極限和導(dǎo)數(shù) 筆記本

1、三角函數(shù)一公式1.和差化積4個cos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsinsin(+)=sincos+coscossin(-)=sincos-sincos2.積化和差 4個sincos=sin(+)+sin(-)/2cossin=sin(+)-sin(-)/2coscos=cos(+)+cos(-)/2sinsin=-cos(+)-cos(-)/23.基本公式8個sin(2)=2sincoscos(2)=cos2-sin2 =2cos2-1 =1-2sin2 =sin/(1+cos)sin2+cos2=1sec=1/coscsc=1/sintan=sin/c

2、oscot=cos/sintancot=1sincsc=1cossec=1二圖像1正弦函數(shù)2 余弦函數(shù)3正切和余切正切和余切的性質(zhì)由圖象可得: y=tanxy=cotx定義域值域R R 單調(diào)性在上單增(kZ) 在上單減(kZ) 周期性T= T= 對稱性10對稱中心，奇函數(shù)(kZ) 20對稱軸；無10對稱中心，奇函數(shù)(kZ) 20對稱軸；無4.反三角函數(shù)四種三角函數(shù)都是由x到y(tǒng)的多值對應(yīng)，要使其有反函數(shù)，必須縮小自變量x的范圍，使之成為由x到y(tǒng)的對應(yīng).從方便的角度而言，這個x的范圍應(yīng)該（1）離原點(diǎn)較近；（2）包含所有的銳角；（3）能取到所有的函數(shù)值；（4）最好是連續(xù)區(qū)間.從這個原則出發(fā)，我們給出

3、如下定義: 1y=sinx, x的反函數(shù)記作y=arcsinx, x-1,1，稱為反正弦函數(shù). y=cosx, x0, 的反函數(shù)記作y=arccosx, x-1,1，稱為反余弦函數(shù). y=tanx，x的反函數(shù)記作y=arctanx, xR，稱為反正切函數(shù). y=cotx，x(0, )的反函數(shù)記作y=arccotx, xR，稱為反余切函數(shù). 2反三角函數(shù)的圖象由互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖象間的關(guān)系，可作出其圖象. 注:（1）y=arcsinx, x-1,1圖象的兩個端點(diǎn)是（2）y=arccosx, x-1,1圖象的兩個端點(diǎn)是（1，0）和（-1，）. （3）y=arctanx, xR圖象的兩條漸近線是

4、和. （4）y=arccotx, xR圖象的兩條漸近線是y=0和y=. 5、反三角函數(shù)的性質(zhì)由圖象，有y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx定義域-1,1 -1,1 R R 值域0, (0, ) 單調(diào)性在-1，1上單增在-1，1上單減在R上單增在R上單減對稱性10對稱中心（0，0）奇函數(shù)20對稱軸；無10對稱中心非奇非偶20對稱軸；無10對稱中心（0，0）奇函數(shù)20對稱軸；無10對稱中心非奇非偶20對稱軸；無周期性無無無無反三角公式1三角的反三角運(yùn)算arcsin(sinx)=x(x)arccos(cosx)=x (x0, ) arctan(tanx)=x(x)

5、arccot(cotx)=x(x(0, ) 2反三角的三角運(yùn)算sin(arcsinx)=x (x-1,1)cos(arccosx)=x (x-1,1) tan(arctanx)=x (xR)cot(arccotx)=x (xR) 對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)一指數(shù)函數(shù)：定義：函數(shù)叫指數(shù)函數(shù)。定義域?yàn)镽，底數(shù)是常數(shù)，指數(shù)是自變量。為什么要求函數(shù)中的a必須。因?yàn)槿魰r，當(dāng)時，函數(shù)值不存在。，當(dāng)，函數(shù)值不存在。時，對一切x雖有意義，函數(shù)值恒為1，但的反函數(shù)不存在，因?yàn)橐蠛瘮?shù)中的。1、對三個指數(shù)函數(shù)的圖象的認(rèn)識。圖象特征與函數(shù)性質(zhì)：圖象特征函數(shù)性質(zhì)（1）圖象都位于x軸上方；（1）x取任何實(shí)數(shù)值時，都有；（2）圖

