線性回歸方程分析

1、環(huán)球雅思學(xué)科教師輔導(dǎo)講義講義編號(hào)： 組長(zhǎng)簽字： 簽字日期： 學(xué)員編號(hào)： 年 級(jí)： 高二 課時(shí)數(shù)：3學(xué)員姓名： 輔導(dǎo)科目： 數(shù)學(xué) 學(xué)科教師：閆建斌課 題線性回歸方程授課日期及時(shí)段2014-2-11 18:00-20:00教學(xué)目標(biāo)線性回歸方程基礎(chǔ)重點(diǎn)、難點(diǎn)教 學(xué) 內(nèi) 容1、本周錯(cuò)題講解2、知識(shí)點(diǎn)梳理1線性回歸方程變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系線性回歸方程：（最小二乘法）最小二乘法：求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方最小的方法 注意：線性回歸直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)2相關(guān)系數(shù)（判定兩個(gè)變量線性相關(guān)性）：注：0時(shí)，變量正相關(guān)； 0時(shí)，變量負(fù)相關(guān)； 越接近于1，兩個(gè)變量

2、的線性相關(guān)性越強(qiáng)； 接近于0時(shí)，兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系。3線形回歸模型：隨機(jī)誤差：我們把線性回歸模型，其中為模型的未知參數(shù)，稱為隨機(jī)誤差。 隨機(jī)誤差殘差：我們用回歸方程中的估計(jì)，隨機(jī)誤差，所以是的估計(jì)量，故，稱為相應(yīng)于點(diǎn)的殘差?；貧w效果判定-相關(guān)指數(shù)(解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量的貢獻(xiàn)率) (的表達(dá)式中確定)注：得知越大，說(shuō)明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好；越接近于1，則回歸效果越好。4獨(dú)立性檢驗(yàn)（分類變量關(guān)系）：(1)分類變量：這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別的變量。(2)列聯(lián)表：列出兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表。(3)對(duì)于列聯(lián)表：的觀測(cè)值。(4)臨界值表：0.500.

3、400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828如果，就推斷“有關(guān)系”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)；否則，在樣本數(shù)據(jù)中沒(méi)有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“有關(guān)系”。(5)反證法與獨(dú)立性檢驗(yàn)原理的比較：反證法原理在假設(shè)下，如果推出矛盾，就證明了不成立。獨(dú)立性檢驗(yàn)原理在假設(shè)下，如果出現(xiàn)一個(gè)與相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)這個(gè)小概率。典型例題1(2011山東)某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x/萬(wàn)元4235銷售額y/萬(wàn)元49263

4、954根據(jù)上表可得回歸方程x中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為 ()A63.6萬(wàn)元 B65.5萬(wàn)元C67.7萬(wàn)元 D72.0萬(wàn)元解析，42，又x必過(guò)(，)，429.4，9.1.線性回歸方程為9.4x9.1.當(dāng)x6時(shí)，9.469.165.5(萬(wàn)元)答案B2(2011江西)為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x/cm174176176176178兒子身高y/cm175175176177177則y對(duì)x的線性回歸方程為 ()A.x1 B.x1C.88x D.176解析因?yàn)?76，176，又y對(duì)x的線性回歸方程表示的直線恒過(guò)點(diǎn)(，)，所以將(176

5、,176)代入A、B、C、D中檢驗(yàn)知選C.答案C3(2011陜西)設(shè)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)是變量x和y的n個(gè)樣本點(diǎn)，直線l是由這些樣本點(diǎn)通過(guò)最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖)，以下結(jié)論中正確的是()Ax和y的相關(guān)系數(shù)為直線l的斜率Bx和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間C當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)一定相同D直線l過(guò)點(diǎn)(，)解析因?yàn)橄嚓P(guān)系數(shù)是表示兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一個(gè)值，它的絕對(duì)值越接近1，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，所以A、B錯(cuò)誤C中n為偶數(shù)時(shí)，分布在l兩側(cè)的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以不相同，所以C錯(cuò)誤根據(jù)回歸直線方程一定經(jīng)過(guò)樣本中心點(diǎn)可知D正確，所以選D.答案

