反比例函數(shù)與一次函數(shù)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 DSE 金牌數(shù)學(xué)專題系列 經(jīng)典專題系列反比例函數(shù)中的面積問(wèn)題一、 導(dǎo)入：飛翔的蜘蛛信念是一種無(wú)堅(jiān)不催的力量，當(dāng)你堅(jiān)信自己能成功時(shí)，你必能成功。 一天，我發(fā)現(xiàn)，一只黑蜘蛛在后院的兩檐之間結(jié)了一張很大的網(wǎng)。難道蜘蛛會(huì)飛？要不，從這個(gè)檐頭到那個(gè)檐頭，中間有一丈余寬，第一根線是怎么拉過(guò)去的？后來(lái)，我發(fā)現(xiàn)蜘蛛走了許多彎路-從一個(gè)檐頭起，打結(jié)，順墻而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翹起尾部，不讓絲沾到地面的沙石或別的物體上，走過(guò)空地，再爬上對(duì)面的檐頭，高度差不多了，再把絲收緊，以后也是如此。 溫馨提示：蜘蛛不會(huì)飛翔，但它能夠把網(wǎng)凌結(jié)在半空中。它是勤奮、敏感、沉默而堅(jiān)韌的昆蟲(chóng)，它的

2、網(wǎng)制得精巧而規(guī)矩，八卦形地張開(kāi)，仿佛得到神助。這樣的成績(jī)，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我記住了蜘蛛不會(huì)飛翔，但它照樣把網(wǎng)結(jié)在空中。奇跡是執(zhí)著者造成的。二、 知識(shí)點(diǎn)回顧     由于反比例函數(shù)解析式及圖象的特殊性，很多中考試題都將反比例函數(shù)與面積結(jié)合起來(lái)進(jìn)行考察。這種考察方式既能考查函數(shù)、反比例函數(shù)本身的基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容，又能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查的題型廣泛，考查方法靈活，可以較好地將知識(shí)與能力融合在一起。下面就反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問(wèn)題的四種類(lèi)型歸納如下：利用反比例函數(shù)中|k|的幾何意義求解與面積有關(guān)的問(wèn)題設(shè)

3、P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足分別為M、N，則兩垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的的矩形PMON的面積為S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|       xy=k     故S=|k|    從而得結(jié)論1：過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|    對(duì)于下列三個(gè)圖形中的情形，利用三角形面積的計(jì)算方法和圖形的對(duì)稱性以及上述結(jié)論，可得出對(duì)應(yīng)的面積的結(jié)論為： &

4、#160;  結(jié)論2：在直角三角形ABO中，面積S=    結(jié)論3：在直角三角形ACB中，面積為S=2|k|    結(jié)論4：在三角形AMB中，面積為S=|k|    三、 專題講解 考點(diǎn)一 已知面積，求反比例函數(shù)的解析式（或比例系數(shù)k） 【例1】 如圖，直線OA與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于A點(diǎn)，ABx軸于點(diǎn)B，OAB的面積為2，則k分析：由圖象知,k>0,由結(jié)論及已知條件得 k=4（2）如圖，已知雙曲線（）經(jīng)過(guò)矩形的邊的中點(diǎn)，且四邊形的面積為2，則  &#

5、160;     分析：連結(jié)OB，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)   而      由四邊形OEBF的面積為2得  解得 k=2評(píng)注：第小題中由圖形所在象限可確定k>0，應(yīng)用結(jié)論可直接求k值。第小題首先應(yīng)用三角形面積的計(jì)算方法分析得出四個(gè)三角形面積相等，列出含k的方程求k值。 如圖，矩形ABOD的頂點(diǎn)A是函數(shù)與函數(shù)在第二象限的交點(diǎn)，軸于B，軸于D，且矩形ABOD的面積為3（1）求兩函數(shù)的解析式（2）求兩函數(shù)的交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)（3）若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解：