6、象都經(jīng)過點(diǎn)（0，1）；（2）無論a取任何正數(shù)，時，；（3）在第一象限內(nèi)的縱坐標(biāo)都大于1，在第二象限內(nèi)的縱坐標(biāo)都小于1，的圖象正好相反；（3）當(dāng)時，當(dāng)時，（4）的圖象自左到右逐漸上升，的圖象逐漸下降。（4）當(dāng)時，是增函數(shù)，當(dāng)時，是減函數(shù)。對圖象的進(jìn)一步認(rèn)識，（通過三個函數(shù)相互關(guān)系的比較）：所有指數(shù)函數(shù)的圖象交叉相交于點(diǎn)（0，1），如和相交于，當(dāng)時，的圖象在的圖象的上方，當(dāng)，剛好相反，故有及。與的圖象關(guān)于y軸對稱。通過，三個函數(shù)圖象，可以畫出任意一個函數(shù)（）的示意圖，如的圖象，一定位于和兩個圖象的中間，且過點(diǎn)，從而也由關(guān)于y軸的對稱性，可得的示意圖，即通過有限個函數(shù)的圖象進(jìn)一步認(rèn)識無限個函數(shù)的圖象

7、。二對數(shù)函數(shù)：定義：如果，那么數(shù)b就叫做以a為底的對數(shù)，記作（a是底數(shù)，N 是真數(shù)，是對數(shù)式。）由于故中N必須大于0。當(dāng)N為零的負(fù)數(shù)時對數(shù)不存在。（1）對數(shù)式與指數(shù)式的互化。由于對數(shù)是新學(xué)的，常常把不熟悉的對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式解決問題，如：（2）對數(shù)恒等式：由將（2）代入（1）得運(yùn)用對數(shù)恒等式時要注意此式的特點(diǎn)，不能亂用，特別是注意轉(zhuǎn)化時必須冪的底數(shù)和對數(shù)的底數(shù)相同。（3）對數(shù)的性質(zhì)：負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)；1的對數(shù)是零；底數(shù)的對數(shù)等于1。（4）對數(shù)的運(yùn)算法則：3、對數(shù)函數(shù)：定義：指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)。1、對三個對數(shù)函數(shù)的圖象的認(rèn)識。圖象特征與函數(shù)性質(zhì)：圖象特征函數(shù)性質(zhì)（1）圖象都位于y軸右側(cè)

8、；（1）定義域：R+，值或：R；（2）圖象都過點(diǎn)（1，0）；（2）時，。即；（3），當(dāng)時，圖象在x軸上方，當(dāng)時，圖象在x軸下方，與上述情況剛好相反；（3）當(dāng)時，若，則，若，則；當(dāng)時，若，則，若時，則；（4）從左向右圖象是上升，而從左向右圖象是下降。（4）時，是增函數(shù)；時，是減函數(shù)。4、對數(shù)換底公式：由換底公式可得：由換底公式推出一些常用的結(jié)論：（1）（2）（3）（4）三指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則1 對數(shù)的運(yùn)算法則：3.對數(shù)函數(shù)換底公式（1）（2）（3）（4）2 指數(shù)函數(shù)運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則定理1：若，則存在，且。定理2：若，則存在，且。定理3：若，則存在，且定理4：設(shè)，則。推論1：若存

9、在，則（為常數(shù)）。推論2：若存在，則（為正整數(shù)）。例子：。推論3：設(shè)為一多項(xiàng)式，當(dāng)。例子：。推論4：設(shè)均為多項(xiàng)式，且，則。1 若 且 ，則必存在（ X-X0）這個公因子，則提出公因子，進(jìn)行運(yùn)算。2 若 且 ，則。3 若 且 ，則。推論5: 設(shè)為自然數(shù)，則。證明：當(dāng)時，分子、分母極限均不存在，故不能用§1.6定理5，先變形：兩個重要的極限重要極限一:公式特征：（1）型極限 ，分子分母的極限都為0。（2）分子是正弦函數(shù)，分子是趨于零的變量。（3）sin后面的變量與分母的變量相同。等價式：變型式：1 2 其它式：重要極限二：公式特征：（1）變量X其無窮大。（2）注意括號里的1/X和X是互為

