求軌跡方程的常用方法例題及變式

1、求軌跡方程的常用方法：題型一 直接法此法是求軌跡方程最基本的方法，根據所滿足的幾何條件，將幾何條件直接翻譯成的形式，然后進行等價變換，化簡，要注意軌跡方程的純粹性和完備性，即曲線上沒有坐標不滿足方程的點，也就是說曲線上所有的點適合這個條件而毫無例外（純粹性）；反之，適合條件的所有點都在曲線上而毫無遺漏（完備性）。例1 過點任作互相垂直的兩直線和，分別交軸于點，求線段中點的軌跡方程。解：設點坐標為，由中點坐標公式及在軸上得，化簡得當時，此時的中點它也滿足方程，所以中點的軌跡方程為。變式1已知動點到直線的距離是它到點的距離的2倍。（1） 求動點的軌跡的方程；（2） 過點的直線與軌跡交于兩點。若是的

2、中點，求直線的斜率。題型二 定義法圓錐曲線定義所包含的幾何意義十分重要，應特別重視利用圓錐曲線的定義解題，包括用定義法求軌跡方程。例2 動圓過定點，且與圓相切，求動圓圓心的軌跡方程。解：根據題意，說明點到定點的距離之差的絕對值為定值，故點的軌跡是雙曲線。，故動圓圓心的軌跡方程為變式2在中，上的兩條中線長度之和為39，求的重心的軌跡方程解：以線段所在直線為軸，線段的中垂線為軸建立直角坐標系，如圖1，為重心，則有點的軌跡是以為焦點的橢圓，其中所求的重心的軌跡方程為題型三 相關點法此法的特點是動點的坐標取決于已知曲線上的點的坐標，可先用來表示，再代入曲線的方程，即得點的軌跡方程。例3 如圖，從雙曲線

3、上一點引直線的垂線，垂足為，求線段的中點的軌跡方程分析：從題意看動點的相關點是，在雙曲線上運動，所以本題適合用相關點法。解：設動點的坐標為，點的坐標為，則點的坐標為在直線上，又垂直于直線，即由解得又點在雙曲線上，代入，得動點的軌跡方程為變式3已知ABC的頂點，頂點在拋物線上運動，求的重心的軌跡方程解：設，由重心公式，得又在拋物線上， 將，代入，得，即所求曲線方程是題型四 參數法選取適當的參數，分別用參數表示動點坐標，得出軌跡的參數方程，消去參數，即得其普通方程，選參數時必須首先充分考慮到制約動點的各種因素，然后在選取合適的參數，因為參數不同，會導致運算量的不同，常見的參數有截距、角度、斜率、線

4、段長度等。例4已知線段，直線垂直平分于，在上取兩點，使有向線段滿足，求直線與的交點的軌跡方程解：如圖2，以線段所在直線為軸，以線段的中垂線為軸建立直角坐標系設點， 則由題意，得由點斜式得直線的方程分別為兩式相乘，消去，得這就是所求點M的軌跡方程變式4設橢圓方程為，過點的直線交橢圓于點，是坐標原點，上的動點滿足，點的坐標為，當繞點旋轉時，求：（1）動點的軌跡方程；（2）的最小值與最大值.分析：（1）設出直線的方程，與橢圓方程聯立，求出，進而表示出點坐標，用消參法求軌跡方程；（2）將表示成變量的二次函數。解：（1）法一：直線過點，當的斜率存在時，設其斜率為，則的方程為。設，由題設可列方程為將代入并化簡得：，所以于是設點的坐標為，則消去參數得當直線的斜率不存在時，的中點坐標為原點，也滿足方程，所以點的軌跡方程為。法二：設點的坐標為，因，在橢圓上，所以得：所以當時，有并且將代入并整理得當時，點的坐標分別為、，