【2020年高考必備】河南省開封市高考數(shù)學一模試卷(理科)及答案

1、河南省開圭寸市高考數(shù)學一模試卷（理科）一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分.在每小題給出的四個 選項中，只有一項是符合題目要求的.1. （5 分）設 U=R 已知集合 A=x|x 1 , B=x|xa，且（？uA）UB=R 則實數(shù) a 的取值范圍是（）A. （-x，1） B. （-x，1 c.（1，+x）D. 1，+x）2. （5 分）若復數(shù) Z1, Z2在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，且 Z1=1 - 2i，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點在（）3.（5 分）已知向量 a= （m - 1，1）， b = （m，- 2），貝廠m=2 是 “丄 b”的（）A.充分不必要條件 B

2、.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.（5 分）若.-4J，則 sin2 由勺值為（）1D.5.（5 分） 已知等比數(shù)列an的前 n 項和為 Sn， 且 9S3=S6,a?=1，則 a=（A. ： B - C匚 D.26.（5 分）已知曲線三-$=1 （a0，b0）為等軸雙曲線，且焦點到漸近線a2b2的距離為打則該雙曲線的方程為（）A.厶撐二* B. x2-=1 C 宀，二近 D. x2-y2=27.（5 分）我國古代名著莊子？天下篇中有一句名言 一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”，其意思為：一尺的木棍，每天截取一半，永遠都截不完.現(xiàn)將該木 棍依此規(guī)律截取，如圖所示的程序框圖的

3、功能就是計算截取 7 天后所剩木棍的長度（單位：尺），則處可分別填入的是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限B.匸 C.A.Ji B. 一_ 11 1C. 1.一 . i 11 D. 1 . . - , i 1-1w-E8. （5 分）如圖，在一個正方體內(nèi)放入兩個半徑不相等的球 Oi、Ch,這兩個球相 外切，且球 Oi 與正方體共頂點 A 的三個面相切，球 02 與正方體共頂點 Bi 的三 個面相切，則兩球在正方體的面 AAiCiC 上的正投影是（）9. （5 分）如圖，某建筑工地搭建的腳手架局部類似于一個 2X2X3 的長方體框 架，一個建筑工人欲從 A 處沿腳手架攀登至 B

4、 處，則其最近的行走路線中不連 續(xù)向上攀登的概率為（）10. （5 分）函數(shù) g 的圖象大致是（）1x111. （5 分）拋物線M: y2=4x 的準線與 x 軸交于點 A,點 F 為焦點，若拋物線M上一點 P 滿足 PA 丄 PF,則以 F 為圓心且過點 P 的圓被 y 軸所截得的弦長約為（參 考數(shù)據(jù)：2.24）（ ）A.二 B.C.D.12. （5 分）已知函數(shù)二 .若函數(shù) F（ x） =f （x）63-3 的所有零點依次記為X1, X2, X3,，Xn，且 X1V沁 X3VVxn，則X1+2X2+2x3+2xnT+xn=( )A.B.445nC. 455nD. -33二、填空題：本大題共

5、 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13. （5 分）（x- y）10的展開式中，x7y3的系數(shù)與 x3y7的系數(shù)之和等于 _f5x+3y1514. (5 分)設 x, y 滿足約束條件応沈+1 ，且 x, y Z,則 z=3x+5y 的最大Lx-5y3值為_ .W x2的值有_ 個.16. (5 分)一個棱長為 5 的正四面體(棱長都相等的三棱錐)紙盒內(nèi)放一個小正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動， 則小正四面體的棱長的最大值為_.三、解答題：共 70 分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17. ( 12分)在厶ABC中， 角A, B, C所對應的邊分別為a, b, c，

6、 且2cos(acosC+ccosA)+b=0.(I)求角 B 的大??；(U)若 a=3,點 D 在 AC 邊上且 BD 丄 AC, BD= -，求 c.1418. (12 分)如圖 1,在矩形 ABCD 中, AD=2AB=4 E 是 AD 的中點.將 ABE 沿BE 折起使 A 到點 P 的位置，平面 PEB 丄平面 BCDE 如圖 2.(I)求證：平面 PBCL 平面 PEC(U)求二面角 B-PE- D 的余弦值.圖 1團 219. (12 分)近年來我國電子商務行業(yè)迎來蓬勃發(fā)展的新機遇，2017 年雙 11 期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達 1271 億人民幣.與此同時，相關管理部門推

