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1、正弦定理和余弦定理以及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo):掌握正弦定理和余弦定理,并能加以靈活運(yùn)用。一、 知識(shí)引入、正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用:正弦定理:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等,即=2R例1(1)、已知ABC中,A,,求 (=2)(2)、已知ABC中,求 (答案:1:2:3)、余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用:例2(1)、在ABC中,已知,求b及A ( )(2)、在ABC中,已知,試判斷此三角形的解的情況。例3在ABC中,已知,判斷ABC的類型。分析:由余弦定理可知 (注意:)解:,即, 。練習(xí): (1)在ABC中,已知,判斷ABC的類型。 (2)已知ABC滿足條件,判斷ABC的類
2、型。 (答案:(1);(2)ABC是等腰或直角三角形)例4在ABC中,面積為,求的值分析:可利用三角形面積定理以及正弦定理解:由得,則=3,即,從而例題5、某人在M汽車站的北偏西20的方向上的A處,觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40。開(kāi)始時(shí),汽車到A的距離為31千米,汽車前進(jìn)20千米后,到A的距離縮短了10千米。問(wèn)汽車還需行駛多遠(yuǎn),才能到達(dá)M汽車站?解:由題設(shè),畫(huà)出示意圖,設(shè)汽車前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理得cosC=,則sinC =1- cosC =, sinC =,所以 sinMAC = sin(120
3、-C)= sin120cosC - cos120sinC =在MAC中,由正弦定理得 MC =35 從而有MB= MC-BC=15答:汽車還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車站。練習(xí)題:1、判斷滿足下列條件的三角形形狀,(1)、acosA = bcosB( 等腰三角形或直角三角形)(2)、sinC = (直角三角形)2、如圖,在四邊形ABCD中,ADB=BCD=75,ACB=BDC=45,DC=,求:(1) AB的長(zhǎng) (2)、求四邊形ABCD的面積解(1)因?yàn)锽CD=75,ACB=45,所以 ACD=30 ,又因?yàn)锽DC=45,所以 DAC=180-(75+ 45+ 30)=30,所以 AD=DC= 在BCD中,CBD=180-(75+ 45)=60,所以= ,BD = = 在ABD中,AB=AD+ BD-2ADBDcos75
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