南昌大學(xué)第十四屆高等數(shù)學(xué)競賽試題--數(shù)學(xué)專業(yè)---低年級組

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2017年南昌大學(xué)數(shù)學(xué)競賽試卷答案（數(shù)學(xué)專業(yè)低年級組） 課程名稱：數(shù)學(xué)分析競賽低年級組開課學(xué)院：理學(xué)院考試形式：閉卷適用班級：數(shù)學(xué)系16級學(xué)生考試時間：180 分鐘試卷說明：1、本試卷共 6 頁。2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場。題號一二三四五六七八九十總分累分人簽 名題分4060100得分考生填寫欄考生姓名：考生學(xué)號：所屬學(xué)院：所屬班級：所屬專業(yè)：考試日期：考 生須 知1、請考生務(wù)必查看試卷中是否有缺頁或破損。如有立即舉手報告以便更換。2、嚴(yán)禁代考，違者雙方均開除學(xué)籍；嚴(yán)禁作弊，違者取消學(xué)位授予資格；嚴(yán)禁自備草稿紙、攜帶手機、攜帶小抄等入場，違

2、者按考試違規(guī)處理?？?生承 諾本人知道考試違紀(jì)、作弊的嚴(yán)重性，將嚴(yán)格遵守考場紀(jì)律，如若違反則愿意接受學(xué)校按有關(guān)規(guī)定處分！考生簽名： 一、計算題（40分）：（本題共4小題，每題10分）得 分評閱人1.利用下面結(jié)論：若滿足（1） ；（2） ；（3） ，則（其中為有限數(shù)）。求，其中為自然數(shù).證明：令，則，并且 ，所以.2. 求在處的階導(dǎo)數(shù)由 ，得 ，對此等式兩邊用萊布尼茨公式求階導(dǎo)數(shù)得 令 ，得利用 此遞推公式及得 解： 3. 計算 其中 解：利用分部積分可得到而因此其中則 而.4. 設(shè)為正整數(shù)，求解：（1）（2）解：利用三角函數(shù)公式 得到因此 二、證明題：（60分）（共4小題，每題 15 分）得

3、分評閱人1. 設(shè)是上的二階連續(xù)可微的函數(shù)，并且滿足證明：證明：由已知條件以及可知，存在一個區(qū)間，使得任意，有并且因此，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增. 由中值定理，對于任意，存在，有考慮到單調(diào)遞增，所以從而，令，我們有上式對所有的成立，于是，存在，且 2.設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使. 證明： 由于三階可導(dǎo)，可考慮泰勒公式；又應(yīng)在處展開 在上式中分別取和 兩式相減得，即 由于連續(xù)，則在閉區(qū)間上有最大值和最小值。 則，由連續(xù)函數(shù)介值定理知，存在，使 。3.設(shè)是上的正值連續(xù)的偶函數(shù)，且.令 ， .（1）證明：在上嚴(yán)格單調(diào)增加；（2）求使得在上取得最小值的點. 證明： .由連續(xù)，有 ， ，因此在上嚴(yán)格單調(diào)增加。2）令 即， 亦即。 由是偶函數(shù)，有，即是方程的解。又在上嚴(yán)格單調(diào)增加，當(dāng)時，有，知在上嚴(yán)格單調(diào)減少；當(dāng)時，有，知在上嚴(yán)格單調(diào)增加，因此，是在上的最小值，從而，在上取得最小值的點是.4. 設(shè) 定義 .（1）求； （2）計算.解： （1）取定.令 則得到，進(jìn)一步利用數(shù)學(xué)歸納法可得到，這樣數(shù)列為一個有界單調(diào)非減的數(shù)列，從而極限存在，假設(shè)，并且滿足，上式兩邊取極限得到，從而，利用為一個單調(diào)非減的數(shù)列