6、（1）由圖象知k<0，由結(jié)論及已知條件得-k=3                         反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為（2）由，解得，              點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（，3），（3，） &

7、#160;                 （3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m）直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，2）                             PM

8、，即m2，或，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，）評(píng)注：依據(jù)圖象及結(jié)論求k值是本題的關(guān)鍵，只有求出k代值，才能通過(guò)解方程組求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后才能解決第小問(wèn)?？键c(diǎn)二 已知反比例函數(shù)解析式，求圖形的面積【例2】（1） 在反比例函數(shù)的圖象中，陰影部分的面積不等于4的是（   B ）    A                  B     

9、60;            C                 D分析：因?yàn)檫^(guò)原點(diǎn)的直線與雙曲線交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B、C、D的面積易求。對(duì)于A：S=4，對(duì)于B：陰影中所含的三個(gè)小直角三角形面積相等，故S= ，對(duì)于C：S=4，對(duì)于D：S=4 故選（B）（2）(2009年牡丹江市)如圖，點(diǎn)、是雙曲線上的點(diǎn)，分別經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)向軸、軸作垂線段，若則

10、60;       分析：由結(jié)論知，S1+1=S2+1=3  S1=S2=2  S1+S2=4 評(píng)注：過(guò)雙曲線上作坐標(biāo)軸垂線所圍成的矩形的面積可直接由結(jié)論求解，過(guò)程簡(jiǎn)單?？键c(diǎn)三 利用點(diǎn)的坐標(biāo)及面積公式求面積【例3】如圖，已知，是一次函數(shù)的圖像和反比例函數(shù)的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)及三角形的面積解：（1）在上  反比例函數(shù)的解析式為：點(diǎn)在上       經(jīng)過(guò)，解之得   一

11、次函數(shù)的解析式為：（2）是直線與軸的交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，    點(diǎn)     如圖，直線與反比例函數(shù)（0）的圖象相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4.（1）試確定反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）求AOC的面積.解：（1）點(diǎn)A（-2，4）在反比例函數(shù)圖象上k=-8 反比例函數(shù)解析式為y=（2）B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-4， 縱坐標(biāo)為y=2     B(-4，2)點(diǎn)A（-2，4）、 點(diǎn)B（-4，2）在直線y=kx+b上 4=-2k+b 且2=-4k+b解得 k=1 

12、   b=6直線AB為y=x+6與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)C（-6，0）S=12評(píng)注：對(duì)于例4、例5類(lèi)型的題目，其解題方法基本上都是分三步：先由條件求函數(shù)解析式，再通過(guò)解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)，最后由面積公式計(jì)算面積。難度屬中檔題?？键c(diǎn)四、利用對(duì)稱性求反比例函數(shù)有關(guān)的面積問(wèn)題【例4】已知, A、B、C、D、E是反比例函數(shù)（x>0）圖象上五個(gè)整數(shù)點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)），分別以這些點(diǎn)向橫軸或縱軸作垂線段，由垂線段所在的正方形邊長(zhǎng)為半徑作四分之一圓周的兩條弧，組成如圖5所示的五個(gè)橄欖形（陰影部分），則這五個(gè)橄欖形的面積總和是      

13、（用含的代數(shù)式表示）分析：x,y為正整數(shù)，x=1,2,4,8,16即A、B、C、D、E五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,16),(2,8),(4,4),(8,2),(16,1)，因五個(gè)橄欖形關(guān)于y=x對(duì)稱，故有S=13-26如圖，A和B都與x軸和y軸相切，圓心A和圓心B都在反比例函數(shù)的圖象上，則圖中陰影部分的面積等于            . 分析：因?yàn)閳A心A中的非陰影部分與圓B中的陰影部分為對(duì)稱圖形，圓A中的陰影部分與圓B中的非陰影部分也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故兩陰影部分面積的和等于圓的面積。設(shè)圓A的圓心