10、倒數(shù)關(guān)系。等價式：變型：1 2 其它式：無窮小1 無窮小的定義：定義：如果x x0（或x ）時, 函數(shù)f (x) 的極限為零 ,那么把f (x) 叫做當(dāng)x x0（或x ）時的無窮小量，簡稱無窮小。2 注意部分：不能籠統(tǒng)的說某函數(shù)是無窮小，說一個函數(shù)f(x)是無窮小，必須指明自變量的變化趨向。不要把絕對值很小的常數(shù)說成是無窮小，因?yàn)檫@個常數(shù)在xx0（或x）時，極限仍為常數(shù)本身，并不是零。常數(shù)中只有零可以看作是無窮小，因?yàn)榱阍趚x0（或x）時，極限是零。3.無窮小的性質(zhì)在自變量的同一變化過程中，無窮小有以下性質(zhì)：有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小（無窮多個無窮小之和不一定是無窮?。Ｓ邢迋€無窮小的乘積

11、仍是無窮小。有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小。（常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮?。?。無窮小除以具有非零極限的函數(shù)所得的商仍為無窮小。4 無窮小的定理:定理1：設(shè)，則定理2： 設(shè)',', 且lim存在，則 lim= lim5 無窮小的比較 無窮小量階的定義,設(shè).(1)若,則稱是比高階的無窮小量.(2).(3)是同階無窮小量.(4),記為.(5)6 無窮小的等價當(dāng)x0時，三角函數(shù)sinxx ；arcsinxx tanxx ；arctanxx 1-cosx12x2； secx-112x2指數(shù)和對數(shù)函數(shù)ln(x+1)x；ex-1xlogax+1xlna；ax-1xlna冪函數(shù)（1+x)-1

12、x；n1+x xxn21+x-1x2；31+x-1x37等價無窮小的總結(jié)若未定式中的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換，而不改變原式的極限，但是不能濫用等價無窮小代換，對于代數(shù)和中各個無窮小不能分別代換。函數(shù)的連續(xù)性1函數(shù)的增量定義：在函數(shù)y=f (x)中，當(dāng)x由x0（初值）變化到x1（終值）時，終值與初值之差x1-x0叫做自變量的增量（或改變量），記為x= x1-x0.相應(yīng)的，函數(shù)終值f (x)與初值 f (x0)之差y，叫做函數(shù)的增量。注意：增量x可正、可負(fù)；增量y可正、可負(fù)或?yàn)榱恪?函數(shù)y=f (x) 在x0的連續(xù)性當(dāng)x0時，y0。 當(dāng)x0

13、時，y不趨向于零。定義：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其近旁有定義，如果當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處的增量x趨近于零時，函數(shù)y=f(x)相應(yīng)的增量也趨近于零，那么就叫做函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)。用極限表示，就是或定義2：設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其左右近旁有定義，如果函數(shù)y=f(x)當(dāng)x1x0時的極限存在，且等于它在x0處的函數(shù)值f(x0),即那么就稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)必須滿足三個條件：函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0及其左右近旁有定義；存在；例5 試證函數(shù)，在x0處連續(xù)。證明：函數(shù)在x0及其左右近旁有定義 f(0)=0 函數(shù)在x0處連續(xù)。3函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)

14、內(nèi)的連續(xù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間(a，b內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即，就說函數(shù)在點(diǎn)b左連續(xù)。設(shè)函數(shù)在區(qū)間a，b）內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即，就說函數(shù)在點(diǎn)a右連續(xù)。定理：函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)在點(diǎn)x0處既左連續(xù)又右連續(xù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)叫做在該區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，區(qū)間(a,b)叫做函數(shù)的連續(xù)區(qū)間。連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線。4復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，即例6 求解：原式可以推出：當(dāng)時，152函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)必須滿足三個條件，如果這三個條件有一個不滿足，則稱在點(diǎn)不連續(xù)（或間斷），并稱點(diǎn)為的不連續(xù)點(diǎn)或者間斷點(diǎn)。間斷點(diǎn)的分

