速率分布函數(shù)（課堂PPT）

1、氣體動(dòng)理論氣體動(dòng)理論第七章第七章（Maxwells law of distribution of speeds） 4.5 4.5 麥克斯韋速率分布律麥克斯韋速率分布律1、 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù)要深入研究氣體的性質(zhì)，要深入研究氣體的性質(zhì)，一步弄清分子按速率和按一步弄清分子按速率和按能量等的能量等的分布分布情況。情況。等；等；，如如 v 2t 不能光是研究一些平均值，不能光是研究一些平均值，還應(yīng)該進(jìn)還應(yīng)該進(jìn)整體上看，氣體的速率分布是有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的。整體上看，氣體的速率分布是有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的。麥克斯韋麥克斯韋（Maxwell s law of distribution of speeds）設(shè)總分子

2、數(shù)為設(shè)總分子數(shù)為 N N 表示速率在表示速率在 v v + v 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。 N 與與 v 、 v 有關(guān)有關(guān) 。NN 表示速率處在表示速率處在 v v + v 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總 分子數(shù)的百分率。分子數(shù)的百分率。也與也與 v 、 v 有關(guān)。有關(guān)。NNvNN 分子速率在分子速率在 v 附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總 分子數(shù)的比率。分子數(shù)的比率。下面列出了下面列出了HgHg分子在某溫度時(shí)不同速率的分子分子在某溫度時(shí)不同速率的分子數(shù)占總分子的百分比。數(shù)占總分子的百分比。)/(smv00/ NN90以下以下6.290-140140-1

3、90190-240240-290290-340340-390390以上以上10.3218.9322.718.312.86.24.0注意：注意：以上速率分布情況只要在相同實(shí)驗(yàn)條件下多次以上速率分布情況只要在相同實(shí)驗(yàn)條件下多次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果一樣。說明盡管每次任取一分子看，重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其結(jié)果一樣。說明盡管每次任取一分子看，分子速率各不相同。但大量分子總體而言卻遵循著確分子速率各不相同。但大量分子總體而言卻遵循著確定的規(guī)律。定的規(guī)律。 1）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的圖示化）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的圖示化6.2%10.32%18.93%22.7%18.3%12.8%6.2%4.0%)(vf0 90 140 190 240 290 3

4、40 390 v)(vfv從圖中可以看出從圖中可以看出:1)每個(gè)小長(zhǎng)方形面積代表某速率區(qū)間的分子數(shù)每個(gè)小長(zhǎng)方形面積代表某速率區(qū)間的分子數(shù) 占總分子數(shù)的百分比占總分子數(shù)的百分比 N/N2)所有小面積的和恒等于一。所有小面積的和恒等于一。3）當(dāng)速率區(qū)間）當(dāng)速率區(qū)間0v，小矩形面積的端點(diǎn)，小矩形面積的端點(diǎn)連成一函數(shù)曲線連成一函數(shù)曲線-分子速率分布函數(shù)。分子速率分布函數(shù)。)(vfv)(vfvvv2 2）分布函數(shù)）分布函數(shù) 的意義的意義)(vf要搞清函數(shù)的意義，先要要搞清函數(shù)的意義，先要弄清縱坐標(biāo)的意義。弄清縱坐標(biāo)的意義。在在vvv區(qū)間區(qū)間作一小矩形，小矩作一小矩形，小矩形的面積：形的面積：NNs按函數(shù)

5、的定義按函數(shù)的定義vvfs)(故故vvfNN)(vNNvf)(或：或：0v當(dāng)當(dāng)NdvdNvf)()(vfv)(vfvvv占總分子數(shù)的比例。占總分子數(shù)的比例?！甭事蕍 附近單位速率區(qū)間的概率。附近單位速率區(qū)間的概率。 vvvdd)(NNf 由定義式由定義式可看出可看出 f (v)的意義是：的意義是： 因?yàn)橐驗(yàn)?01d vvNN 所以所以 0( )1f v dv這稱為速率分布函數(shù)這稱為速率分布函數(shù)的的歸一化條件歸一化條件。， vv 0dNN 即即 對(duì)于一個(gè)分子來說，對(duì)于一個(gè)分子來說，f (v) 就是分子處于速就是分子處于速“ 在速率在速率v 附近，附近，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)