7、出 了針對電商的商品和服務的評價體系，現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.6,對服務的好評率為 0.75,其中對商品和服務都做出好評的交易為 80 次.(I)完成下面的 2X2 列聯(lián)表，并回答是否有 99%的把握，認為商品好評與服務好評有關？對服務好評對服務不滿意合計對商品好評對商品不滿意合計200(n)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的 3 次購物中，設對商品和 服務全好評的次數(shù)為隨機變量 X:(1)求對商品和服務全好評的次數(shù) X 的分布列;(2)求 X 的數(shù)學期望和方差.附:P (K2k)0.150.100.050.0250.0100.0

8、050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828n(ad-bc)2汽；f二:4,其中n=a+b+C+d)22 _20. (12 分)給定橢圓 C: +.=1( a b 0),稱圓心在原點 O,半徑為 的圓是橢圓 C 的準圓”已知橢圓 C 的離心率：，其準圓”的方程為 x2+y2=4.(I)求橢圓 C 的方程；(II)點 P 是橢圓 C 的準圓”上的動點，過點 P 作橢圓的切線 h , 12交準圓”于點M，N.(1)當點 P 為準圓”與 y 軸正半軸的交點時，求直線 h, 12的方程，并證明 li丄12；(2)求證：線段 MN 的長為定值.21. (12

9、分)已知函數(shù) f (x) = (t - 1) xes, g (x) =tx+1 - ex.(I)當 t豐1 時，討論 f (x)的單調(diào)性；(n)f (x) g (x)在0, +x)上恒成立，求 t 的取值范圍.選修 4-4 :極坐標與參數(shù)方程22.(10 分)已知直線 I: 3x- jy- 6=0,在以坐標原點 O 為極點，x 軸正半軸 為極軸的極坐標系中，曲線 C：p-4sin0=0(I)將直線I寫成參數(shù)方程P=2+tC0Sa(t為參數(shù)，a 0, n),)的形式，并求曲線 C 的直角坐標方程；(U)過曲線 C 上任意一點 P 作傾斜角為 30勺直線，交 I 于點 A,求| AP|的最 值.選

10、修 4-5:不等式選講23.已知關于 x 的不等式| x+11+| 2x- 1| 3 的解集為x|mwx 1 , B=x|xa，且（？uA）UB=R 則實 數(shù)a 的取值范圍是（）A. （-x，1） B. （-x，1 c.（1，+x）D. 1，+x）【解答】解：U=R 集合 A=x|x1=1，+x），B=x| xa =（a，+x），?uA=（-x，1），又（？uA）UB=R.實數(shù) a 的取值范圍是（-x，1）.故選：A.2. （5 分）若復數(shù) Z1，Z2在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，且Z1=1 - 2i，則復數(shù)一在復平面內(nèi)對應的點在（）Z1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解答

11、】解： Z1=1 - 2i，且復數(shù) Z1，Z2在復平面內(nèi)對應的點關于虛軸對稱，Z2= 1 2i，則廠 _=_：.,= : .復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為（甞：-），在第四象限.引55故選：D.3. （5 分）已知向量 = （m- 1, 1），b= （m，- 2），則“ m=2 是“丄 的（ ）的距離為 則該雙曲線的方程為()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解答】解：；= (m - 1, 1), b = (m, 2), j 丨：？m (m - 1)- 2=0.由 m (m - 1)- 2=0,解得 m= - 1 或 m=2.m=2 是 “丄”勺充分不

12、必要條件.故選：A.4 .（5分）右二 二. -匚:，則sin2o 的值為（）A.二 B.C. D.888 S【解答】解：若 2cos2Q=sin（，即 2 （cos2a-sin2a）p-cos - sina422貝 U 2（ cosa+si n a,即 cosa+si n0=, 1+2s inacos 丄=即 si n2a=2s in248_ 7，故選：C.5. (5 分)已知等比數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,且 9S3=S6, a?=1，則 a=()A.二 B.二 C.二 D. 2w【解答】解：設等比數(shù)列an的公比為 qM1,V9S3=S5,氏=1,V : aq=11-Q1-Q一,aq=

13、1.則 q=2, a1=2.故選：A.226. （5 分） 已知曲線a-務=1 (a0, b0)為等軸雙曲線，且焦點到漸近線 b2a COSa=A.二寺 B. X2-y=1C ,_二逅 D. X2- y2=2【解答】解：根據(jù)題意，若曲線二-厶=1（a0, b0）為等軸雙曲線，則 a2=b2,a2b2c=,*H：a，即焦點的坐標為（ X:a, 0）；其漸近線方程為 x y=0，若焦點到漸近線的距離為，則有 =a=.：，Vi+i2 2則雙曲線的標準方程為 =1,即 x2-y2=2；2 2故選：D.7.（5 分）我國古代名著莊子？天下篇中有一句名言 一尺之棰，日取其半， 萬世不竭”其意思為：一尺的木

