交有鞋，直線。SS是力_Le.設(shè),是平面不內(nèi)任意一當(dāng)克線.則只需記設(shè)直一¥ ”L 戶的方句向量分我

36、是" 具需證C±p. 因?yàn)橐苏伊棺交所工方與（不共且L于一線"行在同一十面m3根據(jù)平加阿柏拿出定理.仔在 其數(shù)乂人使目,=沿 "% 冽a - p = .Vd，修，戶1江 因?yàn)閐_|_人 所以 a fr=C» a * c-CvS<lTil u = L 即flip,斫以直線口垂直十平面,t.rz n.，3、面面平行判定定理（p40例2）如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.iiTFfl棚圖已M止叮ORF而以內(nèi)博茨杷交的直線旦,1 平j(luò)ij做意的ifelftl量分別是，.明.要正弋/tl ,只需進(jìn)口;42- 乂出

37、于"G “打鼠向I ', 以''- TT. 1所以，口一飛 書于也與4柑交，故同甘嗎愴電量的法網(wǎng)量從而行的后啊,4、三垂線定理（p41例3）支覆在俄丫而上的我期,則達(dá)河?xùn)|星線市真.：三幸鰻岸理）若干面內(nèi)西一條直線垂直T平石外的第已知；扯陽(yáng)七是| H：常外的一條電線.宜戰(zhàn)是心住平面7T二的投巖，立投與平百內(nèi)一宜皺“班總王朋過自鴕山上任點(diǎn)方平面兀的承線人求證dJ_。設(shè)宜我女仆, ：山的方向向后分別是曰而E，只得近. _|_瓦 由干也一國(guó)共面.根據(jù)平面向U荒木定理,存在實(shí)數(shù)幻典使等 & =加十£,” .則（t b Atu * （產(chǎn)，啟 * n &g

38、t;,乂由于u_1_人枚占（ f = |.f!因?yàn)榘俪眛金在平寓寓內(nèi).jLjr.板u_Lr ,即H動(dòng)一 0.所以0£ 討I認(rèn)考題（2012陜西理18題）（1）如圖，證明命題”a是平面 內(nèi)的一條直線，b是 外的一條直線（b不垂直于 ）,c是直線b在上的投影，若a b,則a c”為真.（2）寫出上述命題的逆命題，并判斷其真假（不需要證明）【解析】（I）證法一如圖，過直線b上一點(diǎn)作平面 的垂線n ,設(shè)直線a , b , c , n的方向向量分別是a , b , c , n ,則b,c,n共面.根據(jù)平面向量基本定理，存在實(shí)數(shù) ， 使得c b n,則(b n)(a b) (a n),因?yàn)?a

39、b,所以 a b 0,又因?yàn)?所以a n 0,故a c 0 ,從而a c .證法二 如圖，記c b A, p為直線b上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，過P作PO,垂足為O,則O c PO ,a.,直線PO a ,又ab, b 平面 PAO, PO b P,a平面PAO ,又c平面PAO ,c.（n）逆命題為：a是平面內(nèi)的一條直線，b是平面 外的一條直線（b不垂直于 ），c是直線b在 上的投影，若a b,則a c.逆命題為真命題第三章圓錐曲線與方程1、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 4+4 = 1 （的推導(dǎo)口工b2解、以鳥和弟所在直線為工軸，線段 耳段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系；（建系）設(shè)血（見了）是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè) 囹號(hào)=2亡，則&S）,段記由； （設(shè)點(diǎn)）由I陽(yáng)1 + 1崢卜2白得巧了可卜而內(nèi)