6、（function of distribution of speeds）稱稱 速率分布函數(shù)速率分布函數(shù))(vf思考：思考：1、若若 表示速率分布函數(shù)，試說明下列各式的物理意義表示速率分布函數(shù)，試說明下列各式的物理意義)(vfvv df)(（1）vv dNf)(（2）vvvvdf)(21（3）vvvvdNf)(21 （4）0vvvdf)( （5）2、麥克斯韋速率分布函數(shù)、麥克斯韋速率分布函數(shù)（1860年從理論上導(dǎo)出）年從理論上導(dǎo)出）kTmekTmf2223020)2(4)(vvv0m是分子的質(zhì)量，是分子的質(zhì)量，123KJ 1038. 1ANRk玻耳茲曼常數(shù)玻耳茲曼常數(shù)速率分布曲線速率分布曲線 以

7、以 v 為橫坐標(biāo)，為橫坐標(biāo)， 為縱坐標(biāo)，畫出的曲線稱為為縱坐標(biāo)，畫出的曲線稱為速率分布曲線速率分布曲線。vvNdNdf)(由上式可得到一個(gè)分子在由上式可得到一個(gè)分子在 v v + dv 區(qū)間的概率為區(qū)間的概率為vvvdekTmNdNkTm2223020)2(4f(v)vv2v1NNdfvvvv)(21NdNdfvv)(分布曲線的物理意義分布曲線的物理意義 小矩形的面積小矩形的面積表示速率處在表示速率處在 v v + dv 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。數(shù)的百分率。曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 表示速率處在表示速率處在 v1 v2 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分區(qū)間內(nèi)的

8、分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率。率。曲線下的總面積曲線下的總面積10vv df)(歸一化條件歸一化條件最可幾速率最可幾速率 ( (最概然速最概然速率率) )vpf(v)vvpvp把整個(gè)速率區(qū)間分成許多相等的小區(qū)間把整個(gè)速率區(qū)間分成許多相等的小區(qū)間, , 則速率大小與則速率大小與 相相近的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為最大。近的氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為最大。0)(vvfddpv可由求極值條件可由求極值條件 求得求得MRTMRTmkTp41. 1220v 分布曲線極大值對(duì)應(yīng)的分布曲線極大值對(duì)應(yīng)的速率叫最可幾速率。速率叫最可幾速率。物理意義物理意義: :討論兩種情況：討論兩種情況：MRTmkTp220v

9、21Tpv210 mpv,（1 1）m0 一定一定, , pTv曲線高峰右移曲線高峰右移, , 同時(shí)高度下降。同時(shí)高度下降。（2 2）T 一定一定，210 mpvf(v)vvp11T12TT vp2f(v)v大0m小0m000vvvvvvvvdfNdNfNNd)()( MRTMRTmkT60. 1880v2. 平均速率平均速率v大量分子速率的算術(shù)平均值叫平均速率。大量分子速率的算術(shù)平均值叫平均速率。vNNNNNNiiiivvvvv2211若用若用dN表示速率在表示速率在vv+dv 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)，v 連連續(xù)分布時(shí)，上式過渡到積分。續(xù)分布時(shí)，上式過渡到積分。iiiNNvv分立：分立

10、：連續(xù)：連續(xù)：vi v，2121vvvvvdNdNv對(duì)麥?zhǔn)纤俾史植冀?jīng)計(jì)算得：對(duì)麥?zhǔn)纤俾史植冀?jīng)計(jì)算得：MRTmkT88 v NNNN00ddvvvv NNNvvd0 0d)(vvvfNi dNv=N f (v)dv，平均速率平均速率（average speed）平均速率平均速率 任意函數(shù)任意函數(shù) (v)對(duì)對(duì)全體分子全體分子按按速率分布的平均值：速率分布的平均值： 0d)()(vvvvf 02022vvvvvdfNdN)(MRTMRTmkT73. 13302v3. 方均根速率方均根速率速率平方的平均值速率平方的平均值方均根速率方均根速率f(v)vpvv2v2vvvp三種速率中，最大，次之，最小三種

11、速率中，最大，次之，最小2vvpv附錄附錄: 三種統(tǒng)計(jì)速率的計(jì)算三種統(tǒng)計(jì)速率的計(jì)算0)1 ()(822)(42/32/32vv2vvvvvvv222bebebebddfbbbbbN12)(4032/30dvevvf(v)dvvdNv2bv-0kTmekTmf2223020)2(4)(vvv速率分布函數(shù)中令速率分布函數(shù)中令bkTm20則2223)(4)(vvvbebf02mkTp v08mkT v速率平方的平均值速率平方的平均值2223)(4)(vvvbebfbbN23)(4042/30dvevf(v)dvvdNvv2bv-2022MRTmkT3302v討論思考題：討論思考題：試說明下列各式的物

