例析含雙量詞的數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化

1、例析含雙量詞的數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化安徽省板陽縣會宮中學(xué)(246740)朱賢良付朝華我們知道，含量詞的數(shù)學(xué)問題不僅考查到邏輯推理知識，還涉及到相關(guān)的數(shù)學(xué)知識和重要的數(shù)學(xué)思想方法.而求解含兩個量詞的數(shù)學(xué)問題比求解單量詞的數(shù)學(xué)問題更為復(fù)雜，是考查考生對所學(xué)數(shù)學(xué)知識掌握理解水平與數(shù)學(xué)思維能力的一種重要題型，在高考與競賽中屢見不鮮.本文擬在對含單個量詞的數(shù)學(xué)問題理解的基礎(chǔ)上，以含兩個量詞的數(shù)學(xué)問題為研究對象，歸納總結(jié)出含雙量詞的數(shù)學(xué)問題中參數(shù)范圍的 求解方法.類型一任意-任意”型這類問題的表現(xiàn)形式為：x1 D1, x2 D2,不等式成立.a 一1【例1】(2008天津)已知函數(shù)f x x b x 0 ,其中a

2、,b R.若對于任意的a ,2 ,不x2一，1等式f x <10在1,1上恒成立，求b的取值范圍4【解析一】先看成關(guān)于x的不等式恒成立，再看成關(guān)于a的不等式恒成立，逐步確定主元.a由題知f (x) 1 )，結(jié)合a 0,可得f(x)的單調(diào)性與極值情況如下： xx(，插Va(va,0)(0,國y函，)f (x)十0一一0十f(x)極大值極小值11故f (x)在-,1上的最大值為f( )與f(1)的較大者 4411由題意，對于任意的 a 1,2,不等式 f (x)< 10在，1上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng) f(x)max<10,即 24一 139 .f(4)T0,即八1 4a對任意的a 1,

3、2成立.2f(1尸 10 b< 9 a2從而得b< 7,所以滿足條件的b的取值范圍是(,-.44【解析二】分離雙主元a與x,再轉(zhuǎn)化為兩個獨立函數(shù)的最值大小問題，一步到位.1b< 10在7,1上恒成乂1a12,2由題忌，任后J勺a 一,2,不等式x 2x12x -,1 ,a < x (10 b)x41 a ,22即2w 162< 110 b410 b7 b< - -412x -,1 ,amax < x2 (10 b)xmin，4【評注】求解多元變量的不等式恒成立問題，通常可以利用逐步確定主元的策略.在本例中，涉及到的變量有三個，固定 a與b，先解決關(guān)于x

4、的不等式恒成立問題，進(jìn)而求解關(guān)于a的不等式恒成立問題，是為思路一.一般地，若雙主元易于分離，可分離之，則問題演變?yōu)椤?X D1, x2 D2，f(x1)&g(x2)"，等價于 D1,x2 D2 時，f(x1)max & g(x2)min"，從而實現(xiàn)一步到位，是為思路二.類型二任意-存在”型這類問題的表現(xiàn)形式有二：x1 D1, x2 D2，等式成立；x1 D1, x2 D2，不等式成立.4x【例 2】(1)已知 f(x) ,x (0,2);設(shè) a 0，g(x) ax a,x (0,2) .若對任意 x (0,2)， x 1總存在x2 (0,2)，使f(x1)

5、g(x2)，求實數(shù)a的取值范圍.1 a(2) (2010 山東)已知函數(shù) f(x) lnx ax 1 (a R). x1 ，. . (I )當(dāng)a 一時，討論f (x)的單倜性； 22 _.1,(n)設(shè) g(x) x 2bx 4.當(dāng) a 時，若對任意 x (0,2),存在 x21,2,使 f(x1) g(xz)，4求實數(shù)b取值范圍.解析：(1) x1 (0,2)，x2 (0,2)，f(x。 gd)x1 (0,2), x2 (0,2)時，函數(shù)f(x1)值域是g(x2)值域的子集. 4x 4先求函數(shù)f(x，)的值域：x1 (0,2)時，f(x1)1，其值域為(0,2;'1 x工x1x再求函數(shù)

6、g(x2值域：當(dāng)a 0時，g(x2) ax2 a在(0,2)上遞增，其值域為(a,a);當(dāng) a 0 時，g(x2)ax2 a在(0,2)上遞減，其值域為(a, a).)增;2) (2,).a 0 a 0題意等價于或(0,2( a,a) (0,2(a, a)(2)第(I )問答案為：當(dāng)a 0時，f (x)在(0,1)減，(1,一 1-11當(dāng) 0 a 時，f(x)在(0,1)減，(1- 1)增，(一1,)減;2aa1 一當(dāng)a 時，f(x)在(0,)減. 2第(n)問中， 為(0,2),X21,2,使 fM) g(X2)(0,2) , X21,2 時，f(X1)min g(X2)min.11由(I)

