信號(hào)與系統(tǒng)復(fù)習(xí)題

1、信號(hào)與系統(tǒng)復(fù)習(xí)題1 . 10c6(3_2t)dt =1/2。(解題思路：沖激函數(shù)偶函數(shù)和尺度變換-OO的性質(zhì)及沖激函數(shù)的定義)2 .已知信號(hào) x(t) =6(t -a)u(t -b),a >b>0 ,則 x'(t) =6'(t_a)。(解題思路：沖激函數(shù)和階躍函數(shù)的特點(diǎn)和性質(zhì))3 . 6(t+1)+2每(t 1)*u(t) =u(t+1)+2u(t1)。(解題思路：沖激函數(shù)卷積積分的性質(zhì))4 .已知 Fx(t) = X(j),則 Fx(t5)=X(©)e,56。(解題思路：傅里葉變換時(shí)移的性質(zhì))15 .已知信號(hào)的頻譜函數(shù)為 Sag),則該信號(hào)時(shí)域表達(dá)式為

2、1u(t+1)-u(t-1)c(解題思路：矩形脈沖的傅里葉變換)6 .無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的時(shí)域特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 h(t) = K6(t-td),頻域特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式為 H (jco) = Ke-3。(解題思路：無(wú)失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的定義)(解題思路：P18 1-23T7 .信號(hào) x(t) =sin(2nt) +cos(3nt +)的周期 t= 2 s 3mTi =nT2=T )、j (Jk _二)8 . 信號(hào) xk = e 2 3 的周期 N= 4k二一 2 二2 二、Q =,周期 N = =4)21J 二 /2j( -)二 k 二二 k 二e 2 3 =cos(-)+jsin(-),23239 .信

3、號(hào) x(t)=U(t)的偶分量 xe(t)=_05。(解題思路：xe(t)= x(t)+x()210 .已知某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)如下圖所示，則該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為 _(1-e')u(t)_。(解題思t路：g(t) = J h( f)d 丁)'-=>題10圖11 .已知某系統(tǒng)的階躍響應(yīng)如題11圖所示，則該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 26(.2)-2或t-3)_。(解題思路：h(t) = g'(t)題11圖12 .若f(t)的波形如題12圖所示，試畫出f (_0.5t_1)的波形。J(t)2 - 卉*題12圖解：將f(0.5t 1)改寫為f0.5(t+1),先反轉(zhuǎn)，再展寬，最后左移2

4、,即得f(051),如答12題所示。f(q5t) 2*f(-t)上1(2)答12題-2-11t »0-3* t0f ( -0.5t -1)213.一個(gè)離散時(shí)間信號(hào) xk如下圖所示，試畫出x-3k+2的圖形。(請(qǐng)記?。簩?duì)離散信號(hào)題13圖不能寫成如下表達(dá)式：x - 3k+2=x - 3(k - 2/3 )】)解：x-3k+2包含翻轉(zhuǎn)、抽取和位移運(yùn)算，可按先左移2再抽取，最后翻轉(zhuǎn)的順序處理,即得x-3k+2,如答3-1圖所示。x3k 2x-3k 23333T TT T_i -2-10 1 2 k -2-10 12 k答13圖14 .試求微分方程y'(t)+6y(t) =3x'

5、;(t)+2x(t)(t >0)所描述的連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t)。解：微分方程的特征根為：s-6由于 n =m ,故設(shè) h(t)=AeJ6tu(t)+B6(t)o將其帶入微分方程 h'(t)+6h(t)=3S'(t)十2S(t),可得A - -16,B =3故系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t) -16eJ3tu(t) 3、(t)15 .求題15圖所示系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)hk。其中h1k =2kuk , h2k =k 1,h3 k = 3 ku k , h4 k = u k。題15圖解：子系統(tǒng)h2k與h3k級(jí)聯(lián)，h1k支路、全通支路與 h2 k h3 k級(jí)聯(lián)支路并聯(lián)，再

6、與h4 k級(jí)聯(lián)。全通支路滿足 yk =xk* hk = xk全通離散系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為單位脈沖序列B khk工hk、k h2k 皿燈)k= 2(2)kuk 1.5(3)k-0.5uk -116.已知信號(hào)x(t)在頻域的最高角頻率為0m,若對(duì)信號(hào)x(t / 4)進(jìn)行時(shí)域抽樣，試求其頻譜不產(chǎn)生混疊的最大抽樣間隔Tmax。解：由于x(t/4), 4X( j4，)故信號(hào)x(t/4)的最高角頻率為0m/4,頻譜不產(chǎn)生混疊的最小抽樣角頻率為s =2- 'm/4 =, 'm/2即最大抽樣間隔 Taxiiiax's 'm/2-m17. f (t)最高角頻率為Om ,對(duì)y(t)

