正余弦定理與解三角形

1、正余弦定理與解三角形（一）-解三角形中的元素【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的推導(dǎo)及聯(lián)系，2.運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換【自主先學(xué)】1、在ABC中，AB，AC1，B30°，ABC的面積為，則C_. 60°2、設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則角A的大小為_(kāi). 3、已知ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2b2c2bc，bc4，則ABC的面積為_(kāi). 4、在ABC中，a3，b，A，則B_. 5、設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2，cos

2、 C，3sin A2sin B，則c_. 4【質(zhì)疑拓展】：題型1判斷三角形的形狀【例1】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，根據(jù)下列條件判斷三角形形狀：（1），且，則的形狀是_三角形（2），則的形狀是_三角形（3），則ABC的形狀為_(kāi)三角形 答案等腰或直角題型2【例2】在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足a2b2c2bc0，2bsin Aa，BC邊上中線(xiàn)AM的長(zhǎng)為.(1)求角A和角B的大?。?2)求ABC的面積.解(1)由a2b2c2bc0，得b2c2a2bc，cos A，A，由2bsin Aa，得ba，BA.(2)設(shè)ACBCx，由余弦定理，得AM2x22x··()2，解

3、得x2，故SABC×2×2×2.題型3【例3】【變式訓(xùn)練】【反思小結(jié)】：【檢測(cè)反饋】：1. 在ABC中，已知a3，b，A，則B_. 答案2.在ABC中，已知a，b，B45°，則角A_. 答案60°或120°3在ABC中，AB，AC1，B30°，ABC的面積為，則C_. 答案60°4.已知ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，a2b2c2bc，bc4，則ABC的面積為_(kāi). 答案5.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，則c_. 答案4 6. 在ABC中

4、，已知內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若tan A7tan B，3，則c_. 答案 41.在ABC中，若a2，b，A45°，則C_.答案 105°解析在ABC中，由正弦定理得sin B，因?yàn)閎a，所以BA，所以B30°，C180°AB105°.2.在中, 若， 則的值為 答案：3. 在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊，acos B=5，bsin A12，則a=_.解析：由正弦定理asin B =bsin A12，（asin B）2+（acos B）2=a2=169，所以a=13.3.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，

5、c，C60°，且ab5，c，則ABC的面積為 答案 4. 已知ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則B_.答案5. 在ABC中，A60°，AC2，BC，則AB_.答案：1解析 A60°，AC2，BC，設(shè)ABx，由余弦定理，得BC2AC2AB22AC·ABcos A，化簡(jiǎn)得x22x10， x1，即AB1.6. 在ABC中，B，BC邊上的高等于BC，則cos A_.解析設(shè)BC邊上的高AD交BC于點(diǎn)D，由題意B，BDBC，DCBC，tanBAD1，tanCAD2，tan A3，所以cos A.答案如圖，兩座建筑物AB，CD的高度分別是9m和15m

6、，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角，則這兩座建筑物AB和CD的底部之間的距離 m DCBA（第10題圖）【答案】187.設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿(mǎn)足，求的值答案:47. 如圖，在ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，已知B60°，AD2，AC，DC，那么AB_. 答案 8.在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足a2b2c2bc0，2bsin Aa，BC邊上中線(xiàn)AM的長(zhǎng)為.(1)求角A和角B的大??； (2)求ABC的面積.答案(1) BA； (2) SABC×2×2×2.8.正余弦定理與解三角形（二）-三角形中的不等關(guān)

7、系【自主先學(xué)】1.在鈍角ABC中，a1，b2，則最大邊c的取值范圍_ 答案<c<32. 在銳角中，若，則的取值范圍為 .答案：4. 若的內(nèi)角滿(mǎn)足，則角的最大值是 .解析：由可得：， 在遞減，答案：5. 若一個(gè)鈍角三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，且最大邊與最小邊之比為m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案：(2，)解析設(shè)A為鈍角，C為最小角，則AC120°，C(0°，30°)，由正弦定理得m.而0tan C，則m2.【質(zhì)疑拓展】：題型1正余弦定理與不等式結(jié)合，轉(zhuǎn)化為“解不等式組”【例1】 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊為，若成等比數(shù)列，則的取值范圍是_.思路：由成等比數(shù)列可得：，

