數(shù)列極限概念

1、第二章數(shù)列極限本章教學(xué)目的與根本要求:1理解數(shù)列極限的概念，建立極限思想；2掌握數(shù)列極限的性質(zhì)，正確計算數(shù)列極限包括重要極限；3掌握數(shù)列極限存在判別法，并正確應(yīng)用它證明極限問題。本章重點：由于極限理論是數(shù)學(xué)分析的理論根底，極限是數(shù)學(xué)分析研究函數(shù)最根本的方法是高等數(shù)學(xué)區(qū)別初等數(shù)學(xué)最顯著的標(biāo)志，本章內(nèi)容皆為本課程的重點，具體地：1 、數(shù)列極限的概念：包括建立極限思想，極限的定義g-N ;2、數(shù)列極限的性質(zhì)與計算數(shù)列極限，包括重要極限；3、數(shù)列極限存在的條件。本章難點：由于學(xué)生入學(xué)后首先學(xué)習(xí)的就是數(shù)學(xué)分析，而極限理論與初等數(shù)學(xué)反差如此之大，使學(xué)生往往難于理解與掌握，故本章內(nèi)容大局部皆為本課程之難點，

2、尤其是：1、極限思想的建立，極限定義與證明；2、子列及其充要條件；3、柯西收斂準(zhǔn)那么，單調(diào)有界定理及應(yīng)用；4、極限不存在的肯定表達(dá)與證明。本章課時安排：總課時14課時，其中第一節(jié)：數(shù)列極限的概念3課時；第二節(jié)： 數(shù)列極限的性質(zhì)4課時；第三節(jié)：數(shù)列極限存在的條件 3課時；習(xí)作課4課時。本章參考書籍：見導(dǎo)論§ 2.1數(shù)列極限概念本節(jié)主要教學(xué)內(nèi)容： 數(shù)列極限的概念。教學(xué)方法與設(shè)計：本節(jié)教學(xué)內(nèi)容既是本課程的重點， 又是本課程的難點， 因此必須引起足夠 的重視。重點講授數(shù)列極限的概念包括實例、描述性定義、精確定義及對:,N的分析，使學(xué)生建立極限的思想，并多以例題訓(xùn)練之，為學(xué)習(xí)后兩節(jié)創(chuàng)造良好的條

3、件。一、極限的概念1、割圓術(shù)我國古代數(shù)學(xué)家劉微魏景元四年公園263年利用正多邊形的周長逼近圓的周長，內(nèi)接正六邊形，十二，二十四，,2n46,"P6p2 >已>>P2n J6 >內(nèi)接正n邊形的周長：Pn31= 2nrsin ，圓周長與內(nèi)接正多n其作法為：邊形的周長的關(guān)系：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以致于不 可割，那么與圓合體而無所失矣。意思是說：以內(nèi)接正多邊形的周長近似代替圓的周長，當(dāng)邊數(shù)增加時，正多邊形的周 長就越接近圓的周長； 當(dāng)邊數(shù)無限增加時， 正多邊形的周長就無限趨近于圓的周長；即這一串內(nèi)接正多邊形的極限位置就是圓周。兩層含義：1 割之彌細(xì)，所失彌

4、少兩周長相差越來越?。? 割之又割，以致于不可割，那么與圓合體而無所失矣，兩個無限。由此得圓的周長的定義：當(dāng)圓的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)n無限增加時，其周長數(shù)列 Pn無限趨于某常數(shù)S,那么稱S為該圓的周長。2、古代哲學(xué)家戰(zhàn)國時代莊周所著的?莊子.天下篇?引用一句話：“一尺之棰，日1111取其半，萬世不竭，把每天截下的局部記錄如下：，2，3n。2 2 2 21不難看出：當(dāng)n無限增加時， 丄 無限限趨近于0,2n般地：對"an 假設(shè)當(dāng)n無限增加時，an無限趨近于某一個常數(shù) a,那么稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)a稱為它的極限，不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂數(shù)列。 二、數(shù)列極限的定義1、考察以下數(shù)列當(dāng)

