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文檔簡(jiǎn)介

1、正余弦定理與解三角形(一)-解三角形中的元素【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的推導(dǎo)及聯(lián)系,2.運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角恒等變換【自主先學(xué)】1、在ABC中,AB,AC1,B30°,ABC的面積為,則C_. 60°2、設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcos Cccos Basin A,則角A的大小為_(kāi). 3、已知ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a2b2c2bc,bc4,則ABC的面積為_(kāi). 4、在ABC中,a3,b,A,則B_. 5、設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a2,cos

2、 C,3sin A2sin B,則c_. 4【質(zhì)疑拓展】:題型1判斷三角形的形狀【例1】的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,根據(jù)下列條件判斷三角形形狀:(1),且,則的形狀是_三角形(2),則的形狀是_三角形(3),則ABC的形狀為_(kāi)三角形 答案等腰或直角題型2【例2】在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足a2b2c2bc0,2bsin Aa,BC邊上中線(xiàn)AM的長(zhǎng)為.(1)求角A和角B的大?。?2)求ABC的面積.解(1)由a2b2c2bc0,得b2c2a2bc,cos A,A,由2bsin Aa,得ba,BA.(2)設(shè)ACBCx,由余弦定理,得AM2x22x··()2,解

3、得x2,故SABC×2×2×2.題型3【例3】【變式訓(xùn)練】【反思小結(jié)】:【檢測(cè)反饋】:1. 在ABC中,已知a3,b,A,則B_. 答案2.在ABC中,已知a,b,B45°,則角A_. 答案60°或120°3在ABC中,AB,AC1,B30°,ABC的面積為,則C_. 答案60°4.已知ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a2b2c2bc,bc4,則ABC的面積為_(kāi). 答案5.設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a2,cos C,3sin A2sin B,則c_. 答案4 6. 在ABC中

4、,已知內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若tan A7tan B,3,則c_. 答案 41.在ABC中,若a2,b,A45°,則C_.答案 105°解析在ABC中,由正弦定理得sin B,因?yàn)閎a,所以BA,所以B30°,C180°AB105°.2.在中, 若, 則的值為 答案:3. 在ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,acos B=5,bsin A12,則a=_.解析:由正弦定理asin B =bsin A12,(asin B)2+(acos B)2=a2=169,所以a=13.3.在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,

5、c,C60°,且ab5,c,則ABC的面積為 答案 4. 已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,則B_.答案5. 在ABC中,A60°,AC2,BC,則AB_.答案:1解析 A60°,AC2,BC,設(shè)ABx,由余弦定理,得BC2AC2AB22AC·ABcos A,化簡(jiǎn)得x22x10, x1,即AB1.6. 在ABC中,B,BC邊上的高等于BC,則cos A_.解析設(shè)BC邊上的高AD交BC于點(diǎn)D,由題意B,BDBC,DCBC,tanBAD1,tanCAD2,tan A3,所以cos A.答案如圖,兩座建筑物AB,CD的高度分別是9m和15m

6、,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角,則這兩座建筑物AB和CD的底部之間的距離 m DCBA(第10題圖)【答案】187.設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿(mǎn)足,求的值答案:47. 如圖,在ABC中,D是BC邊上一點(diǎn),已知B60°,AD2,AC,DC,那么AB_. 答案 8.在ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿(mǎn)足a2b2c2bc0,2bsin Aa,BC邊上中線(xiàn)AM的長(zhǎng)為.(1)求角A和角B的大??; (2)求ABC的面積.答案(1) BA; (2) SABC×2×2×2.8.正余弦定理與解三角形(二)-三角形中的不等關(guān)

7、系【自主先學(xué)】1.在鈍角ABC中,a1,b2,則最大邊c的取值范圍_ 答案<c<32. 在銳角中,若,則的取值范圍為 .答案:4. 若的內(nèi)角滿(mǎn)足,則角的最大值是 .解析:由可得:, 在遞減,答案:5. 若一個(gè)鈍角三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列,且最大邊與最小邊之比為m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案:(2,)解析設(shè)A為鈍角,C為最小角,則AC120°,C(0°,30°),由正弦定理得m.而0tan C,則m2.【質(zhì)疑拓展】:題型1正余弦定理與不等式結(jié)合,轉(zhuǎn)化為“解不等式組”【例1】 設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊為,若成等比數(shù)列,則的取值范圍是_.思路:由成等比數(shù)列可得:,