6、D4(2011廣東)為了解籃球愛(ài)好者小李的投籃命中率與打籃球時(shí)間之間的關(guān)系，下表記錄了小李某月1號(hào)到5號(hào)每天打籃球時(shí)間x(單位：小時(shí))與當(dāng)天投籃命中率y之間的關(guān)系：時(shí)間x12345命中率y0.40.50.60.60.4小李這5天的平均投籃命中率為_(kāi)；用線性回歸分析的方法，預(yù)測(cè)小李該月6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率為_(kāi)解析小李這5天的平均投籃命中率0.5，可求得小李這5天的平均打籃球時(shí)間3.根據(jù)表中數(shù)據(jù)可求得0.01，0.47，故回歸直線方程為0.470.01x，將x6代入得6號(hào)打6小時(shí)籃球的投籃命中率約為0.53.答案0.50.535(2011遼寧)調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬(wàn)元)和

7、年飲食支出y(單位：萬(wàn)元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對(duì)x的回歸直線方程：0.254x0.321.由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬(wàn)元，年飲食支出平均增加_萬(wàn)元解析由題意知0.254(x1)0.321(0.254x0.321)0.254.答案0.2546(2011安徽)某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份20022004200620082010需求量(萬(wàn)噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程x；(2)利用(1)中所求出的直線方程預(yù)測(cè)該地2012年的糧食需求量解(1)由所給數(shù)據(jù)看出，

8、年需求量與年份之間是近似直線上升的，下面求回歸直線方程為此對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)處理如下：年份200642024需求量257211101929對(duì)預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得0，3.2.6.5，b3.由上述計(jì)算結(jié)果，知所求回歸直線方程為257(x2 006)6.5(x2 006)3.2，即6.5(x2 006)260.2.(2)利用直線方程，可預(yù)測(cè)2012年的糧食需求量為65(20122006)260.26.56260.2299.2(萬(wàn)噸)課堂練習(xí)1實(shí)驗(yàn)測(cè)得四組(x，y)的值為(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，則y與x之間的回歸直線方程為()A.x1B.x2 C.2x1 D.x12在比較兩個(gè)模型的擬

9、合效果時(shí)，甲、乙兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)R2的值分別約為0.96和0.85，則擬合效果好的模型是()A甲 B乙 C甲、乙相同 D不確定3某化工廠為預(yù)測(cè)產(chǎn)品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取8對(duì)觀測(cè)值，計(jì)算，得xi52，yi228，x478，xiyi1849，則其線性回歸方程為()A.11.472.62x B.11.472.62xC.2.6211.47x D.11.472.62x4下表是某廠14月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)：月份x1234用水量y4.5432.5由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是0.7xa，則a等于_5某車間為

10、了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5(1)在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程bxa，并在坐標(biāo)系中畫(huà)出回歸直線；(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少小時(shí)？課后練習(xí)一、選擇題1實(shí)驗(yàn)測(cè)得四組(x，y)的值為(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，則y與x之間的回歸直線方程為()A.x1B.x2C.2x1 D.x1答案A解析畫(huà)出散點(diǎn)圖，四點(diǎn)都在直線x1.2下列有關(guān)樣本相關(guān)系數(shù)的說(shuō)法不正確的是()A相關(guān)系數(shù)用來(lái)衡量變量x與y之間的線性相關(guān)程度B|r|1，且|

11、r|越接近于1，相關(guān)程度越大C|r|1，且|r|越接近0，相關(guān)程度越小D|r|1，且|r|越接近1，相關(guān)程度越小答案D3由一組樣本(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)得到的回歸直線方程abx，下面有四種關(guān)于回歸直線方程的論述：(1)直線abx至少經(jīng)過(guò)點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的一個(gè)點(diǎn)；(2)直線abx的斜率是；(3)直線abx必過(guò)(，)點(diǎn)；(4)直線abx和各點(diǎn)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)的偏差 (yiabxi)2是該坐標(biāo)平面上所有的直線與這些點(diǎn)的偏差中最小的直線其中正確的論述有()A0個(gè) B1個(gè)C2個(gè) D3個(gè)答案D解析線性回歸直線不一定過(guò)點(diǎn)

12、(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中的任何一點(diǎn)；b就是線性回歸直線的斜率，也就是回歸系數(shù)；線性回歸直線過(guò)點(diǎn)(，)；線性回歸直線是平面上所有直線中偏差 (yiabxi)2取得最小的那一條故有三種論述是正確的，選D.4設(shè)兩個(gè)變量x和y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，它們的相關(guān)系數(shù)是r，y關(guān)于x的回歸直線的斜率是b，縱截距是a，那么必有()Ab與r的符號(hào)相同 Ba與r的符號(hào)相同Cb與r的符號(hào)相反 Da與r的符號(hào)相反答案A5在比較兩個(gè)模型的擬合效果時(shí)，甲、乙兩個(gè)模型的相關(guān)指數(shù)R2的值分別約為0.96和0.85，則擬合效果好的模型是()A甲 B乙C甲、乙相同 D不確定答案A6某化工廠為預(yù)測(cè)產(chǎn)品的回收率