14、棍，每天截取一半，永遠都截不完.現(xiàn)將該木 棍依此規(guī)律截取， 如圖所示的程序框圖的功能就是計算截取 7 天后所剩木棍的長 度 （單位： 尺） ，則處可分別填入的是（）A. .、一 B.二僉：-：1 1C【-I D.卡”二一:I【解答】解：由題意可得：由圖可知第一次剩下 百，第二次剩下，由此得出22第 7 次剩下.，A.二寺 B. X2-y=1C ,_二逅 D. X2- y2=227可得為 i0 時，y=xlnx，y =1nx，即 0vxv時，函數(shù) y 單調(diào)遞減，當 x ,函數(shù) y 單調(diào)遞增, ee因為函數(shù) y 為偶函數(shù),故選：DI鄧6兀A.B.445nC. 455n11.(5 分)拋物線M: y

15、2=4x 的準線與 x 軸交于點 A,點 F 為焦點，若拋物線M上一點P 滿足 PA 丄 PF,則以 F 為圓心且過點 P 的圓被 y 軸所截得的弦長約為(參 考數(shù)據(jù)：二2.24)()A.二 B. = CD.【解答】解：由題意，A (- 1, 0), F (1, 0),點 P 在以 AF 為直徑的圓 x2+y2=1 上.設點 P 的橫坐標為 m，聯(lián)立圓與拋物線的方程得 x2+4x-仁 0,Im0,二 m= - 2+；壬,點 P 的橫坐標為-2+匸， | PF =m+1 = - 1+屈,圓 F 的方程為(x- 1)2+/= ( - 1)2,令 x=0,可得 y=；I EF =25-卻雖2“5巨X

16、 24=伍!,12(5分)已知函數(shù)匸丄.蘭二，若函數(shù)F(X)=f(x)-3 的所有零點依次記為X1, X2, X3,，Xn，且 X1V沁 X3VVxn，則X1+2X2+2x3+2xn-1+xn=( )【解答】解：函數(shù)-0值為13.令 2x- 一 = +kn 得 x=，I + , k乙 即 f(x)的對稱軸方程為 x= 1 + ,622323k Z.If (x)的最小正周期為 T=n,0 xW農(nóng)兀，3當 k=30 時，可得 x=，3 f (x)在0，J上有 30 條對稱軸，3根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知：函數(shù)2L-與 y=3 的交點 X1, X2關于63對稱，x2, X3關于二丄對稱，6即xl+x2=

17、X2， x?+x3=X2，Xn-1+xn=2X(.)6623將以上各式相加得：XI+2X2+2X3+2X28+X29=2(+ + + )=(2+5+8+-+89)6 6 6X一=455n3則Xi+2X2+2X3+2Xn-i+Xn=( X1+X2) + (X2+X3)+X3+-+Xn-1+ (xn-i+冷)=2(-故選：C二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分.13. (5 分)(x- y)10的展開式中，x7y3的系數(shù)與 x3y7的系數(shù)之和等于-240 .【解答】解：因為(x-y)10的展開式中含 x7y3的項為 Cio3x10-3y( - 1)3二-Cio3x7y3,

18、含x3y7的項為 Ci07x10 7y7(- 1)7= - C107x3y7.由 C103=G07=120 知，x7y3與 x3y7的系數(shù)之和為-240.故答案為-240.f5x+3y1514. (5 分)設 x, y 滿足約束條件* yx+l ，且 x, y Z,則 z=3x+5y 的最大)=455n由此得到滿足條件的 a 的值有 1- In2 和和 2 和，共 4 個.r5x+3y15【解答】解：由約束條件*訊作出可行域如圖,主-5y3作出直線 3x+5y=0, x, y Z,平移直線 3x+5y=0 至（1, 2）時，目標函數(shù) z=3x+5y 的最大值為 13.故答案為：13.2TK2的

19、值有 4 個.2 嚴，x2當 av2 時，f (a) =2ea_1,若 2ea-1v2,則 f (f (a) = .-：1=2,解得 a=1-l n2；若 2ea-12,則 f (f (a) =-| =2,解得 a=ln+1，成立；J2當 a2 時，f (a) =log3(a2- 1),2若 log3(a2- 1)v2,則 f (f (a)已二：-1=2，解得 a=2,或 a=- 2,與 a2 不符，若 log3(a2- 1) 2,則 f (f (a) =log3 (log3(a2- 1) =2,解得 a2=310+1, a=,: - + 或 a=-與 a2 不符.3x+5y=Ox-5y=3由