12、理意義試說明下列各式的物理意義vv df)(vv dNf)(vvvvdf)(21vvvvdNf)(21vvvvvdf)(21NdNdNNNNdN21vvNd21vvNv速率在速率在 的所有分子的所有分子速率的總和被總分子數(shù)除速率的總和被總分子數(shù)除21vv 速率在速率在 區(qū)間內(nèi)的分區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)子數(shù)21vv 速率在速率在 區(qū)間內(nèi)的分區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率子數(shù)占總分子數(shù)的比率21vv 并非并非 之間的分子之間的分子的平均速率的平均速率21vv vvv202dfm)(1ppdfdfvvvvvvv)()(vvNvvvdf)(2121vvvdN速率在速率在 的所有分子的所有分子速率總和速率總和2

13、1vv 分子平動(dòng)動(dòng)能的平均值分子平動(dòng)動(dòng)能的平均值速率在速率在 內(nèi)的分子的內(nèi)的分子的平均速率平均速率pvppdNdNvvvf(v)vT1T2例例1、圖為同一種氣體，處于不同溫度下的速率分布曲線，試圖為同一種氣體，處于不同溫度下的速率分布曲線，試問（問（1）哪一條曲線對(duì)應(yīng)的溫度高？（）哪一條曲線對(duì)應(yīng)的溫度高？（2)如果這兩條曲線分別對(duì)如果這兩條曲線分別對(duì)應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對(duì)應(yīng)的應(yīng)的是同一溫度下氧氣和氫氣的分布曲線，問哪條曲線對(duì)應(yīng)的是氧氣，哪條對(duì)應(yīng)的是氫氣？是氧氣，哪條對(duì)應(yīng)的是氫氣？解：解：MkTp2v(1) T1 T2(2) 綠：氧綠：氧 白白：氫：氫2pv1pv例例

14、2、處理理想氣體分子速率分布的統(tǒng)計(jì)方法可用于金屬中處理理想氣體分子速率分布的統(tǒng)計(jì)方法可用于金屬中自由電子自由電子( “電子氣電子氣”模型模型 )。設(shè)導(dǎo)體中自由電子數(shù)為。設(shè)導(dǎo)體中自由電子數(shù)為 N ,電電子速率最大值為費(fèi)米速率子速率最大值為費(fèi)米速率 ，且已知電子速率在，且已知電子速率在 v v + d v 區(qū)間的概率為：區(qū)間的概率為：FvNNd)(0 Fvv ) FdAvvvv0(2A 為常數(shù)為常數(shù)（1）畫出電子氣的速率分布曲線畫出電子氣的速率分布曲線（2）由）由 定出常數(shù)定出常數(shù) AFv（3）求）求 , , 2vvvpOvf ( v )解：解：（1）vvdNNdf)() FAvvv0(2)(0

15、Fvv Fv（2）由歸一化條件確定常數(shù)由歸一化條件確定常數(shù)A13)(003F2vvdvvvvFAAdf33FvAFpvv （3）Fddfvvvvvvvvv3F 75. 03)( 0202F3Fvvvvvv 6 . 030222dFFvvv 770602.例例3、求速率在求速率在 v1 v2 區(qū)間內(nèi)的分子的平均速率。區(qū)間內(nèi)的分子的平均速率。解：解：2121vvvvvvvvdf)( 2121212121vvvvvvvvvvvvvvvvvdfNdfNNdNd)()( 212121vvvvvvvvvvvvdd )()(ffvvdNNdf)(討論：討論：1、 用分子數(shù)用分子數(shù)N，氣體分子速率，氣體分子速

16、率v和速率分布函數(shù)和速率分布函數(shù))(vf表示下列各量表示下列各量（1）速率大于）速率大于 的分子數(shù)；的分子數(shù)； 0v（2）速率大于）速率大于 的那些分子的平均速率；的那些分子的平均速率； 0v（4）分子速率倒數(shù)的平均值。）分子速率倒數(shù)的平均值。（5）分子平均平動(dòng)動(dòng)能。）分子平均平動(dòng)動(dòng)能。2、設(shè)某種氣體的分子速率分布函數(shù)為設(shè)某種氣體的分子速率分布函數(shù)為f(v),則速率在則速率在v1v2區(qū)間區(qū)間的分子的平均速率為：的分子的平均速率為：21( )( )vvAvfdvv21( )( )vvB vfdvv2211( )( )/( )vvvvCvfdvfdvvv210()( )/( )vvDfdvfdvv