13、y，需要研究它和原料有效成分含量x之間的相關(guān)關(guān)系，現(xiàn)取8對(duì)觀測(cè)值，計(jì)算，得xi52，yi228，x478，xiyi1849，則其線性回歸方程為()A.11.472.62x B.11.472.62xC.2.6211.47x D.11.472.62x答案A解析利用回歸系數(shù)公式計(jì)算可得a11.47，b2.62，故11.472.62x.二、填空題7下表是某廠14月份用水量(單位：百噸)的一組數(shù)據(jù)：月份x1234用水量y4.5432.5由散點(diǎn)圖可知，用水量y與月份x之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸直線方程是0.7xa，則a等于_解析2.5，3.5，回歸直線方程過(guò)定點(diǎn)(，)，3.50.72.5a.a5

14、.25.8某服裝商場(chǎng)為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x()171382月銷售量y(件)24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程bxa中的b2，氣象部門(mén)預(yù)測(cè)下個(gè)月的平均氣溫約為6，據(jù)此估計(jì)，該商場(chǎng)下個(gè)月毛衣的銷售量約為_(kāi)件(參考公式：b，ab )答案46解析由所提供數(shù)據(jù)可計(jì)算得出10，38，又b2代入公式ab 可得a58，即線性回歸方程2x58，將x6代入可得9對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究，調(diào)查他們是否又發(fā)作過(guò)心臟病，調(diào)查結(jié)果如下表所示：又發(fā)作

15、過(guò)心臟病未發(fā)作過(guò)心臟病合計(jì)心臟搭橋手術(shù)39157196血管清障手術(shù)29167196合計(jì)68324392試根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算K2_.比較這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有沒(méi)有差別_.答案1.78不能作出這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有差別的結(jié)論解析提出假設(shè)H0：兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響沒(méi)有差別根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得K21.78.當(dāng)H0成立時(shí)K21.78，而K22.072的概率為0.85.所以，不能否定假設(shè)H0.也就是不能作出這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響有差別的結(jié)論三、解答題10某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了201

16、0年12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每100顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下表：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日溫差x()101113128發(fā)芽數(shù)y(顆)2325302616該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組，用剩下的3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)(1)求選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰的2天數(shù)據(jù)的概率；(2)若選取的是12月1日與12月5日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程bxa；(3)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò)2顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試

17、問(wèn)(2)中所得到的線性回歸方程是否可靠？解析(1)設(shè)抽到不相鄰的兩組數(shù)據(jù)為事件A，因?yàn)閺?組數(shù)據(jù)中選取2組數(shù)據(jù)共有10種情況：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)其中數(shù)據(jù)為12月份的日期數(shù)每種情況都是可能出現(xiàn)的，事件A包括的基本事件有6種：所以P(A).所以選取的2組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰2天數(shù)據(jù)的概率是.(2)由數(shù)據(jù)，求得12，27.由公式，求得b，ab 3.所以y關(guān)于x的線性回歸方程為x3.(3)當(dāng)x10，10322，|2223|2；同樣，當(dāng)x8時(shí)，8317，|1716|2；所以，該研究所得到的回歸方程是可靠的11

18、某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此作了四次試驗(yàn)，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個(gè)數(shù)x(個(gè))2345加工的時(shí)間y(小時(shí))2.5344.5(1)在給定的坐標(biāo)系中畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；(2)求出y關(guān)于x的線性回歸方程bxa，并在坐標(biāo)系中畫(huà)出回歸直線；(3)試預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要多少小時(shí)？(注：b，ab )解析(1)散點(diǎn)圖如圖(2)由表中數(shù)據(jù)得：xiyi52.5，3.5，3.5，x54，b0.7，a1.05，0.7x1.05.回歸直線如圖所示(3)將x10代入回歸直線方程，得0.7101.058.05(小時(shí) )預(yù)測(cè)加工10個(gè)零件需要8.05小時(shí)12(2010遼寧卷)為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗(yàn)，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B.下表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗(yàn)結(jié)果(皰疹面積單位：mm2)表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積60,65)65,70)70,75)75,80)頻數(shù)30402010表2：注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表皰疹面積60,65)65,70)70,75)75,80)80,85)頻數(shù)1025203015()完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小；()完成下面22列聯(lián)表，并回答能否有99.9% 的把握認(rèn)為