8、也可視為,所求表達(dá)式也可視為,如果從角入手,則無(wú)法與聯(lián)系,所以考慮從邊入手.解析:由成等比數(shù)列得,即不妨設(shè),則,由能構(gòu)成三角形得(布列含的不等式組,同時(shí)“減元”)解之得:.答案:說(shuō)明:(1)也可以特殊化,如設(shè);(2)上述不等式組中,第三個(gè)恒成立,可省略,想一想,為什么?變題1:設(shè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊a,b,c,若成等比數(shù)列,則的取值范圍是_答案:變題2:已知中,成等比數(shù)列,則的取值范圍是_答案:題型2正余弦定理與基本不等式結(jié)合,轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求“范圍或最值”【例2】 (1)已知中,成等比數(shù)列,則的取值范圍是_答案:解析:由成等比數(shù)列得,即由余弦定理得(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),“=”成立)又因

9、為,所以.(2)若ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足sin Asin B2sin C,則cos C的最小值是_.思路:所求的最值可想到余弦定理用邊進(jìn)行表示,考慮角化邊得到:,進(jìn)而消去計(jì)算表達(dá)式的最值即可解析sin Asin B2sin C.由正弦定理可得ab2c,即c,cos C,當(dāng)且僅當(dāng)3a22b2即時(shí)等號(hào)成立.cos C的最小值為.答案題型3正余弦定理與三角變換結(jié)合,轉(zhuǎn)化為利用三角函數(shù)求“范圍或最值”【例2】 設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.(1)求的大小;(2)求的取值范圍解:(1)由,根據(jù)正弦定理得,所以,由為銳角三角形得(2)由為銳角三角形知,故 ,所以所以的取值范圍為點(diǎn)評(píng):要注意對(duì)“銳角三角形”條件

10、的運(yùn)用,注意轉(zhuǎn)化中的“等價(jià)性”,即三個(gè)角均為銳角,進(jìn)一步的將用代換,其目的是確定出“目標(biāo)角”的范圍.滿(mǎn)足銳角的條件也由來(lái)承擔(dān),這也是在利用等式消元時(shí)所要注意的一點(diǎn):若被消去的元帶有范圍,則這個(gè)范圍由主元承擔(dān). 變題1:在中,角所對(duì)的邊分別為,已知 (1)求的大?。?)若,求的取值范圍解:(1)由條件可考慮使用正弦定理,將分子進(jìn)行“邊化角” (2)思路:考慮在中,已經(jīng)已知 ,從而可求出外接圓半徑,進(jìn)而與也可進(jìn)行邊角互化。若從邊的角度考慮,則能夠使用的不等關(guān)系只有“兩邊之和大于第三邊”,但不易利用 這個(gè)條件,考慮利用角來(lái)解決 解: 變題2: 在銳角中,角所對(duì)的邊分別為,且 (1)求角 (2)求的取

11、值范圍解:(1)方法一:使用余弦定理 由余弦定理得: 方法二:觀察等式齊次,考慮使用正弦定理 (2) 為銳角三角形 【反思小結(jié)】:【檢測(cè)反饋】:1.設(shè)銳角的三內(nèi)角所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為,且,則的取值范圍為 .答案:解析: 由銳角可知:,解得,所以,從而2. 已知中,則的最大值是 【答案】【解析】,;由于又,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立即的最小值為 故 的最大值為,故的最大值為解析:由得:化簡(jiǎn)得:所以(由,易知,故).3. 若一個(gè)銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角成等差數(shù)列,且最大邊與最小邊之比為m,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案:1,2)4.在斜角ABC中,則 的最大值是 答案: 5. 若的內(nèi)角滿(mǎn)足,則的最大值是 .答案:

12、6.已知函數(shù).(1)求的對(duì)稱(chēng)中心(2)若銳角中角所對(duì)的邊分別為,且,求的取值范圍解析:(1) 對(duì)稱(chēng)中心為:對(duì)稱(chēng)中心為:(2)由已知可得:(舍)或因?yàn)闉殇J角三角形 .2. 在銳角ABC中,角的對(duì)邊分別為,則的取值范圍是 答案: 變6 在銳角ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且b2a2ac,則的最小值_ 答案:2變7 在中,若,且,則該三角形的面積的最大值為_(kāi) (三角恒等變換和基本不等式的綜合考察,是好題)答案:;解析:將化為邊的關(guān)系可得,變8 在中,若,且,則該三角形的面積的最大值為_(kāi) 答案:在中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c, ,則的取值范圍是_ _.答案:解析:由正弦定理得 的取值范圍為 已知在中,且AB邊上的高與邊AB的長(zhǎng)相等,則的最大值是_ _.答案: 解析:看到“高”想面積.由三角形面積公式得,即聯(lián)想到公式特點(diǎn),強(qiáng)行介入“余弦定理”得.所以當(dāng)時(shí),的最大值是.變1 已知在中,

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