15、類：第一類間斷點(diǎn)：，但，或者無意義。不是第一類間斷點(diǎn)的其他間斷點(diǎn)都稱為第二類間斷點(diǎn)。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有最大值和最小值。注意：若區(qū)間是開區(qū)間，定理不一定成立。若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)，定理不一定成立。推論：在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有界。性質(zhì)2 如果函數(shù)在上連續(xù)，且0，那么至少存在一點(diǎn)(a,b)，使得。對于方程0，若滿足性質(zhì)2中的條件，則方程在(a,b)內(nèi)至少存在一個實(shí)根，又稱為函數(shù)的零點(diǎn)。例7 證明方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個根。證明：設(shè)，在上是連續(xù)的，又因?yàn)?0 20根據(jù)性質(zhì)2，至少存在一點(diǎn)（0，1），使即 從而證得方程在區(qū)間（0，1）內(nèi)至少有一個根。

16、判斷命題是否正確：如果函數(shù)在上有定義，在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且0，那么 在(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn)。解答：不正確。例如函數(shù)在（0，1）內(nèi)連續(xù)，·2e0，但在（0，1）內(nèi)無零點(diǎn)。 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)定義1 設(shè)f為定義在數(shù)集D上的函數(shù)，若存在，使得對一切有，則稱f在D上有最大（最小值）值，并稱為f在D上的最大（最小值）值.定理4.6 (最大最小值定理) 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間 上有最大值與最小值。推論：（有界性）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間 上有界。定理4.7(介值性定理) 若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，若為介于之間的任何實(shí)數(shù)（或）,則在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得 .acf(

17、b)f(a)x0b推論（根的存在定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且異號，則至少存在一點(diǎn)使得.即在內(nèi)至少有一個實(shí)根.0應(yīng)用介值性定理，還容易推得連續(xù)函數(shù)的下述性質(zhì)：若在區(qū)間a,b上連續(xù)且不是常量函數(shù),則值域也是一個區(qū)間；特別若為區(qū)間a,b,在a,b上的最大值為,最小值為，則；又若為a,b上的增（減）連續(xù)函數(shù)且不為常數(shù)，則例4 設(shè)在a,b連續(xù)，滿足 （5）證明：存在，使得 （6）證 條件（5）意味著：對任何有，特別有 以及 .若或，則取，從而（6）式成立?，F(xiàn)設(shè)與。令，則，. 有根的存在性定理，存在 ，使得即. 反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8（反函數(shù)的連續(xù)性）若函數(shù)在閉區(qū)間嚴(yán)格遞增（遞減）且連續(xù)，則其反函數(shù)在

18、相應(yīng)的定義域 （）上遞增（遞減）且連續(xù)。證明 （只證明f(x)嚴(yán)格遞增情況）由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值性，反函數(shù)存在，而且其定義域?yàn)?。 設(shè) ，且x1 x0x2 ba0y2y0y1f(b)f(a)則 ，對任給的可在的兩側(cè)各取異于的兩點(diǎn)（），使它們與的距離小于（參見右圖）.設(shè)，由函數(shù)的嚴(yán)格遞增性，必分別落在的兩側(cè)，即當(dāng) .令，則當(dāng)時，對應(yīng)的的值必落在之間，從而.應(yīng)用單側(cè)極限的定義，同樣可證在區(qū)間端點(diǎn)也是連續(xù)的。例5 由于在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，故反函數(shù)在區(qū)間-1，1上連續(xù)。同理，由反函數(shù)連續(xù)性定理可得其他反三角函數(shù) 在其定義域內(nèi)是連續(xù)的。例6由于 （為正整數(shù)）在嚴(yán)格上單調(diào)且連續(xù)，所以它的反函數(shù)在上