5、無限增加時 an的變化趨勢：(1)7-1)n丿X-1咕-心數(shù)列1、 2當(dāng)n無限增加時，都有穩(wěn)定的變化趨勢，而3、 4沒有。10、數(shù)列n(-1)nn當(dāng)n無限增加時，an-1nn無限趨近于0,此時我們稱0為數(shù)列(-1)n的極限。該定義乃定性描述而非定量描述，這種定性描述在理論上無法進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)證明，下面給 出精確的定量定義：即將上述定義中“兩個無限定量化第一個“無限增加是條件，第 二個“無限趨近于是結(jié)論，也稱“變化過程 。20、當(dāng)n無限增大時,10 =丄能任意小。所謂“任意小n，就是要有多小，就能有多小，或只要n充分大,1-0 = 就能小于預(yù)先給定的任何任意小的正數(shù)。n如: 10，要1 1只要n10即

6、可，或當(dāng)n 10時，有n 10-10。n10如：對10心號即可，或留神33331041時有3°對：;弋、0 任意小，要當(dāng) n > N 時有一0 £ s ° n數(shù)列少n的極限的定義:=nhLo_o<e ，那么稱數(shù)5n-1的極限。2、數(shù)列極限的定義 ;N設(shè)數(shù)列an, a為常數(shù)，假設(shè)* a0,FN W NN n aN= a. a ve,那么稱a為數(shù)列的極限，或稱an收斂于a,記為：lim an = a或 an“ an 一： '。即：njpclim an = a= a0, EN e N N n > N 二 anacEn假設(shè)an不存在極限，那么稱a

7、n不收斂或稱an為發(fā)散數(shù)列。說明：1關(guān)于;，是由定性描述到定量描述的關(guān)鍵之?dāng)?shù)。io、e是任意小的正數(shù)，只有這樣才能由an - a £乞刻劃an無限趨近于a ；2o、名是相對固定的正數(shù)，從而由an -a £農(nóng)說明an無限趨近于a是漸近的，即 呂的任意性是通過無限多個相對固定的正數(shù)表現(xiàn)出來的。e的雙重性使數(shù)列極限的定義，從近似轉(zhuǎn)化為精確， 又能從精確轉(zhuǎn)化為近似， 一一是定量描述的精髓。3o、c；c 0,、；，；2,2k N與；的意義一樣。k4o、一；0主要是指；為任意小的正數(shù)，因此限制 0：；：丨是合理的2關(guān)于N 充分大的自然數(shù)，n 項數(shù)變化的某一時刻。1°、nN刻劃

8、了“ n無限增大的過程。2°、 N N只強調(diào)存在性，不強調(diào)唯一性及大小，假設(shè)N滿足定義，那么比 N大的數(shù)如N 1> N，2、均滿足定義。3o、N 一般來說與:有關(guān)，；越小N越大，但不是由；唯一決定的。4°、在討論時，限制 N N。是合理的例：證明:(1) lim 1 , (2)n 護(hù) n +135n + n 45lim37 2n -32證明:(1)V® >0,要1n十1n. 1 -1,取 N 二丄 -1 ，那么Wn > N，有 1 < g ,由數(shù)列極限的定義有n +1lim1。n廠n 12分析:35n n -4 52n3-3 一32n +7

9、2(2 n33):;成立，從中解出是很困難的，因為N并不是唯一的,只要找一個較大的 N即可，在此情況下可采用“放大的方法，將an a放大為an a £ f n,再令f n廠:：；，從中解出n ；，取N 十； 即可。2n +72n + 72n + n3 1 當(dāng)1并< &時必有2n + 732(2 n 3)2(n3 +n3 -3)c 32n2n2f，-2n2n2(2n _3)證明：限定于n 7 相當(dāng)于取3個N=7從而n3 -3 . 0故1廿1 1 r 一5n3 + n-45nn，取 N = max7 '，當(dāng)Vn>N時有32®j 2訂2n 32解得:;