20、此得到滿足條件的 a 的值有 1- In2 和和 2 和，共 4 個.故答案為：4.16. (5 分)一個棱長為 5 的正四面體(棱長都相等的三棱錐)紙盒內(nèi)放一個小 正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動， 則小正四面體的棱長的最大值 為._色一【解答】解：在此紙盒內(nèi)放一個小正四面體， 若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意 轉(zhuǎn)動，小正四面體的外接球是紙盒的內(nèi)切球，設正四面體的棱長為 a,貝 U 內(nèi)切球的半徑為a,外接球的半徑是a，124紙盒的內(nèi)切球半徑是，12 12設小正四面體的棱長是 X，則= X，解得 x=，1243小正四面體的棱長的最大值為，3故答案為：.3三、解答題：共 70 分解答應寫出

21、文字說明，證明過程或演算步驟.17. ( 12分)在厶 ABC 中， 角 A, B, C所對應的邊分別為 a, b, c， 且 2cos(acosC+ccosA)+b=0.(I)求角 B 的大??；(U)若 a=3,點 D 在 AC 邊上且 BD 丄 AC, BD=：，求 c.【解答】解：(I)在厶 ABC 中，角 A,B,C 所對應的邊分別為 a,b,c,且 2cosB (acosC+ccosA) +b=0.則：2cosB (sinAcosC+sinCcosA +sinB=0,整理得：2cosBsin(A+C)二-sinB,由于：0vBv n,則：sinBM0,解得：,所以：B 二匯.(H)點

22、 D 在 AC 邊上且 BD 丄 AC,在直角 BCD 中，若 a=3, BD-,解得：八,解得：1 千，則：亠.廠工，14，所以：cos/ABD=p- 一 -；：.= 則：在 RtAABD 中，cosZ. ABD一丄-=1 .14故：c=5.18. (12 分)如圖 1,在矩形 ABCD 中, AD=2AB=4 E 是 AD 的中點.將 ABE 沿 BE折起使 A 到點 P 的位置，平面 PEB 丄平面 BCDE 如圖 2.(I)求證：平面 PBCL 平面 PEC(U)求二面角 B-PE- D 的余弦值.圖1團 2【解答】(I)證明：AD=2AB E 為線段 AD 的中點, AB=AE取 B

23、E 中點 0,連接 P0,則 P0 丄 BE,又平面 PEBL 平面 BCDE 平面 PEBA 平面 BCDE=BE P0 丄平面 BCDE 貝 U P0 丄 EC,在矩形 ABCD 中 ,二 AD=2AB E 為 AD 的中點, BEL EC,貝UECI平面 PBE ECLPB,又 PB 丄 PE 且 PEAEC=E PB 丄平面 PEC 而 PB?平面 PBC平面 PBCL平面 PEC（n）解：以 OB 所在直線為 x 軸,以平行于 EC 所在直線為 y 軸,以 OP 所在直 線為 z軸建立空間直角坐標系，- PB=PE=2 則 B （匚,0 , 0）, E （- - , 0 , 0）,

24、P （0 , 0,）, D （- 2匚,匚,0）,山7 刃,E - : , H=（：二,: , ：）設平面 PED 的一個法向量為出（mPE 二刑勺二A.EL由 L廠,令 Z=- 1 ,則滬 1 1，T）, m PD 二-2/2K+/2 yy2 z=0又平面 PBE 的一個法向量為, , ,19. （12 分）近年來我國電子商務行業(yè)迎來蓬勃發(fā)展的新機遇,2017 年雙 11 期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達 1271 億人民幣與此同時，相關管理部門推出貝 Ucosv:!=125,其中 P (X=0) = ( )3-；5125 .2- 54了針對電商的商品和服務的評價體系， 現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出 2

25、00 次成功交易，并 對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為 0.6,對服務的好評率為 0.75,其中對商 品和服務都做出好評的交易為 80 次.(I)完成下面的 2X2 列聯(lián)表，并回答是否有 99%的把握，認為商品好評與服務好評有關?對服務好評對服務不滿意合計對商品好評對商品不滿意合計200(n)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的 3 次購物中，設對商品和 服務全好評的次數(shù)為隨機變量 X:(1)求對商品和服務全好評的次數(shù) X 的分布列;(2)求 X 的數(shù)學期望和方差.附:P (K2k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.02

