自動(dòng)控制原理總結(jié)之判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性方法

1、精品文檔判斷系穩(wěn)定性的方法一、穩(wěn)定性判據(jù)（時(shí)域）1、 赫爾維茨判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：特征方程的各項(xiàng)系數(shù)全部為正;將系統(tǒng)特征方程各項(xiàng)系數(shù)排列成如下行列式；an 1 an 3 an 50 0an an 2 an 4000an 1an 300n 0anan 20°00000a10000a2ao當(dāng)主行列式及其對(duì)角線上的各子行列式均大于零時(shí)，即1an 10an 1an 3anan 2an 1an3an5anan2an40an1an3則方程無(wú)正根，系統(tǒng)穩(wěn)定。赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)之行列式直接由系數(shù)排列而成，規(guī)律簡(jiǎn)單明確，使用也比較方便，但是對(duì)六階以上的系統(tǒng)，很少應(yīng)用。例；若已知系統(tǒng)的特征方程為s

2、4 8s3 18s2 16s 5 0試判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。解：系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均為正數(shù)。-根據(jù)特征方程，列寫系統(tǒng)的赫爾維茨行列式。 由得各階子行列式；88181016181618812800516172808100161881051618000二86900各階子行列式都大于零，故系統(tǒng)穩(wěn)定。2、勞思判據(jù)12歡迎下載(1)勞思判據(jù)充要條件:A、系統(tǒng)特征方程的各項(xiàng)系數(shù)均大于零，即a>0;B、勞思計(jì)算表第一列各項(xiàng)符號(hào)皆相同。滿足上述條件則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定，各項(xiàng)符號(hào)變化的次數(shù)就是不穩(wěn)定根的數(shù)目。(2)勞思計(jì)算表的求法:A列寫勞思陣列,并將系統(tǒng)特征方程的系數(shù)按如下形式排列成列首兩行,即:

3、sn snsn san ahC1ananb2c2ananb3c3an 6an 7b4C4U2U1V1W1-B、計(jì)算勞思表b2an 1an 2anan 3an 1an 1an 4anan 5an 1an 1an 6 anan 7an 1系數(shù)bi的計(jì)算要一直進(jìn)行到其余的bi值都等于零為止。用同樣的前兩行系數(shù)交叉相乘，再除以前一行第一個(gè)元素的方法，可以計(jì)算c, d, e等各行的系數(shù)。ban 3 an 心Nan 5 an 1-an 7 an 也C1C2C3d1c1b2b1c2C1(3)勞思判據(jù)的兩種特殊情況A、勞思計(jì)算表第一列出現(xiàn)零的情況因?yàn)椴荒苡昧阕鳛槌龜?shù)，故第一列出現(xiàn)零時(shí)，計(jì)算表不能繼續(xù)排下去。為

4、解決該問(wèn)題，其辦法是用一個(gè)小的正數(shù)e代替0進(jìn)行計(jì)算，再令£-0求極限來(lái)判別第一列系數(shù)的符號(hào)。B、勞思計(jì)算表中出現(xiàn)某一行各項(xiàng)全為零的情況此時(shí)，勞思表將在全為零的一行處中斷，其解決辦法是將不為零的最后一行的各項(xiàng)組成一個(gè)“輔助方程式”，將該方程式-對(duì)s求導(dǎo)數(shù)，用求得的各項(xiàng)系數(shù)代替原來(lái)為零的各項(xiàng)，然后按 勞思計(jì)算表的寫法繼續(xù)寫完以后各項(xiàng)，對(duì)稱根可由輔助方程求得。例1：已知系統(tǒng)特征方程為s5 2s43s36822s 10判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，若不穩(wěn)定，求不穩(wěn)定根的數(shù)目 解：根據(jù)特征方程可知，其各項(xiàng)系數(shù)均為正。列寫勞思計(jì)算表并計(jì)算得:S5S4 s1633當(dāng)£ -0時(shí)，2故第一列有兩次變號(hào)，