10、,由數(shù)列極限的定義知2獲證。說明：1利用；一 n定義證明數(shù)列極限的根本思路：- ；.0 ,令an - a ：；解得n ；，令N = ；一 ；1,然后在n N的條件下，證明an - a ：；成立。2在an -a c g較復(fù)雜時，可采用“放大或“條件放大的方法，將an - a放大為a. -a v f n，f n v名解得n沁，再利用1的思路，此時注意不要忘記條件N N。，即N二maxN0,；亦可不取整n2 1課堂練習(xí)：證明以下數(shù)列極限(1) limA=0.n護(hù)3n -5作業(yè)：P27習(xí)題2 2 5思考題：k(4)唏"n 訃 0(a 皿 k > o),愎 nan = 0(0 <

11、a < O復(fù)習(xí)數(shù)列極限的；-N定義及利用該定義證明極限的方法。例：討論P27習(xí)題1例：證明1常數(shù)列；an =c!的極限是c,即lime二c。(3)(4)證明:lim qn =0.(q <1).n_c1lim0.(二心0).n匸n -lim n a =1.(a0)n >(1 )略(2)假設(shè) q = 0，那么由(1)知 lim 0 = 0.n_c假設(shè) Oeqel，Ve > 0 (限制 0 £ e £ g)，要 qn -0c e，即卩nln q c In呂注意到lu 呂 c0,1n g| <0)，解得 n > ln e/In q，取 N = l

12、n e/In q 】，/n?N 有 qn0v E，由數(shù)列極限的定義有l(wèi)im qn =0。n_Jpe(3)略4 假設(shè)a =1，那么結(jié)論顯然成立；假設(shè)1a 1,an 1，要1 1an 1 =an 1 宀，只要In aIn 1；)假設(shè) 0 ： a ：1.那么令 a 二 1b1111于是b a1.而an -1=bn -1/bn <bn 1，同理可證。冊EN，有十“3、數(shù)列發(fā)散的肯定性表達(dá)。(1)iman =a= WE：>0,mNN,W nN= anac|im._an = a=；00, N, Tn0 N =an°例：證明數(shù)列的極限不是1.證明：日塔=1/2，VN a2, 2n0 =

13、N +1>N,有 1/(% +1) 1 = n0/(n0+1)Z1/2(2)數(shù)列an收劍二a R, 一 ； 0, N N, 一n N = an - a ：；.數(shù)列an發(fā)散=a R,liman = an >二 Pa R, ±0 >0®N e N,三 n。> N=a A%.例、證明數(shù)列k_1n ?發(fā)散。aO.員=1. VN 生。=2N +1= 12Na =1 + ar% 證明：aO. so=1. VN mn。=2N= ,12N a ±1az坯即-aR , a不是數(shù)列_ln珈極限。3 數(shù)列極限的幾何意義：lim an 二 a j ： - ； 0,

14、 TN , - n N= an U a,；n_.二-；0 ,在Ua,；之外至多只有an的有限多項。limanau；。0,在Ua,；。之外有佝的無限多項。n :.注意：所有的項與無限多項的區(qū)別。課堂練習(xí)：1數(shù)列"1_ln/n茁勺極限不是0；2數(shù)列$sin n ?發(fā)散例:p26例7設(shè)limxliya，作數(shù)列Zn:X1, %必2,，Xn,證明：lim zn = anJpC證明：由條件知- ；0,Ua,；之外至多只有 xn與yn的有限多項，從而在Ua,；之外至多只有Zn的有限多項，故有之。思考題：假設(shè)lim xn = a, lim yn二b,a = b，那么zn的收斂性如何。 n 匸n 例：P27例8設(shè)數(shù)列an，而bn為對an增加、減少或改變有限項后所得的數(shù)列，證明an與bn同時收斂或發(fā)散，且在收斂時兩者的極