極坐標(biāo)與參數(shù)方程例題示范分題型

1、極坐標(biāo)與參數(shù)方程例題示范(分題型)極坐標(biāo)與參數(shù)方程是選修內(nèi)容的必考題型，這里按照課本及高考考試說明，歸納總結(jié)為四類題型。題型一。極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化。互化原理（三角函數(shù)定義）、數(shù)形結(jié)合。1在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）把曲線的極坐標(biāo)方程化為普通方程； （2）求直線與曲線的交點(diǎn)的極坐標(biāo)（）.試題解析：（1）由得，兩邊同乘以，得；（2）由直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），得直線的普通方程為，聯(lián)立曲線與直線的方程得，或，化為極坐標(biāo)為或.考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線參數(shù)方程與

2、普通方程的互化.考點(diǎn)：，.2在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓經(jīng)過點(diǎn)，圓心是直線與極軸的交點(diǎn)，求圓的極坐標(biāo)方程試題解析：法一：轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)為：直線的直角坐標(biāo)方程為：它與軸的交點(diǎn)也就是圓心為所以所以圓的方程為，得所以，圓的極坐標(biāo)方程為：法二：因?yàn)閳A心為直線與極軸的交點(diǎn)，所以令，得，即圓心是又圓經(jīng)過點(diǎn)，圓的半徑，圓過原點(diǎn)，圓的極坐標(biāo)方程是考點(diǎn)：（1）轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，求出所求方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)；（2）先求圓心坐標(biāo)，再運(yùn)用余弦定理求半徑，最后借助過原點(diǎn)寫出圓的極坐標(biāo)方程.題型二。曲線（圓與橢圓）的參數(shù)方程。（1）普通方程互化和最值問題?！?”的代換（）、三角解決。3已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半

3、軸為極軸建立極坐標(biāo)系，的極坐標(biāo)分別為.（）求直線的直角坐標(biāo)方程；（）設(shè)為曲線上的點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大值.試題解析：（）將、化為直角坐標(biāo)為，即， 直線的方程為，即 （）設(shè)，它到直線的距離為，（其中）， 考點(diǎn)：1.橢圓的參數(shù)方程；2.點(diǎn)到直線的距離公式；3.三角函數(shù)求最值4已知曲線的極坐標(biāo)方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.試題解析：曲線的極坐標(biāo)方程可化為. 又，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.將直線的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，得，令，得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）. 又曲線的圓心坐標(biāo)為（1，0），半徑，則， 所以.法二：設(shè)N的坐標(biāo)為.所以考點(diǎn)：極坐標(biāo)化為直

4、角坐標(biāo)，參數(shù)方程化為普通方程，直線與圓位置關(guān)系5已知在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程是是參數(shù)） ，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為. （1）判斷直線與曲線的位置關(guān)系； （2）設(shè)為曲線上任意一點(diǎn)，求的取值范圍.試題解析：（1）直線的普通方程為，曲線的直角坐標(biāo)系下的方程為，因?yàn)閳A心到直線的距離為,所以直線與曲線的的位置關(guān)系為相離.（2）設(shè)點(diǎn)，則.考點(diǎn)：直線與圓的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程. 6已知平面直角坐標(biāo)系，以為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）寫出點(diǎn)的直角坐標(biāo)及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到

5、直線的距離的最小值.試題解析：（1）點(diǎn)的直角坐標(biāo)，由，得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的普通方程為，設(shè)，則，那么點(diǎn)到直線的距離，所以點(diǎn)到直線的最小距離為.考點(diǎn)：1、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；2、參數(shù)方程和普通方程的互化；3、點(diǎn)到直線的距離（2）公共點(diǎn)問題。聯(lián)立求解判別式，直線與圓d與r。7在直角坐標(biāo)系中曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）若以直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線與曲線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍試題解析：（1）由得，又由得，所以曲線的普通方程為，即，又易知，曲線的

6、普通方程為，由得，所以，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，與曲線有公共點(diǎn)，此時(shí)，從該位置向左下方平行移動(dòng)直到與曲線相切總有公共點(diǎn)，聯(lián)立得，令，解得所求實(shí)數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：1、參數(shù)方程與普通方程的互化；2、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化；3、直線與拋物線的位置關(guān)系8在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）在極坐標(biāo)系（以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸，且與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位）中，圓的方程為（）求圓的直角坐標(biāo)方程；（）若直線與圓相切，求實(shí)數(shù)的值試題解析：（）由，圓的直角坐標(biāo)方程為（或）； （）直線的參數(shù)方程為，圓的圓心為，半徑， 由直線與圓相切，得或考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；

7、參數(shù)方程化成普通方程9在極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)為原點(diǎn)極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)，且).（1）寫出直線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程；（2）若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍. 試題解析：（1）由直線的極坐標(biāo)方程得：， 即直線的直角坐標(biāo)方程為：，由曲線 的參數(shù)方程 為參數(shù)，且). 得：（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為，則，直線與曲線 有兩個(gè)公共點(diǎn)，.考點(diǎn)：極坐標(biāo)系，參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)換.題型三。直線參數(shù)方程（t的幾何意義）。定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離。定標(biāo)圖號(hào)聯(lián)、韋達(dá)三定理。、10在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相

8、同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求.試題解析：（1）由，得，即.（2）將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，得，即.由于，故可設(shè)，是上述方程的兩實(shí)根，所以，又直線過點(diǎn)，故由上式及的幾何意義得.考點(diǎn)：1.曲線的極坐標(biāo)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化；2.直線的參數(shù)方程的應(yīng)用11在直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的斜率為1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為,直線和曲線的交點(diǎn)為（1）求直線的參數(shù)方程；（2）求試題解析：（）由條件知，直線的傾斜角，所以.設(shè)點(diǎn)是直線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的有向向

9、量為，則 （）曲線的直角坐標(biāo)方程為,由此得,即 . 設(shè)為此方程的兩個(gè)根，因?yàn)楹偷慕稽c(diǎn)為，所以分別是點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)，由韋達(dá)定理得 =考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程12在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （2）過點(diǎn)作斜率為1直線與圓交于兩點(diǎn)，試求的值.試題解析：（1）由，可得，即（2）過點(diǎn)作斜率為的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.代入得，設(shè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，則，.由的幾何意義可得.（注：此題也可直接求兩點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間的距離公式求出,.）考點(diǎn)：1.曲線的極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程和普通方程的轉(zhuǎn)化；2.直線與圓的位置

10、關(guān)系13在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓的方程為.（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)，設(shè)圓與直線交于點(diǎn)，求的最小值.試題解析：（1）由得，化為直角坐標(biāo)方程為，即；（2）將的參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，得由，故可設(shè)是上述方程的兩根，所以，又直線過點(diǎn)，故結(jié)合的幾何意義得所以的最小值為考點(diǎn)：圓的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化及直線參數(shù)方程在求最值中的應(yīng)用.題型四。跟蹤點(diǎn)參數(shù)方程的求法。跟蹤點(diǎn)法。14在直角坐標(biāo)系 中,曲線的參數(shù)方程為, 是上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足,記點(diǎn)的軌跡為曲線 （1）求曲線的方程；（2）在以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與曲線的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,與曲線的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,求試題解析：（1）設(shè)則由條件知由于在上,所以 所以從而的參數(shù)方程為（2）法一：曲線的極坐標(biāo)