波動方程的應用：海洋中的聲傳播 理論

1、 波動方程的應用：海洋中的聲傳播理論波動方程或稱波方程(wave equations）由麥克斯韋方程組導出的、描述電磁場波動特征的一組微分方程，是一種重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動現(xiàn)象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波和水波。波動方程抽象自聲學，電磁學，和流體力學等領域。本篇論文將從聲傳播理論出發(fā)來了解波動方程在海洋科學中的應用。首先利用一幅圖來介紹聲場常用分析方法。波動理論（簡正波方法）是研究聲信號的振幅和相位在聲場中的變化，它適用低頻，數(shù)學上復雜、物理意義不直觀的聲場分析方法。在封閉空間或半關閉空間，反射波的互相干涉要形成一系列的固有振動，稱之為簡正波。簡正方式理論是引用量子

2、力學中本征值的概念并加以發(fā)展而形成的。本篇論文將從介紹波動方程和兩種基礎生場中的簡正波兩部分來討論。波動方程在理想海水介質(zhì)中，小振幅波的運動方程、連續(xù)性方程和狀態(tài)方程：引入新變量：考慮簡諧波，則有：備注：不是聲場勢函數(shù)，K不是波數(shù)，且均為三維空間函數(shù)。在海水中，與聲速相比密度變化很小，將其視為常數(shù)，則有：如果介質(zhì)有外力作用，例如有聲源情況，則有：1.5定解條件 定解條件就是滿足物理問題的具體條件1.5.1邊界條件 邊界條件是物理量在介質(zhì)邊界上必須滿足的條件1.5.1.1絕對軟邊界條件 假定聲壓為零為絕對軟邊界條件，可設 界面方程： 界面聲壓：此時此條件為第一類齊次邊界條件 如果已知邊界面上的壓

3、力分布，則有：此條件為第一類非齊次邊界條件1.5.1.2絕對硬邊界條件 假定法向質(zhì)點振速為零為絕對硬邊界條件 此時界面方程： 界面聲壓： 此為第二類齊次邊界條件如果已知邊界面上的質(zhì)點振速分布，則有：此為第二類非齊次邊界條件1.5.1.3混合邊界條件 此時條件為壓力和振速線性組合 形式如此式： 若a為常數(shù)，則為第三類邊界條件若，則為阻抗邊界條件：1.5.1.4邊界上密度或聲速有限間斷邊界上壓力和法向質(zhì)點振速連續(xù)，可表示如下式: 若壓力不連續(xù)，質(zhì)量加速度趨于無窮；若法向振速不連續(xù)，邊界上介質(zhì)“真空”或“聚集”。1.5.2輻射條件 無窮遠處沒有聲源存在時，其聲場應具有擴散波的性質(zhì)。1.5.2.1平面

4、波情況 1.5.2.2柱面波情況 1.5.2.3球面波情況*這種條件也稱之為索末菲爾德（Sommerfeld）條件。1.5.3奇性條件對于聲源輻射的球面波，在聲源處存在奇異點，即 不滿足波動方程；如果引入狄拉克函數(shù)，它滿足非齊次波動方程根據(jù)狄拉克函數(shù)的定義， 下列將證明非齊次波動方程正確性證：簡諧球面波有：體積積分后為：利用高斯定理：證明左端右端，證畢。1.5.4初始條件當求遠離初始時刻的穩(wěn)態(tài)解，可不考慮初始條件。2. 波動聲學2.1、硬底均勻淺海聲場 硬底均勻淺海聲場的波導模型為上層為均勻水層，下層為硬質(zhì)均勻海底，海面和海底均平整。2.1.1簡正波由于問題圓柱對稱性，則水層中聲場滿足波動方程

5、：在圓柱對稱情況下，根據(jù)狄拉克函數(shù)定義可求得： 常數(shù)A與聲源強度有關，不失一般性取A=1，則有：常數(shù)A與聲源強度有關，不失一般性取A=1，則有：常數(shù)A與聲源強度有關，不失一般性取A=1，則有： 令 ，由分離變量法可求得本征函數(shù)通解： 根據(jù)邊界條件： 自由海面： 硬質(zhì)海底：根據(jù)正交歸一化條件：同理可得 的解（零階貝塞爾方程）：此時聲場中聲壓為：在遠場，根據(jù)漢克爾函數(shù)近似表達式：n階簡正波表達式：*每階簡正波沿深度z方向作駐波分布、沿水平r方向傳播的波；不同階數(shù)的簡正波其駐波的分布形式不同。 2.1.2.截止頻率2.1.2.1簡正波階數(shù)最大值： 當簡正波數(shù)n>N時，水平波數(shù)變?yōu)樘摂?shù)，簡正波振

6、幅隨r作指數(shù)衰減。在遠場，聲場可表示成有限項： 2.1.2.2臨界頻率：臨界頻率是最高階簡正波傳播頻率 聲源激發(fā)頻率時，波導中不存在第N階及以上各階簡正波的傳播。2.1.2.3截止頻率：截止頻率是簡正波在波導中無衰減傳播的最低臨界頻率聲源激發(fā)頻率時，所有各階簡正波均隨距離按指數(shù)衰減，遠場聲壓接近為零。2.1.3相速度和群速度相速：等相位面的傳播速度（振動狀態(tài)在介質(zhì)中的傳播速度） 群速：聲波能量的傳播速度簡正波的群速小于相速。 相速：虛斜線沿r方向傳播速度群速：波形包絡傳播速度2.1.4傳播損失2.1.4.1傳播損失假設單位距離處聲壓振幅為1，則遠處傳播損失為：當 和 均為實數(shù)時，可得：當聲傳播

7、條件充分不均勻，簡正波之間相位無關：對于硬質(zhì)海底的淺海聲場的傳播損失： 假設聲源和接收器適當遠離海面和海底：在0和1之間隨機取值 0和1之間隨機取值 在0和1之間隨機取值 如果波導中簡正波個數(shù)較多：深度取平均后，傳播損失為：此時聲能被限制在層內(nèi)，隨距離r作柱面波衰減。2.1.4.2聲波掠射角和聲源位置2.1.4.2.1 掠射角掠射角變化在傳播損失中：此時分為兩種情況，分別為硬質(zhì)海底與非絕對硬質(zhì)海底1）硬質(zhì)海底：2）非絕對硬質(zhì)海底：帶入了掠射角變化在傳播損失，可以得出非絕對硬質(zhì)海底傳播損失大于硬質(zhì)海底的TL值。2.1.4.2.2聲源位置 聲源位于海面附近，TL變大；聲源位于海底附近，TL變小。2.2 液態(tài)海底均勻淺海聲場波導模型（Pekeris模型分層介質(zhì)模型）：液態(tài)海底沒有切變波，其聲速通常大于海水聲速，但對于高飽和海底沉積層會出現(xiàn)相反情況。液態(tài)海底均勻淺海聲場的簡正波 同硬質(zhì)海底情況一樣，可以求得液態(tài)海底均勻淺海聲場底簡正波為： 在液態(tài)下半空間中，振幅沿深度按指數(shù)規(guī)律衰減，頻率越高，振幅衰減越快。高頻聲波在界面發(fā)生全反射時，能量幾乎全被反射會水層中，波的能量幾乎被限制在層內(nèi)傳播。2.2.2截