線線角線面角二面角的一些題目

1、線線角與線面角習(xí)題一、復(fù)習(xí)目標(biāo)1.理解異面直線所成角的概念,并掌握求異面直線所成角的常用方法 2.理解直線與平面所成角的概念，并掌握求線面角常用方法3.掌握求角的計(jì)算題步驟是“一作、二證、三計(jì)算”,思想方法是將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形即“降維”的思想方法.二、課前預(yù)習(xí)1.在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2, E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)且EF=，AD、BC所成的角為 .2.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中 ，B1C和C1D與底面所成的角分別為60和45，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為 ( ) (A). (B). (C). (D). 3.平面與直線所成的角為,則直線與平面內(nèi)

2、所有直線所成的角的取值范圍是 4.如圖,ABCD是正方形,PD平面ABCD,PD=AD,則PA與BD所成的角的度數(shù)為(A).30 (B).45 (C).60 (D).905.有一個(gè)三角尺ABC,A=30, C=90,BC是貼于桌面上,當(dāng)三角尺與桌面成45角時(shí),AB邊與桌面所成角的正弦值是 三、典型例題例1.(96·全國) 如圖,正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面成60角,求異面直線AD與BF所成角的余弦值.備課說明:1.求異面直線所成的角常作出所成角的平面圖形.作法有:平移法:在異面直線的一條上選擇“特殊點(diǎn)”,作另一條直線平行線或利用中位線.補(bǔ)形法:把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾

3、何體,其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系.2.解立幾計(jì)算題要先作出所求的角,并要有嚴(yán)格的推理論證過程,還要有合理的步驟.例2.如圖在正方體AC1中, (1) 求BC1與平面ACC1A1所成的角; (2) 求A1B1與平面A1C1B所成的角.備課說明:求直線與平面所成角的關(guān)鍵是找直線在此平面上的射影,為此必須在這條直線上找一點(diǎn)作平面的垂線. 作垂線的方法常采用:利用平面垂直的性質(zhì)找平面的垂線.點(diǎn)的射影在面內(nèi)的特殊位置.例3. 已知直三棱住ABC-A1B1C1,AB=AC, F為棱BB1上一點(diǎn),BFFB1=21, BF=BC=. (1)若D為BC的中點(diǎn),E為線段AD上不同于A、D的任意一點(diǎn),證明

4、：EFFC1; (2)試問:若AB=,在線段AD上的E點(diǎn)能否使EF與平面BB1C1C成60角,為什么?證明你的結(jié)論.備課說明:這是一道探索性命題,也是近年高考熱點(diǎn)問題,解決這類問題,常假設(shè)命題成立,再研究是否與已知條件矛盾,從而判斷命題是否成立.四、反饋練習(xí)1設(shè)集合A、B、C分別表示異面直線所成的角、平面的斜線與平面所成的角、直線與平面所成的角的取值范圍,則 (A)A=B=C (B)A=BC (C)ABC (D) BAC.2兩條直線,與平面所成的角相等,則直線,的位置關(guān)系是 (A)平行 (B)相交 (C)異面 (D) 以上均有可能.3設(shè)棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N分別為

5、AA1和BB1的中點(diǎn)，則直線CM和D1N所成角的正弦值為 .4已知、是一對(duì)異面直線，且、成60o角，則在過空間任意點(diǎn)P的所有直線中，與、均成60o角的直線有 條.5異面直線、互相垂直，與成30o角，則與所成角的范圍是 .6ACB=90在平面內(nèi),PC與CA、CB所成的角PCA=PCB=60o,則PC與平面所成的角為 .7設(shè)線段AB=,AB在平面內(nèi),CA,BD與成30角,BDAB,C、D在同側(cè),CA=BD=.求: (1)CD的長;(2)CD與平面所成角正弦值.課前預(yù)習(xí)1. 60 2.A 3. , 4.C 5.典型例題例1解:CBADCBF為異面直線AD與BF所成的角.連接CF、CE設(shè)正方形ABCD

6、的邊長為,則BF=CBAB, EBABCEB為平面ABCD與平面ABEF所成的角CBE=60 CE= FC= cosCBF=例2解:(1)設(shè)所求的角為,先證BD平面ACC1A1,則sin=sinOC1B=.故=30o.(2)A1BC1是正三角形,且A1B1=B1C1=BB1. 棱錐B1-A1BC1是正三棱錐.過B1作B1H平面A1BC1,連A1H, B1A1H是直線A1B1與平面A1C1B所成的角.設(shè)A1B1=則A1B=得A1H=.故cosB1A1H=.所求角為例3解:(1)連接OF,容易證明AD面BB1C1C, DF是EF在面B1C1CB的射影,且DFFC1,FC1EF.(2) AD面BB1

7、C1C, EFD是EF與平面BB1C1C所成的角.在EDF中,若EFD=60,則ED=DF·tan60=·=,AB=BC=AC=2,AD=.>.E在DA的延長線上,而不在線段AD上;故線段AD上的E點(diǎn)不可能使EF與平面BB1C1C成60角.反饋練習(xí)1. D 2. D 3. 4. 3 5. 60,90 6. 45 7.解:(1)作DD于D,連接AD,BD.CA,CADD.四邊形CADD是直角梯形,CAD=D DA=90,AB,ABDD.又ABBD,AB平面BDD,BD平面BDD.ABBD.DBD是BD與所成的角,DBD=30,BD=,DD=,BD=.在ABD中,AB=,