14、A的坐標(biāo)為(x,y)，由圖可知，x=y    A點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，    解得x=1從而所求面積為評(píng)注：對(duì)于較復(fù)雜的圖形面積計(jì)算問(wèn)題，先應(yīng)觀察圖形的特征，若具有對(duì)稱特征，則應(yīng)用對(duì)稱關(guān)系可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程。四、 鞏固練習(xí)：（1） 選擇題1、反比例函數(shù)的圖象如圖所示，點(diǎn)M是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，MN垂直于x軸，垂足是點(diǎn)N，如果SMON2，則k的值為（）D (A)2 (B)-2 (C)4 (D)-42、（四川綿陽(yáng)）若A（a1，b1），B（a2，b2）是反比例函數(shù)圖象上的兩個(gè)點(diǎn)，且a1a2，則b1與b2的大小關(guān)系是（）DAb1b2 Bb1 =

15、b2 Cb1b2 D大小不確定3、（福建龍巖）函數(shù)與在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象可以是（ ）BxyOAxyOBxyOCxyODCBBAAA(第7題圖)O（2） 填空題4、（湖北潛江）如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線相交于B兩點(diǎn)，AC軸，BC軸，則ABC的面積等于 個(gè)面積單位.10（3）解答題5、如圖 所示，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AB垂直x軸于點(diǎn)B，AOB的面積為。 （1）求k和b的值； （2）若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并且與x軸相交于點(diǎn)M，求AB：OM的值。 分析：以面積為突破口，可求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)b和系數(shù)k，結(jié)合A點(diǎn)的雙重特性（A點(diǎn)既在直線上，又在反比例函數(shù)圖象上）求解相應(yīng)問(wèn)題。 解：（1）AB

16、BO，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2）點(diǎn)A在直線上 當(dāng)y=0時(shí)，所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)評(píng)：縱觀近年來(lái)的中考試題，關(guān)于反比例函數(shù)的綜合題大多是與一次函數(shù)相結(jié)合，做題時(shí)常利用交點(diǎn)的雙重特性來(lái)構(gòu)造方程（組）解決問(wèn)題。6.如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A（-2，1），B（1，n）兩點(diǎn)（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象寫(xiě)出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍7已知：如圖，函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，一直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（1，0）將AOB的面積分成相等的兩部分（1）求直線L的函數(shù)解析式；（2）若直線L將AOB的面積分成1：3兩部分，求直線L的函數(shù)解

17、析式五、 拓展訓(xùn)練已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中過(guò)點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作直線軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)當(dāng)四邊形的面積為6時(shí)，請(qǐng)判斷線段與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由分析：（1）由點(diǎn)A（3，2）在兩函數(shù)圖象上，可求得k=6,a=，正比例函數(shù)為,反比例函數(shù)為(2)0<x<3(3)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，t），則M點(diǎn)坐標(biāo)為（由四邊形OADM的面積為6得 3+6+3=3t 解得t=4故點(diǎn)M為（  D點(diǎn)為（3，4）從而M點(diǎn)為BD中點(diǎn)，BM=DM評(píng)注：第小問(wèn)考查求正比例和反比例函數(shù)解析式的基本方法，第小問(wèn)考查分析圖形的能力，第小問(wèn)考查反比例函數(shù)中的面積的計(jì)算問(wèn)題。三個(gè)小問(wèn)題層次分明，有梯度，是一道較好的中考題目六、反思總結(jié)當(dāng)堂過(guò)手訓(xùn)練 （快練5分鐘，穩(wěn)準(zhǔn)建奇功）1、已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都過(guò)，求此正比例函數(shù)的解析式及另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)。 分析：由A點(diǎn)坐標(biāo)滿足可求得m值，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得正比例函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組可求得另一交點(diǎn)坐標(biāo)。 解：因圖象過(guò)，即，故，即A（3，1） 將A（3，1）代入，得 所以