7、 = f (-)f(-)取樣，求其頻譜不混迭的最大間隔。42解：信號(hào)f(t)的最高角頻率為6 m,根據(jù)傅立葉變換的展縮特性可得信號(hào)f(1)的最高角頻率為mm/4,信號(hào)“；)的最高角頻率為0m12。根據(jù)傅立葉變換的乘積特性，兩信號(hào)時(shí)域相乘，其頻譜為該兩信號(hào)頻譜的卷積，故 m,jmy(t)= f (工)f (工)的最高角頻率為 42根據(jù)時(shí)域抽樣定理可知,對(duì)信號(hào)y(t)=(4)f (2)取樣時(shí)，其頻譜不混迭的最大抽樣間隔Tmax 為Tmax3 .maxm18.已知連續(xù)周期信號(hào)f(t)的頻譜Cn如題18圖所示，試寫出信號(hào)的時(shí)域函數(shù)表示式。題18圖解：由圖可知,Cq - 4 C 1 - 3 C 2 -1

8、 C 3 - 2f 八 一 Cnejn 0tn 二=4 3(ej 0t e,0t) (ej2 0t - eJ2 0t) - 2(ej3 0te-3 0t) =4 6cos( 0t) 2cos(2，0t) 4cos(3 0t)19.已知某連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的輸入激勵(lì)為etu(t),零狀態(tài)響應(yīng)為 yzs(t) =2e-tu(t)-2e-tu(t) o求該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(jco)和單位沖激響應(yīng)h(t)。解：對(duì)x(t”D yzs分別進(jìn)行Fourier變換，得Xj) = F lu(t)=14 j Yzs(j ) = F Se'tua)-2eu(t) =2 一 2=23 j4 j (3 j )(

9、4 j -)Ys(j )2故得H (j，)= zs'j JX( j )3 j -h(t) -F J<：H(j ) '-2eJ3tu(t)1.20 .已知一連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h( t)= S a 3,t)輸入信號(hào)f (t) =3 +cos2t, -00 <t < 時(shí)，試求該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：系統(tǒng)的頻響特性為1 n1/3, M <3H(j8) = Fh(t)= 一m二 p6(®) = <3 30, co >3利用余弦信號(hào)作用在系統(tǒng)上，其零狀態(tài)響應(yīng)的特點(diǎn)，即Tcos(©0t +日) = H (j%) cose°

10、;t +e®0)+e)由系統(tǒng)的頻響特性知，H(j0)=H(j2)=1/3 , 可以求出信號(hào)f (t) =3 +cos2t, <t <,作用在系統(tǒng)上的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為Tf(t)=3H(j0) cosl0t+cP(0)+|H(j2) cosbt+平(2)，1=1+cos2t,-二二 t :二 321 .已知一連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為_(kāi)yzs(t) =(0.5 + e41.5e“t)u(t),激勵(lì)信號(hào)為 x(t) =u(t),試求：(1)該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) H：s),并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；(2)寫出描述系統(tǒng) 的微分方程；(3)畫出系統(tǒng)的直接型模擬框圖。解：零狀態(tài)響應(yīng)和激勵(lì)信號(hào)的拉

11、氏變換分別為Yzs(s)0.5 _±_s s 11.5 2s 1s 2 s(s 1)(s 2)1X(s)二 sRe(s) 0Re(s) 0根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，可得H(s)=Yzs(s)2s 1X(s) 一(s 1)(s 2)2s 1-2 I rs 3s 2Re(s) - -1該系統(tǒng)的極點(diǎn)為 pi= -1, pi= -2系統(tǒng)的極點(diǎn)位于 s左半平面，故該系統(tǒng)穩(wěn)定。(2)由式可得系統(tǒng)微分方程的s域表達(dá)式(ss 8_ 2 _ 1 一一s 7s 10 s 2 s 5 3s 2)Yzs(s) =(2s 1)X(s)兩邊進(jìn)行拉氏反變換，可得描述系統(tǒng)的微分方程為y"(t) 3y'(

12、t) 2y(t) =2x'(t) x(t)(4)將系統(tǒng)函數(shù)表示成 s的負(fù)塞形式，得2H(s)2s s_ _ _21 3s 2s其模擬框圖如下所示。22.描述某因果連續(xù)時(shí)間 LTI系統(tǒng)的微分方程為 y''(t)+7y'(t)+10y(t) = 2x'(t)+3x(t)。已知x(t) =eJ2tu(t) ,y(0-) = y'(0") =1。由s域求解：(1)零輸入響應(yīng)yx(t),零狀態(tài)響應(yīng)yf和全響應(yīng)y(t) ； (2)系統(tǒng)函數(shù)H (s),并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；(3)若 x(t) =e“g)u(t1),重求 yx(t)、yf(t)、H (s