19、連續(xù)。又若把（為正整數(shù)）看作由 與的復(fù)合，。綜上可知，（q為非零整數(shù)）其定義域內(nèi)是連續(xù)的。例7 證明：有理冪函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù). 證明：設(shè)有理數(shù)，這里為整數(shù)。因?yàn)榕c均在其定義區(qū)間上連續(xù)，所以復(fù)合函數(shù) 也是其定義區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)教學(xué)目的：理解函數(shù)連續(xù)的概念，會判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型，了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)。教學(xué)重點(diǎn)：連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)的分類教學(xué)難點(diǎn)：連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)的分類教學(xué)過程：一、 函數(shù)的連續(xù)性對，當(dāng)自變量從變到，稱叫自變量的增量，而叫函數(shù)的增量定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)

20、的增量也趨于零，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)它的另一等價定義是：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)當(dāng)時的極限存在，且等于它在點(diǎn)處的函數(shù)值，即，那么就稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)下面給出左連續(xù)及右連續(xù)的概念如果存在且等于，即，就說函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)如果存在且等于，即，就說函數(shù)在點(diǎn)右連續(xù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)如果區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)有定義在此前提下，如果函數(shù)有下列三種情形之一：1在沒有定義；2雖在有定義，但不存在；3雖在有定義，且存在，但

21、；則函數(shù)在點(diǎn)為不連續(xù)，而點(diǎn)稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)下面我們來觀察下述幾個函數(shù)的曲線在點(diǎn)的情況，給出間斷點(diǎn)的分類： 在連續(xù) 在間斷，極限為2 在間斷，極限為2 在間斷，左極限為2，右極限為1 在 間斷在間斷，極限不存在像這樣在點(diǎn)左右極限都存在的間斷，稱為第一類間斷，其中極限存在的稱作第一類間斷的可補(bǔ)間斷，此時只要令，則在函數(shù)就變成連續(xù)的了；被稱作第一類間斷中的跳躍間斷被稱作第二類間斷，其中也稱作無窮間斷，而稱作震蕩間斷就一般情況而言，通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，那么稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn)在第一類間斷點(diǎn)中，左、右

22、極限相等者稱為可去間斷點(diǎn)，不相等者稱為跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)顯然是第二類間斷點(diǎn)例1確定a、b使在處連續(xù)解：在處連續(xù)因?yàn)?；所以時，在處連續(xù)例2求下列函數(shù)的間斷點(diǎn)并進(jìn)行分類1、分析：函數(shù)在處沒有定義，所以考察該點(diǎn)的極限解：因?yàn)?，但在處沒有定義所以是第一類可去間斷點(diǎn)2、分析：是分段函數(shù)的分段點(diǎn)，考察該點(diǎn)的極限解：因?yàn)?，而所以是第一類可去間斷點(diǎn)總結(jié)：只要改變或重新定義在處的值，使它等于，就可使函數(shù)在可去間斷點(diǎn)處連續(xù)3、分析：是分段函數(shù)的分段點(diǎn)，且分段點(diǎn)左右兩側(cè)表達(dá)式不同，考察該點(diǎn)的左、右極限解：因?yàn)?；所以是第一類跳躍間斷點(diǎn)4、分析：函數(shù)在處沒有定義，且左、右極限不同，所以考察該點(diǎn)的單側(cè)極限解：因?yàn)?；所以是第一類跳躍間斷點(diǎn)5、解：因?yàn)樗允堑诙悷o窮間斷點(diǎn)6、解：極限不存在所以是第二類振蕩間斷點(diǎn)7、求的間斷點(diǎn)，并將其分類解：間斷點(diǎn)：當(dāng)時，因，故是可去間斷點(diǎn)當(dāng)時，因，故是無窮間斷點(diǎn)小結(jié)與思考：本節(jié)介紹了函數(shù)的連續(xù)性，間斷點(diǎn)的分類1、求分