求展開式系數(shù)的類型及最大最小項(xiàng)

1、求展開式系數(shù)的六種常見類型求展開式中的系數(shù)是高考?？碱}型之一,本文以高考題為例，對二項(xiàng)式定理試題中求展開式系數(shù)的問題加以歸類與解析，供讀者參考。一 、型例1的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是（ ）（A）840 （B）840 （C）210 （D）210解析：在通項(xiàng)公式中令=4，即得的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為=840,故選A。 例2展開式中的系數(shù)為 。解析：通項(xiàng)公式 ，由題意得，則，故所求的系數(shù)為。評注：常用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)展開式中某特定項(xiàng)的系數(shù)，由待定系數(shù)法確定的值。二 、型例3的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)等于 .解析；的通項(xiàng)公式為,令，則,這時(shí)得的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為=32, 的通項(xiàng)公式為,令，則,這時(shí)得的展

2、開式中的常數(shù)項(xiàng)為=70，故的展開式中常數(shù)項(xiàng)等于。例4在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是（ ）(A) (B) 5 (C) (D) 10解析：中的系數(shù), 中的系數(shù)為,故的展開式中的系數(shù)為,故選D 。評注：求型如的展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可分別展開兩個(gè)二項(xiàng)式，由多項(xiàng)式加減法求得所求項(xiàng)的系數(shù)。三 、型例5的展開式中項(xiàng)的系數(shù)是 。解析：的展開式中、的系數(shù)分別為和，故的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為+=1008。例6的展開式中的系數(shù)是（ ） （A ） （B ） （C ） （D） 略解：的展開式中、的系數(shù)分別為和,故 展開式中的系數(shù)為,故選B。評注：求型如的展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)，可分別展開兩個(gè)二項(xiàng)式，由多項(xiàng)式乘法求得所求項(xiàng)的系

3、數(shù)。四 、型例7的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為 .解法一：=，通項(xiàng)公式, 的通項(xiàng)公式為,令，則，可得或或。當(dāng)時(shí)，得展開式中項(xiàng)為；當(dāng)時(shí),，得展開式中項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，得展開式中項(xiàng)為。綜上，的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為。解法二：=，對于二項(xiàng)式中，要得到常數(shù)項(xiàng)需，即。所以，常數(shù)項(xiàng)為。解法三：是5個(gè)三項(xiàng)式相乘。常數(shù)項(xiàng)的產(chǎn)生有三種情況：在5個(gè)相乘的三項(xiàng)式中，從其中一個(gè)取，從另外4個(gè)三項(xiàng)式中選一個(gè)取，從剩余的3個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得；從其中兩個(gè)取，從另外3個(gè)三項(xiàng)式中選兩個(gè)取，從剩余的1個(gè)三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得；從5個(gè)相乘的三項(xiàng)式中取常數(shù)項(xiàng)相乘，可得=。綜上，的展開式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為。評注：解法一、解法二的

4、共同特點(diǎn)是：利用轉(zhuǎn)化思想，把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式來解決。解法三是利用二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)方法來解決問題，本質(zhì)上是利用加法原理和乘法原理，這種方法可以直接求展開式中的某特定項(xiàng)。五 、 型例8在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是。（用數(shù)字作答）解析：由題意得項(xiàng)的系數(shù)為。例9在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是( )(A) 74 (B) 121 (C) 74 (D) 121解析：(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8=中的系數(shù)為，中的系數(shù)為,126+5= 121,故選D。評注：例8的解法是先求出各展開式中項(xiàng)的系數(shù)，然后再相加；例9則從整體出發(fā)，把原式看作首相為(1x)，公比為(1

5、x)的等比數(shù)列的前4項(xiàng)和，用等比數(shù)列求和公式減少項(xiàng)數(shù)，簡化了運(yùn)算。例8和例9的解答方法是求的展開式中某特定項(xiàng)系數(shù)的兩種常規(guī)方法。六 、求展開式中若干項(xiàng)系數(shù)的和或差例10若，則。(用數(shù)字作答)解析：在中，令，則，令，則故=2003+。例11，則的值為（ ）(A) 1 (B) 1 (C) 0 (D) 2解析：在中，令，可得，令，可得所以，=1,故選A。評注：求展開式中若干項(xiàng)系數(shù)的和或差常采用“賦值法”。賦值法是給代數(shù)式(或方程或函數(shù)表達(dá)式)中的某些字母賦予一定的特殊值，從而達(dá)到便于解決問題的目的，它普遍適用于恒等式，是一種重要的解題方法。實(shí)際上賦值法所體現(xiàn)的是從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想，在高考題中屢見

6、不鮮，特別是在二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用尤為明顯，巧賦特值可減少運(yùn)算量。二項(xiàng)式中“最大項(xiàng)、最小項(xiàng)”的求解策略二項(xiàng)式定理中涉及最大項(xiàng)、最小項(xiàng)的問題比較多，問題的給出都是滿足一定條件的指定項(xiàng)或特殊項(xiàng)，通常都可以利用通項(xiàng)來解決在求解中，要注意系數(shù)的符號對求解的影響及項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的異同二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)問題例已知的展開式中，第項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)分析：要注意展開式中二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別，根據(jù)條件先確定的值，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解解：的展開式中，第項(xiàng)、第項(xiàng)、第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為由題意得，即或14當(dāng)=7時(shí)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為和，當(dāng)14時(shí)，展

7、開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為，評注：求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，為奇數(shù)時(shí)中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，為偶數(shù)時(shí)中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大項(xiàng)問題例已知的展開式中，末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于121，求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解：末三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為，由題設(shè)，得，即，舍去），設(shè)項(xiàng)，項(xiàng)和的系數(shù)分別為，和，則設(shè)最大，則可知11或=12展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是例求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)解：展開式共有項(xiàng)，系數(shù)最大的項(xiàng)必為正項(xiàng)，即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取得，又因括號內(nèi)的兩項(xiàng)中后項(xiàng)系數(shù)的絕對值大于前項(xiàng)系數(shù)絕對值，故系數(shù)最大的項(xiàng)必在中間或偏右，故只需比較和兩項(xiàng)系數(shù)大小即可，所以系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)，評注：求二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，一般采用列不等式，解不等式的方法求得，也可通過對問題的分析和推理，使解題過程得到簡化二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)系數(shù)最大（?。╉?xiàng)問題例4已知的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為11，求展開式中項(xiàng)系數(shù)的最小值解：，3時(shí)，上式有最小值22即展開式中項(xiàng)系數(shù)的最小值是22.評注：對于此類問題，可