13、)。解：(1)對(duì)微分方程兩邊做單邊拉普拉斯變換，得：s2Y(s) -sy(0 1 -y'(0-) 7sY(s) -7y(0) 10Y(s) =(2s 3)X(s)整理得Y(s)=sy(03 y'(01 7y(0-)s2 7s 10(2 s 3)s2 7s 10X(s)其中零輸入響應(yīng)的s域表達(dá)式為Yx(s)=sy(01 y'(0) 7y(0)2s 7s 10所以系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為yx(t) = L,乂(2e2 一勿川零狀態(tài)響應(yīng)的s域表達(dá)式為Yf(s)=(2s 3)2s2 7s 10X(s) =(2 s 3)(s2 7s 10)(s 2)7/91/3s 2 "(s

14、 2)27/9s 5所以系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為y«) =LLYf(s)：，=(-7e§ 7e2_；te")u(t)993系統(tǒng)的全響應(yīng)為y(t) = yx(t) yNDE-Rs 個(gè)工一上”993(2)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的定義，可得H(s)=Yzs(s)X(s)2s 3-1/3 7/3s2 7s 10 s 2 s 523. 一線性時(shí)不變離散時(shí)間因果系統(tǒng)的直接型模擬框圖如題23圖所示，求:題23圖描述系統(tǒng)的差分方程；系統(tǒng)函數(shù)Hz,單位脈沖響應(yīng)hk； 判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。X2(z)=z -3 2z由于系統(tǒng)的極點(diǎn)為 p1 = -2, p2 = -5 ,均位于s平面的左半平面，所以系統(tǒng)穩(wěn)

15、定。(3)若x(t) =e/(t,)u(t1),則系統(tǒng)函數(shù) H(s)和零輸入響應(yīng)yx(t)均不變，根據(jù)時(shí)不 變特性，可得系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)為yf(t-1) = (eW"7eNt)-3(t-1)eW)u(t-1)(2)解：(1)由題18圖可知，輸入端求和器的輸出為zX2(z) =F(z) 3X2(z)-2Xi(z)(2)Xi(z) =z4X2(z)式(2)代入式(1)得輸出端求和器的輸出為z 4Y(z) =(z 4)X2(z) =-F(z)z-3 2z(4)即(z-3 2z)Y(z) =(z 4)F(z)或_122_(1 -3z 2z )Y(z) K1 4z )F(z)因此系統(tǒng)的差分方程為

16、yk _3yk -1 2yk -2= fk 4fk -1(3)由系統(tǒng)函數(shù)的定義可得H(z)=Yf(z)1 4zF(z) -1 -3zJ 2z取z反變換得系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)為(4)由系統(tǒng)函數(shù) Hz可得極點(diǎn)hk =(-5 6 2k)ukp1 = 1, p2 2 ,都未在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。24.初始狀態(tài)為零的離散系統(tǒng)，當(dāng)輸入xk=uk時(shí)yk =(1)k (1)k +1uk。試求：(1)該系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù) H (z) ； (2)畫出其零極點(diǎn)分布 23圖；(3)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：(1)對(duì)x k和yk分別進(jìn)行z變換，得1X(z)11 A6z )11+1 . Y(z)= 1-1z4 z1-3.21 -

17、 z 3(1 - z J )(1 - z 6由系統(tǒng)函數(shù)的定義得221 z1 zH(z)=Y(z)=33X(z)(1-5z4 1 z) (1- 1 z)(1-1 z，)6623(2)系統(tǒng)的零極點(diǎn)分別為2z1=3，P1其零極點(diǎn)分布圖如下所示。Jm iz：(3)由于極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，故系統(tǒng)穩(wěn)定。25 . 試寫出方程3y(t)+4y(t)+y(t) = x(t)描述的LTI系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的矩陣 形式。解：選y(t)和y(t)作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，即qi(t) = y(t),q2(t) =y(t)由原微分方程和系統(tǒng)狀態(tài)的定義，可得系統(tǒng)的狀態(tài)方程為&(t) =q2(t).114d2(t) =y(t) =°x(t) - qi(t) - q2(t)333寫出矩陣形式為x(t)I0 1,3+)OXL AL/V /V1 2q qrlpLJ 14 3-0 1-31 IL-)a a1 2吊.系統(tǒng)的輸