淺談向量在立體幾何中的應(yīng)用12

1、用空間向量解立體幾何題王建正空間向量是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，由于空間向量具有數(shù)形兼?zhèn)涞奶攸c(diǎn)，與代數(shù)、幾何知識(shí)密切聯(lián)系，所以是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具。 用“空間向量”解決立體幾何的實(shí)質(zhì)是將綜合推理轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，建立“由形到形，由形到數(shù)，由數(shù)到形”的新方法，即在計(jì)算或證明立體幾何問題時(shí)，建立空間直角坐標(biāo)系，把圖形中的相關(guān)點(diǎn)用坐標(biāo)表示，相關(guān)的線段用空間向量表示，從而將空間問題用坐標(biāo)運(yùn)算求解，可以避免較為復(fù)雜的空間想象。 求距離的應(yīng)用 求點(diǎn)到直線的距離定理 在直線上任取一點(diǎn)，取直線的一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到的距離。例 設(shè)正方體的楞長(zhǎng)為，如圖。求上底面中心到直線的距離。ABCDA1B1C1D1O1yxz圖1

2、解 如圖建立直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，所以故上底面中心到直線的距離是。 求點(diǎn)到平面的距離定理 設(shè)是平面的法向量，是平面的一條斜線，則點(diǎn)到平面的距離為ACBEP圖例 在三棱錐中，。如圖。求點(diǎn)到平面的距離。解 如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。則各點(diǎn)坐標(biāo)為，。設(shè)。因?yàn)?，ACBPzxyHE圖3所以。， 設(shè)平面的法向量為，取設(shè)點(diǎn)到平面的距離為。 所以點(diǎn)到平面的距離為。 求異面直線間的距離 定理 、是兩條異面直線，是、的公垂線段的方向向量，又、分別是、上任意兩點(diǎn)，則異面直線、的就離為例 在四棱錐中，BOACCS圖4。如圖。求異面直線與間的距離。 解 如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。 則各點(diǎn)坐標(biāo)是，。

3、， BOACSyxz圖設(shè)是異面直線與的公垂線段上的方向向量， 是異面直線間的距離。，取。則異面直線與間的距離 所以異面直線與間的距離是。 求兩個(gè)平行平面的距離求兩個(gè)平行平面的距離一般轉(zhuǎn)化為線面距、點(diǎn)面距處理。例 在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。如圖。C1ABC DA1B1D1FE圖求平面與平面的距離。 解 如圖建立直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為 ，C1ABC DA1B1D1EFzxyz圖因?yàn)橹本€平行于平面，所以平面與平面的距離等于 與平面的距離，而與平面 的距離可看作上任意點(diǎn)到該平面的距離。 設(shè)平面的法向量為，取故平面與平面的距離為。 求角的應(yīng)用 異面直線所成角ABCDES圖定理 設(shè)直線、

4、對(duì)應(yīng)的方向向量分別為、，則直線所成的角為，異面直線所成角的范圍是，若用余弦定理求得，則異面直線所成角應(yīng)是。例 已知正四棱錐側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，如圖。求異面直線，所成角。解 點(diǎn)在平面的射影為，所以如圖建立直角坐標(biāo)系，為軸、為軸、為軸。 設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，ABCDESOxy圖z，而，所以異面直線，所成角是。 直線與平面所成角定理 設(shè)是平面的法向量，是直線的方相向量，則直線與平面所成的角為，即直線與平面所成角大小是直線的方向向量與平面的法向量所成角的余角。例 面積為的的正方形所在的平面與面積為的矩形所在的平面互垂直，如圖。求與平面所成角。 ABCDEF圖解 如圖建立直角坐標(biāo)系

5、， 因?yàn)樗詣t各點(diǎn)坐標(biāo)為，ABCDEFxyz圖所以， 設(shè)平面的法向量為，所以，取，則，所以與平面所成角為即。 二面角定理 設(shè)，是二面角的兩個(gè)面，的法向量，則就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。當(dāng)法向量，方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角大小等于法向量的夾角。 當(dāng)法向量，方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角大小等于法向量夾角的補(bǔ)角的大小。 例 正四棱柱中，點(diǎn)在上且。如圖。求二面角的大小。ABCDEA1B1C1D1圖解 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系。則各點(diǎn)坐標(biāo)為，。 ，。因?yàn)?，ABCDEA1B1C1D1xxyz圖故 ，。又 ，所以平面，即是平面的法向量。設(shè)向量是平面的

6、法向量，則，。故 ，。令，則，。 等于二面角的平面角，。所以二面角的大小為。 證明方面的應(yīng)用 證明線面平行的方法證明直線的方向向量與平面的法向量垂直。證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線。利用共面向量定理，證明直線的方向向量與平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量是共面向量。例 在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱，、分別為的中點(diǎn)。如圖。證明：。證明 如圖，建立空間直角坐標(biāo)系。圖設(shè)，則，。取的中點(diǎn)，則。和是共線向量。所以。 證明線面垂直的方法圖證明直線的方向向量與平面得法向量是共線向量。ABCDPE圖證明直線與平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量互相垂直。例 四棱錐底面為一直角梯形， ，為中點(diǎn)。，。如圖求證：平面。

7、證明 如圖建立以為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，設(shè)，。則各點(diǎn)坐標(biāo)為ABCDPxyzE圖，因?yàn)榍宜?證明面面平行的方法轉(zhuǎn)化為線線平行、面面平行處理。證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量。例 在正方體中，設(shè)分別是棱，的中點(diǎn)。求證ABCDEFMNA1B1C1D1平面平面。證明 如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為，則各點(diǎn)坐標(biāo)為，圖，圖ABCDEFMNA1B1C1D1zxy，設(shè)平面的法向量為，所以有，取因?yàn)橄蛄浚韵蛄抗势矫嫫矫妗?面面垂直的方法轉(zhuǎn)化為線線垂直線面垂直處理。證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直。ABCA1B1C1ED圖例 在直三棱柱中，為中心，為的中點(diǎn)。如圖。求證：平面。證明 如圖建立直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為， ， 設(shè)平面的法向量為，平面ABCA1B1C1EDxyz圖的法向量為。所以，取，取因?yàn)?，從而平面。向量的學(xué)習(xí)為我們研究空間幾何提供了一種代數(shù)化的研究思想，把研究空間圖形的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化到代數(shù)的運(yùn)算和推理，這對(duì)培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的能力，特別是思維多元化的能力、推理論證能力提供了空間和平臺(tái)。