5、系統(tǒng)特征方程有兩個(gè)正根，系統(tǒng)不穩(wěn)定 例2:已知控制系統(tǒng)的特征方程為s62s58s412s320s216s 160試判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：根據(jù)系統(tǒng)的特征方程可知，其各項(xiàng)系數(shù)均為正。s6182016s5(21216)s5168列寫勞思計(jì)算表并計(jì)算得：s4(21216)s4168s300-因s3行各項(xiàng)全為零，故以s4行的各項(xiàng)作系數(shù)，列寫輔助方程如下.Ass46s2 8將A(s)對(duì)s求導(dǎo)，得：As As4s312sds再將上式的系數(shù)代替s3行的各項(xiàng)系數(shù)，繼續(xù)寫出以下勞思計(jì)算表：182016168168(4 12)133813 8從勞思表的第一列可以看出，各項(xiàng)均無(wú)符號(hào)變化，故特征方程無(wú)正根。但是因s3行

6、出現(xiàn)全為零的情況，故必有共鈍虛根存在。共鈍虛根可通過(guò)輔助方程求得 s4 6s2 8 0其共鈍虛根為 玩2v2j ； s3，42j ,這四個(gè)根同時(shí)也是原方程的根，他們位于虛軸上，因此該控制系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，系統(tǒng)不穩(wěn)二、根軌跡法(復(fù)域)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：所有的閉環(huán)極點(diǎn)都在 S平面的左半平面。例:已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為G(? =?+1)(0.5?+1),試應(yīng)用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。-解：G(? =2?+1)(?+0?+1)(?+2)(K *=2k)做根軌跡:(a) 有三條根軌跡(n=3 m=0 n-m=3)(b) 實(shí)軸上(0,-1 ) (-2, - s)為根軌跡段(c) 漸近線的夾角與坐標(biāo)：

7、(2?+1)?。8(-1 )+(-2)?=-19?-= ± 60 180 7,?= "3(d) 分離點(diǎn)坐標(biāo)d:11, 1 _ c?+ 1 + ?仔 2 + ?= 0解得 d 1= -0.423d2= -1.58(舍去)因?yàn)閐2不在根軌跡上(e)與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo):D(?= ?+ 3?+ 2?+ ?令S=jw代入到式中得:D( ?= (?)+ 3(?)+ 2(?+ ?解得：-?32+2?=0-3? 2 + ? = 0? = 0, ? = 士 1.414? = 士 1.414?= 6,?= 3根軌跡圖如下所示:Edirtor - C:MATUkBAiworltUnhtledl.r

8、nT事前 Cfll Tpols Debug DeLt；File Edrt1 -hujl= 0 0 0 12 -den«tl 3 2 ft.3 - rUeuf (nu»iP deb)4-三、頻率特性1、 奈氏判據(jù)(奈奎斯特判據(jù))Z=P-2N 系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)Z=0由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在S平面的極點(diǎn)個(gè)數(shù) 巳 奈氏曲線繞(-1, j0)的圈數(shù)N,得到閉環(huán)傳遞函數(shù)在S平面的極點(diǎn)的個(gè)數(shù)ZP通過(guò)G(S)可知N :順時(shí)針為負(fù)，逆時(shí)針為正當(dāng)V?0時(shí)，需要做增補(bǔ)線 W:0-0+從幅相曲線W= 0+位置開(kāi)始沿逆時(shí)針?lè)较虍?VX90的圓弧增補(bǔ)線(理論半徑為s)計(jì)算圈數(shù)時(shí)要包括所畫圓弧的增補(bǔ)線在內(nèi)。例：某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為 G(?二 :一?(?+1試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)穩(wěn)定性。解：W 0+00幅值趨于0,相角趨于-270，N=-1, P=0, Z=P-2N=2故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。-2、 對(duì)數(shù)頻率判定系統(tǒng)穩(wěn)定性,？N =?+-?= 一2在截止頻率之前，在對(duì)數(shù)幅頻曲線 L(W)>0.對(duì)應(yīng)的頻率范圍對(duì)應(yīng)的相角是否穿越-180在V?0時(shí)，也需要做增補(bǔ)線，從對(duì)數(shù)相頻特性曲線上 W= 0+處開(kāi) 始，用虛線向上補(bǔ)90角(補(bǔ)到0°或180 )例：已知