26、46.6357.87910.828(_ n(ad-Hc) _* (a+b)(c+d) G+c)(b+d)其中 n=a+b+c+d)【解答】解：(I)由題意可得關于商品和服務評價的對服務好評對服務不滿意合計對商品好評8040120對商品不滿意701080合計15050200=I I ! : II11.111 6.635,故有 99%的把握，認為商品好評與服務好評有關.(n)( 1)每次購物時，對商品和服務全為好評的概率為:，且 X 的取值可以是50， 1， 2， 3.2X2 列聯(lián)表如下:P (X=1)=:P( x=2=三P(x=3)八【叮,X 的分布列為:X0123P27543S81251251

27、25125(2)vX B(3,),5-E( X)=,5520.(12 分)給定橢圓C: + .=1( a b 0),稱圓心在原點 O,半徑為 的圓是橢圓 C 的準圓”已知橢圓 C 的離心率.一 ,其準圓”的方程為X2+=4.j(I) 求橢圓 C 的方程；(II)點 P 是橢圓 C 的準圓”上的動點，過點 P 作橢圓的切線 h , 12交準圓”于點M, N.(1) 當點 P 為準圓”與 y 軸正半軸的交點時，求直線 h, 12的方程，并證明 li丄12；(2) 求證：線段 MN 的長為定值.【解答】解：(I)由準圓方程為/+y2=4 ,貝Ua2+b2=4 ,橢圓的離心率解得：a= :, b=1,

28、橢圓的標準方程：(U)證明：(1)v準圓 x2+y2=4 與 y 軸正半軸的交點為 P(0,2),設過點 P (0, 2)且與橢圓相切的直線為 y=kx+2.D(X)=3X5=fy=kx+2聯(lián)立 * /，整理得(1+3)x2+12kx+9=0.可+宀直線 y=kx+2 與橢圓相切，:=144k2-4X9 (1 +3k2) =0,解得 k= 1,h, I2方程為 y=x+2, y=-x+2.：=1, ：一 =- 1,(2)當直線 I1, I2中有一條斜率不存在時，不妨設直線 I1斜率不存在,則 h：x=乙當 l1： x=時，I1與準圓交于點( 乙 1) (，- 1),此時 I2為 y=1 (或

29、y=- 1),顯然直線 I1, I2垂直；同理可證當 I1: x=二時，直線 h, 12垂直.當 I1, I2斜率存在時，設點 P (xo, yo),其中 xo2+yo2=4.設經(jīng)過點 P (xo, yo)與橢圓相切的直線為 y=t (x- xo) +yo,ry=t(x-x0)+y0由2得(1+3t2) x+6t (yo- txo) x+3 (yo- txo)2- 3=o.由厶=o 化簡整理得(3 - xo2) t2+2xoyot +1 - yo2=o,Txo2+yo2=4., 有(3 - xo2) t2+2xoyot+ (xo2-3) =o.設 I1, I2的斜率分別為 t1, t2,TI1

30、, I2與橢圓相切， t1, t2滿足上述方程(3-xo2) t2+2xoyot+ (xo2- 3) =o, t?t2=- 1，即卩 I1, b 垂直.綜合知：TI1, I2經(jīng)過點 P (xo, yo),又分別交其準圓于點M, N,且 I1, I2垂直.線段 MN 為準圓 x2+y2=4 的直徑，| MN| =4,線段 MN 的長為定值.貝U 11丄l2.21.(12 分)已知函數(shù) f (x) = (t - 1)xex, g(x) =tx+1 - ex.(1)當 t豐 1時，討論 f(x)的單調(diào)性；(n)f (x) 1,則 xv-1 時，f (x)v0, f (x)遞減，x- 1 時，f (x

31、) 0, f (x) 遞增，若 tv1,貝Uxv- 1 時，f (x) 0, f (x)遞增，x- 1 時，f (x)v0, f (x) 遞減，故 t1 時，f(x)在(-x,-1)遞減，在(-1,+x)遞增，tv1 時，f(乂)在(-x,-1)遞增，在(-1,+X)遞減；(2) f (x) g (x)在0, +x)上恒成立，即(t - 1) xeT- tx - 1+ex0, h (x)在0, +x)遞增， h (x) h (0) =0,故 h (x)在0, +x)遞增，故 h (x) h (0) =0,顯然不成立， t 工 1,則 h (x) =ex(x+ ) (t - 1),t_l令 h (x) =0,則