17、v（3）多次觀察某一分子的速率，發(fā)現(xiàn)其速率大于）多次觀察某一分子的速率，發(fā)現(xiàn)其速率大于 的概率。的概率。0v（A）2000 m/s，1000 m/s（B）1000 m/s，2000 m/s（C）1000 m/s， 1000 m/s （D） 1000 m/s，1000 m/s 223、若氣體分子的速率分布曲線如圖所示，圖中若氣體分子的速率分布曲線如圖所示，圖中A、B兩部分兩部分的面積相等，則圖中的面積相等，則圖中 表示（表示（ D ） 0v0ABf (v)vv01000m/sf (v)v4、圖示的曲線分別是氫氣和氦氣在同溫度下的分子速率分布曲圖示的曲線分別是氫氣和氦氣在同溫度下的分子速率分布曲線

18、，由圖可知，氫氣分子的最概然速率和氧氣分子的最概然速線，由圖可知，氫氣分子的最概然速率和氧氣分子的最概然速率分別為（率分別為（ ）（A）最概然速率）最概然速率 （B）平均速率）平均速率 （C）方均根速率）方均根速率 （D）速率大于和小于）速率大于和小于 的分子各占一半的分子各占一半 0v5、 下列說法中正確的是（下列說法中正確的是（ ）（A）N個(gè)理想氣體分子組成的分子束，都以垂直于器壁的個(gè)理想氣體分子組成的分子束，都以垂直于器壁的速度速度v與器壁作完全彈性碰撞。當(dāng)分子數(shù)與器壁作完全彈性碰撞。當(dāng)分子數(shù)N小時(shí)，不能使用小時(shí)，不能使用理想氣體的壓強(qiáng)公式；當(dāng)理想氣體的壓強(qiáng)公式；當(dāng)N很大時(shí)就可以使用它；

19、很大時(shí)就可以使用它； （B） 表示溫度為表示溫度為T的平衡態(tài)下，分子在一個(gè)自由度上運(yùn)的平衡態(tài)下，分子在一個(gè)自由度上運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能；動(dòng)的平均動(dòng)能； kT21（C）因?yàn)闅浞肿淤|(zhì)量小于氧分子質(zhì)量，故在相同溫度下）因?yàn)闅浞肿淤|(zhì)量小于氧分子質(zhì)量，故在相同溫度下它們的速率滿足它們的速率滿足 ；22OHvv（D）氣體分子的速率等于最概然速率）氣體分子的速率等于最概然速率 的概率最大。的概率最大。 pv6、 某氣體分子的速率分布曲線如選某氣體分子的速率分布曲線如選7-7圖所示，圖所示， 表示最概然表示最概然速率，速率， 表示速率分布在表示速率分布在 之間的分子數(shù)占總分之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分率，當(dāng)溫度減低

20、時(shí)，則（子數(shù)的百分率，當(dāng)溫度減低時(shí)，則（ A ） pvNNpppvvv0p ppf (v)vv vv（A） 減小，減小， 也減小也減小pvNNp（B） 增大，增大， 也增大也增大 pvNNp（C） 減小，減小， 增大增大pvNNp（D） 增大，增大， 減小減小pvNNp7、 設(shè)為設(shè)為N個(gè)（個(gè)（N很大）分子組成的系統(tǒng)的速率分布函很大）分子組成的系統(tǒng)的速率分布函數(shù)。數(shù)。)(vf（1）分別寫出題圖（）分別寫出題圖（a）、）、(b)中陰影面積對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式中陰影面積對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式并回答其物理意義；并回答其物理意義； （2）設(shè)分子質(zhì)量為）設(shè)分子質(zhì)量為m，試用，試用 表示以下各量：表示以下各量： )(vf 分子動(dòng)量大小的平均值；分子動(dòng)量大小的平均值； 分子平動(dòng)動(dòng)能的平均值。分子平動(dòng)動(dòng)能的平均值。 00vvf (v)f (v)vp pp pvv( a )( b )4.6 玻耳茲曼分布律玻耳茲曼分布律 (了解了解)1、麥克斯韋速度分布律、麥克斯韋速度分布律（1859年導(dǎo)出）年導(dǎo)出）zyxkTdddekTmNNdvvvk230)2