題型積分的幾何意義

1、題型6 積分的幾何意義求面積例15. 求曲線及直線所圍成的平面圖形的面積.解:由圖可知, 平面圖形的面積= (3xlnx)+(3x) = 指點(diǎn): （1）思想 等量變換 （2）方法 割補(bǔ)法 （3）拓展 此題可變 （4）解釋 請(qǐng)說(shuō)明割補(bǔ)的過(guò)程例16. 如圖,陰影部分面積總和為 ( D ) （A） （B） （C） （D）指點(diǎn)：（1）關(guān)注 各選擇支的不同 （2）理解 正確理解定積分的幾何意義 （3）感悟 只有深刻地理解，才有正確的選擇題型7 定積分的物理意義 變速運(yùn)動(dòng)的路程例17已知自由落體的速度為則落體從所走過(guò)的路程為 ( C ) 解：指點(diǎn)：（1）理解 正確理解定積分的物理意義 （2）感悟 只有深刻

2、地理解，才有正確的選擇例18一輛汽車的速度-時(shí)間曲線如圖,則該汽車在這1行駛的路程是 . 指點(diǎn)：（1）理解 正確理解定積分的幾何與物理意義 （2）感悟 只有深刻地理解，才有正確的運(yùn)用 （3）關(guān)注 物理量的單位換算 （4）拓展 此題可變 變力所作的功例19一物體按規(guī)律x = ct2 直線運(yùn)動(dòng), 所受的阻力與速度的平方成正比, 計(jì)算物體從x =0到x = a時(shí), 克服阻力所作的功.解：先求出物體的運(yùn)動(dòng)速度, 再求物體所受的力.位于x處時(shí)物體的速度v = x = 2ct = 2c= 2,所受阻力為F = k4cx = 4ck x, 故克服力所做的功為W = = 2a2kc指點(diǎn)：（1）理解 正確理解定

3、積分的物理意義 （2）感悟 只有深刻地理解，才有正確的運(yùn)用 （3）關(guān)注 物理量的換算 （4）拓展 此題可變題型8 定積分的計(jì)算例20 計(jì)算 (1) (2) (3)解: (1) (2) ; (3) .指點(diǎn):（1）關(guān)注 導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系 （2）警戒 防止思維的慣性的定勢(shì) （3）拓展 此題可變題型9 定積分的綜合應(yīng)用例21設(shè)是二次函數(shù),方程有兩個(gè)相等的實(shí)根,且.(1) 求的表達(dá)式;(2) 若直線把的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形二等分,求的值.解: (1) 因?yàn)?所以設(shè)。又方程有兩個(gè)相等的實(shí)根, 所以，.(2) 依題意: ， ， ， 指點(diǎn)：（1）方法 待定系數(shù)法 （2）關(guān)注 導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系 （3

4、）技巧 先配方再積分較簡(jiǎn)便例22.如圖,直線分拋物線與軸所圍圖形為面積相等的兩部分,求的值。解：解得， 指點(diǎn)：（1）多解 此題可多解 （2）感悟 方法決定效果例22已知二次函數(shù), 滿足且的最小值是.（1）求的解析式;（2）設(shè)直線,若直線與的圖象以及軸所圍成封閉圖形的面積是, 直線與的圖象所圍成封閉圖形的面積是,設(shè),當(dāng)取最小值時(shí), 求的值.（3）已知, 求證: .解: （1）由二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性, 可設(shè), 又故（2）據(jù)題意, 直線與的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為,由定積分的幾何意義知=，而令或(不合題意,舍去)當(dāng)故當(dāng)時(shí),有最小值.（3） 的最小值為 + 得: 又 由均值不等式和知:故例23如圖所示，已知曲線與曲線交于點(diǎn)、，直線與曲線、分別相交于點(diǎn)、，連結(jié).（1）寫出曲邊四邊形 （陰影部分）的面積與的函數(shù)關(guān)系式；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值. 解：（1）由得點(diǎn) 又由已知得 故 （2），令，即，解得或 ，應(yīng)舍去.若即時(shí)，.在區(qū)間上單調(diào)遞增,的最大值是. 若 即時(shí),當(dāng)