正弦定理練習(xí)題

1、第一章 解三角形一、選擇題.1. 在ABC 中，b = 8，c =，SABC =，則A 等于( )A. 30 º B. 60º C. 30º 或 150º D. 60º 或120º2. 在ABC中，若a = 2b sin A，則B為( )A. B. C.或 D.或3. ABC中，下述表達(dá)式：sin(A + B)+ sinC；cos(B + C)+ cosA；，其中表示常數(shù)的是( )A. 和 B. 和C. 和 D. 4. 在ABC中，“A = B”是“sin A = sin B”的( )A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充

2、要條件 D. 即不充分又不必要條件5. 已知 a，b，c 是ABC三邊的長(zhǎng)，若滿足等式(a + b - c)(a + b + c)= ab，則C的大小為( )A. 60º B. 90º C. 120º D. 150º 6. 若ABC滿足下列條件： a = 4，b = 10，ÐA = 30°； a = 6，b = 10，ÐA = 30°； a = 6，b = 10，ÐA = 150°； a = 12，b = 10，ÐA = 150°； a + b + c = 4，ÐA

3、 = 30°，ÐB = 45°.則ABC恰有一個(gè)的是( )A. B. C. D. 7. ABC中，若 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C，則ABC 是( )A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等腰三角形8. ABC中，若a，b，c成等差數(shù)列，則B的取值范圍是( )A. B. C. D. 9. 在ABC中，若C = 60º，則cos A cos B的取值范圍是( )A. B. C. D. 以上都不對(duì)10. ABC 中，若其面積 S =(a2 + b2 - c2)，則C =( )A. B. C. D. 二、填空題

4、.1. 在ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C = 2 : 3 : 4，那么cos C等于 .2. 若ABC的三內(nèi)角ÐA，ÐB，ÐC滿足 sin A = 2sinCcos B，則ABC為 三角形.3. 若ABC的三邊長(zhǎng)分別為4，5，7，則ABC的面積 =， 內(nèi)切圓半徑 = . 4.若ABC的三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，則cos2 A + cos2 C的最小值為 .5. 一船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在北偏東處；行駛4 h后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在北偏東處. 這時(shí)船與燈塔的距離為 km. 6. 在ABC中，已

5、知 AB = l，C = 50°，當(dāng)B = 時(shí)，BC的長(zhǎng)取得最大值.三、解答題.1. 如圖ABC中，點(diǎn)D在邊 BC上，且BD = 2，DC = 1，B = 60°，ADC = 150°，求AC的長(zhǎng)及ABC的面積.2. 在ABC中，A = 45°，B : C = 4 : 5，最大邊長(zhǎng)為10，求角B，C，ABC外接圓半徑R及面積S.3. 在ABC中，a，b，c分別為角 A，B，C的對(duì)邊，且. (1)求A的大?。?2)若a =，b + c = 3，求b和c的值.4. 海中有一小島，周圍3.8海里內(nèi)有暗礁. 一軍艦從A地出發(fā)由西向東航行，望見(jiàn)小島B正好在北偏東7

6、5° 的位置；航行8海里到達(dá)C處，望見(jiàn)小島B在北偏東60°的位置. 若此艦不改變艦行的方向繼續(xù)前進(jìn)，此艦有沒(méi)有觸礁的危險(xiǎn)？參考答案一、選擇題.1. C【解析】 bc sin A = 16， sin A =，A = 30° ，或 150° .2. D【解析】 =， ， sin B =， B =，或p.3. C【解析】 sin(A + B)+ sin C = 2sin C，不一定為常數(shù).cos(B + C)+ cos A = - cos A + cos A = 0，tantan= tantan= cottan= 1. 和為常數(shù).4. C【解析】 A = Bs

7、in A = sin B，若sin A = sin B，又 A + Bp， A = B.5. C【解析】 原式可化為 a2 + ab + b2 - c2 = 0， cos C = -， C120°.6. C【解析】 bsin A = 10×sin 30° = 5，且45， ABC不存在. bsin A = 10×sin 30° = 5，且5610， ABC有兩解. A = 150° 且ab， ABC不存在. A = 150° 且ab， ABC有一解. 由已知，得C = 105°.當(dāng)時(shí)，各邊有正數(shù)解. ABC有一解.

8、 符合題條件.7. B【解析】 sin(A + B)sin(A - B)= sin2 C， sin C sin(A - B)= sin2 C. C(0，)， sin(A - B)= sin C = sin(A + B). sin A cos B - cos A sin B = sin A cos B+ cos A sin B， cos A sin B = 0， A =. ABC為直角三角形.8. A【解析】 2b = a + c， 4b2 = a 2 + c2 + 2ac. cos B = 1 +. 2b = a + c2. acb2. cos B- 1=， B.9. A【解析】 cos A

9、cos B = cos(120º- B)cos B=(-cos B +sin B)cos B= -(1 + cos 2B)+sin 2B =sin(2B - 30º)-， B(0º，120º)， -30°2B - 30°210°. 由圖象知cos A cos B.10. C【解析】 由題知ab sin C =(a2 + b2 - c2)， sin C = cos C， C =.二、填空題.1. -【解析】 因?yàn)閟in A : sin B : sin C = a : b : c = 2 : 3 : 4，所以設(shè) a = 2k，b

10、 = 3k，c = 4k.cos C = -.2. 等腰.【解析】 sin A = sin(B + C)= 2sin C cos B， sin B cos C + cos B sin C = 2 sin C cos B，tan B = tan C， B，C(0，p)， B = C.即為等腰三角形.3. 4；.【解析】 cos a = -， sin a =. S =×4×5×= 4. ， .4. .【解析】 C + A = 2B， B =.設(shè)A =- x，C =+ x，則cos2 A + cos2 C = cos2（- x）+ cos2（+ x）=（cos x +s

11、in x）2 +（cos x -sin x）2 =cos2 x+sin2 x =+ sin2 x.5. .【解析】 ，BC =××60 = 30.6. 40°.【解析】 ， BC =， sin(50° + B)= l 時(shí)，BC最長(zhǎng)，此時(shí) B = 40°.三、解答題.1. 【解】在ABC中，BAD = 150º- 60º= 90º， AD = 2sin 60º =.在ACD中，AC2 =()2122××1×cos150º= 7， AC =. AB = 2cos 60&

12、#176; = 1，SABC =×1×3×sin60°=.2. 【解】由A + B + C = 180°，A = 45°，可得 B = 60°，C = 75°.由正弦定理，R = 5().由面積公式，S =bcsin A = c · 2Rsin Bsin A = 7525.3. (1)【解】由及A + B + C = 180°，得21-cos(B + C)-2cos2 A + 1 =， 4(1 + cosA)- 4cos2 A = 5，即4 cos2 A- 4cos A + 1= 0， cos A =， 0°A180°， A = 60°.(2)【解】由余弦定理，得， cos A =， =， (b + c)2 - a2 = 3bc.將a =，b + c = 3代入上式，得bc = 2.由 得 或 4.【解】如圖，過(guò)點(diǎn)B作BDAE且交AE于D. 由已知，AC = 8，ABD = 75º，CB