7、知，a -,X1 (0,2)時，f(X1) m. f(1)-.2又 g%) X22bX2 4, X21,2 ,1當(dāng) b1 時，g(X2)min g(1) 52b,故252b b2,1/, 2.當(dāng) 1b 2時，g(X2)min g(b)4b ,故24bb一117當(dāng) b 2時，g(X2)ming(2) 8 4b,故 一8 4b b .28綜上，b178【評注】這種 任意-存在”型問題的常見題型及具體轉(zhuǎn)化策略為: X1 D1, X2 D2, f(X1) g(X2)f (X1)在D1上的值域g(X2)在D2上的值域；X1D1, X2D2, f (X1) g(X2)f (X)在D1上的最小值g(X2)在

8、D2上的最小值；X1D1, X2 D2, f(X1) g(X2)f (X1)在D1上的最大值g(X2)在D2上的最大值讀者可以小試下例:【例3】(1 ) (2008天津)設(shè)a 1 ,若對于任意的x a ,2a ,都有ya, a2滿足方程log a x log a y 3 ,這時a的取值的集合為()C. a 2< a< 3 D. 2,33(答案：由題意，x a,2a , y a,a2 ,y .xa,2a 時，y3的值域是a,a2X的一個子集2即- ,a22a,a2 a 2.)(2)設(shè)a 1 ,若對于 xa,2a , y a,2a滿足logaX loga y 3,這時a的取值范圍3a(

9、答案：由題息，x a, 2a , y a, 2a , 一 y .3 a 即x a,2a ,y a, a 時，一的取大值小于y的取大值，即a 2a 1 a 2.)x類型三存在-存在”型這類問題的表現(xiàn)形式也有兩種：x1D1,x2D2,等式成立；x1D1,x2D2,不等式成立.【例4】(1)若實數(shù)m 0,存在為1,272 ,x21,1滿足方程 尿8 mx2 1 ,這時m的取值范圍為 .(2)若實數(shù)m 0,存在x 1,2夜,x21,1滿足不等式 Jx； 8& mx2 1 ,這時m的取值范圍為 .【解析】(1)記函數(shù)f(x1)N 8, x1 1,2/，g(x2) mx2 1,x21,1 .則題意

10、中,x11,2 .2 ,x21,1，f(x1) g(x2)x11,2 2 ,x21,1 時,函數(shù)f(x1)值域與g(x2)值域的交集非空.即 m,4°1m,1 mm 03,41 m,1 mm 01 m> 3或m 01 m> 3(2)題意中，x11,2 2 ,x21,1， f (x1)< g(x2)x11,2 2 ,x21,1 時，函數(shù) f(x1)min < g(x2)max.m 0 T即或3< 1 mm > 3< 1 m2或 m< 2.【評注】本例中這種雙主元的存在-存在”型問題的轉(zhuǎn)化策略可總結(jié)為:x1 D”x2 D2,f(x1)g(x

11、2)f (x1)在D1上值域與g(x2)在D2上值域的交集非空；x1 D1, x2 D2 , f (x1)g(x2)f (x1)在D1上的最大值g(x2)在D2上的最小值.【變式】已知函數(shù)f(x)2ax33ax21 ， g(x)a3x -,其中 a 0.42(1)若對任意 x10,20,2,都有“為)g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍;(3)(4)若對任意x2若對任意0,20,2若存在x10,2,，總存在x1,總存在x20,2,使得0,2,使得f(x1) g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍;f(x1) g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍;x2 0,2,使得f (x1) g(x2)成立，求實數(shù)a

12、的取值范圍;(5)若存在 x1 0,2,X2 0,2,使得f (Xi) g(X2)成立，求實數(shù)a的取值范圍【參考答案】由題意，f (x) 6ax2 6ax 6ax(x 1), a 0 ,故有X0(0,1)1(1,2)2f (X)0+0-f(x)1Z極大值1 a1 4a(1)任意 X 0,2 , X2 0,2,都有 ”)g(X2)成立 f (XLgMLn ,即 f(1) g(0),一 31即 1 a 一，即 一 a 0. 22(2)任意X20,2，總存在X1 0,2,使得f(X1)g(X2)成立g(X2)在0,2上的值域是f國)在0,2上值域的子集，即3,a31 4a,1 a,即 -<1

13、a,即 a< -.222222(3)任意 X1 0,2,總存在 X2 0,2,使得 f(X1) g(X2)成立f(X1)maxg(X2)max ,即 f (1) g(2)(4)存在x10,2 , X2 0,2,使得 f(x1) g(x2)成立f (X1)的值域與g(x2)的值域的交集非、一3空，即1 4a,1 a- 232rr3 rr1,即1 a) 即 a< .22(5)存在為0,2 , x20,2,使得 f(x1) g(x2)成立f (X1)maxg(X2)min ,即 f (1) g(0),中，即 1 a a 3,即 1 a 0. 2 2即 1 a 3 ,即 a 1. 22通過對以上例題的求解與總結(jié)，我們可以感悟到在求解含雙量詞數(shù)學(xué)問題中參數(shù)范圍時，關(guān)鍵要