8、也可視為，所求表達(dá)式也可視為，如果從角入手，則無(wú)法與聯(lián)系,所以考慮從邊入手.解析：由成等比數(shù)列得，即不妨設(shè)，則，由能構(gòu)成三角形得（布列含的不等式組，同時(shí)“減元”）解之得：.答案：說(shuō)明：（1）也可以特殊化，如設(shè)；（2）上述不等式組中，第三個(gè)恒成立，可省略，想一想，為什么？變題1：設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c，若成等比數(shù)列，則的取值范圍是_答案：變題2：已知中，成等比數(shù)列，則的取值范圍是_答案：題型2正余弦定理與基本不等式結(jié)合，轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求“范圍或最值”【例2】 （1）已知中，成等比數(shù)列，則的取值范圍是_答案：解析：由成等比數(shù)列得，即由余弦定理得（當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)，“=”成立）又因

9、為，所以.（2）若ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足sin Asin B2sin C，則cos C的最小值是_.思路：所求的最值可想到余弦定理用邊進(jìn)行表示，考慮角化邊得到：，進(jìn)而消去計(jì)算表達(dá)式的最值即可解析sin Asin B2sin C.由正弦定理可得ab2c，即c，cos C，當(dāng)且僅當(dāng)3a22b2即時(shí)等號(hào)成立.cos C的最小值為.答案題型3正余弦定理與三角變換結(jié)合，轉(zhuǎn)化為利用三角函數(shù)求“范圍或最值”【例2】 設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.（1）求的大小；（2）求的取值范圍解：（1）由，根據(jù)正弦定理得，所以，由為銳角三角形得（2）由為銳角三角形知，故 ，所以所以的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：要注意對(duì)“銳角三角形”條件

10、的運(yùn)用，注意轉(zhuǎn)化中的“等價(jià)性”，即三個(gè)角均為銳角，進(jìn)一步的將用代換，其目的是確定出“目標(biāo)角”的范圍.滿(mǎn)足銳角的條件也由來(lái)承擔(dān)，這也是在利用等式消元時(shí)所要注意的一點(diǎn)：若被消去的元帶有范圍，則這個(gè)范圍由主元承擔(dān). 變題1：在中，角所對(duì)的邊分別為，已知 （1）求的大?。?）若，求的取值范圍解：（1）由條件可考慮使用正弦定理，將分子進(jìn)行“邊化角” （2）思路：考慮在中，已經(jīng)已知 ，從而可求出外接圓半徑，進(jìn)而與也可進(jìn)行邊角互化。若從邊的角度考慮，則能夠使用的不等關(guān)系只有“兩邊之和大于第三邊”，但不易利用 這個(gè)條件，考慮利用角來(lái)解決 解： 變題2： 在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且 （1）求角 （2）求的取

11、值范圍解：（1）方法一：使用余弦定理 由余弦定理得： 方法二：觀察等式齊次，考慮使用正弦定理 （2） 為銳角三角形 【反思小結(jié)】：【檢測(cè)反饋】：1.設(shè)銳角的三內(nèi)角所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，且，則的取值范圍為 .答案：解析： 由銳角可知：，解得，所以，從而2. 已知中，則的最大值是 【答案】【解析】，；由于又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立即的最小值為 故 的最大值為，故的最大值為解析：由得：化簡(jiǎn)得：所以（由，易知，故）.3. 若一個(gè)銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列，且最大邊與最小邊之比為m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案：1，2)4.在斜角ABC中，則 的最大值是 答案： 5. 若的內(nèi)角滿(mǎn)足，則的最大值是 .答案：

12、6.已知函數(shù).（1）求的對(duì)稱(chēng)中心（2）若銳角中角所對(duì)的邊分別為，且，求的取值范圍解析：（1） 對(duì)稱(chēng)中心為：對(duì)稱(chēng)中心為：（2）由已知可得：（舍）或因?yàn)闉殇J角三角形 .2. 在銳角ABC中，角的對(duì)邊分別為，則的取值范圍是 答案： 變6 在銳角ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且b2a2ac，則的最小值_ 答案：2變7 在中，若，且，則該三角形的面積的最大值為_(kāi) （三角恒等變換和基本不等式的綜合考察，是好題）答案：；解析：將化為邊的關(guān)系可得，變8 在中，若，且，則該三角形的面積的最大值為_(kāi) 答案：在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c， ，則的取值范圍是_ _.答案：解析：由正弦定理得 的取值范圍為 已知在中，且AB邊上的高與邊AB的長(zhǎng)相等，則的最大值是_ _.答案： 解析：看到“高”想面積.由三角形面積公式得，即聯(lián)想到公式特點(diǎn)，強(qiáng)行介入“余弦定理”得.所以當(dāng)時(shí)，的最大值是.變1 已知在中，