8、BD=,ABD=90,AD=.在CADD中，CD=.(2)作DCDC交CA于C,CDA是CD與所成的角,sinCDA=.線面角與面面角練習(xí)一、知識(shí)與方法要點(diǎn)：1斜線與平面所成的角就是斜線與它在平面內(nèi)的射影的夾角。求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影，即確定過斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足，這時(shí)經(jīng)常要用面面垂直來確定垂足的位置。若垂足的位置難以確定，可考慮用其它方法求出斜線上一點(diǎn)到平面的距離。2二面角的大小用它的平面角來度量，求二面角大小的關(guān)鍵是找到或作出它的平面角(要證明)。作二面角的平面角經(jīng)常要用三垂線定理，關(guān)鍵是過二面角的一個(gè)面內(nèi)的一點(diǎn)向另一個(gè)面作垂線，并確定垂足的位置。若二面

9、角的平面角難以作出，可考慮用射影面積公式求二面角的大小。3判定兩個(gè)平面垂直，關(guān)鍵是在一個(gè)平面內(nèi)找到一條垂直于另一個(gè)平面的直線。兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理是：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面二、例題例1正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為C1D1中點(diǎn)(1)求證：AC1平面A1BD(2)求BM與平面A1BD成的角的正切值解： (1)連AC，C1C平面ABCD， C1CBD又ACBD， AC1BD同理AC1A1BA1BBD=BAC1平面A1BD(2)設(shè)正方體的棱長為，連AD1，AD1交A1D于E，連結(jié)ME，在D1AC1中，MEAC1，AC1平面A1BDME平面A

10、1BD連結(jié)BE，則MBE為BM與平面A1BD成的角在中，例2如圖，把等腰直角三角形ABC以斜邊AB為軸旋轉(zhuǎn)，使C點(diǎn)移動(dòng)的距離等于AC時(shí)停止，并記為點(diǎn)P （1）求證：面ABP面ABC；（2）求二面角C-BP-A的余弦值證明（1）  由題設(shè)知APCPBP點(diǎn)P在面ABC的射影D應(yīng)是ABC的外心，即DABPDAB，PD面ABP，由面面垂直的判定定理知，面ABP面ABC（2）解法1  取PB中點(diǎn)E，連結(jié)CE、DE、CDBCP為正三角形，CEBDBOD為等腰直角三角形，DEPBCED為二面角C-BP-A的平面角又由（1）知，面ABP面ABC，DCAB，AB面ABP面ABC，由面面垂直性

11、質(zhì)定理，得DC面ABPDCDE因此CDE為直角三角形設(shè)，則，例3如圖所示，在正三棱柱中，截面?zhèn)让?1)求證：；(2)若，求平面與平面所成二面角(銳角)的度數(shù)證明：在截面A1EC內(nèi)，過E作EGAC，G是垂足，如圖，面AEC面AC，EG側(cè)面AC取AC的中點(diǎn)F，分別連結(jié)BF和FC，由ABBC得BFAC面ABC側(cè)面AC，BF側(cè)面AC，得BFEGBF和EG確定一個(gè)平面，交側(cè)面AC于FGBE側(cè)面AC，BEFG，四邊形BEGF是 ，BEFGBEAA，F(xiàn)GAA，AACFGC解：(2)分別延長CE和C1B1交于點(diǎn)D，連結(jié)ADBACBCA60°，DACDABBAC90°，即 DAACCC面AC

12、B，由三垂線定理得DAAC，所以CAC是所求二面角的平面角且ACC90°CCAAABAC，CAC45°，即所求二面角為45°說明：如果改用面積射影定理，則還有另外的解法三、作業(yè)： 1已知平面a的一條斜線a與平面a成q角，直線bÌa，且a,b異面，則a與b所成的角為（A）A有最小值q，有最大值B無最小值，有最大值。C有最小值q，無最大值D有最小值q，有最大值p-q。2下列命題中正確的是（D）A過平面外一點(diǎn)作該平面的垂面有且只有一個(gè)B過直線外一點(diǎn)作該直線的平行平面有且只有一個(gè)C過直線外一點(diǎn)作該直線的垂線有且只有一條D過平面外的一條斜線作該平面的垂面有且只有一

13、個(gè)3一條長為60的線段夾在互相垂直的兩個(gè)平面之間，它和這兩個(gè)平面所成的角分別為 45°和30°，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)向平面的交線引垂線，則垂足間的距離是（A）A30B20C15D124設(shè)正四棱錐SABCD的側(cè)棱長為，底面邊長為，E是SA的中點(diǎn)，則異面直線BE與SC所成的角是（C）A30°B45°C60°D90°5正三棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角為，則它的側(cè)棱與底面所成的角為6A是BCD所在平面外的點(diǎn)，BAC=CAB=DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （）求證：ABCD； （）求AB與平面BCD所成角的余弦值.7正四面

14、體ABCD中，E是AD邊的中點(diǎn)，求：CE與底面BCD所成角的正弦值解 過A，E分別作AH面BCD，EO面BCD，H，O為垂足，AH 2OE，AH，OE確定平面AHD，連結(jié)OC，ECO即為所求AB=AC=AD，HB=HC=HDBCD是正三角形，H是BCD的中心，連結(jié)DH并延長交BC于F，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)， ，在RtADH中，8在四面體ABCD中，DA面ABC，ABC90°，AECD，AFDB求證：（1）EFDC；（2）平面DBC平面AEF證明  如圖1-83（1）AD面ABCADBC又ABC90°BCABBC面DABDB是DC在面ABD內(nèi)的射影AFDBAFCD（三垂線定理）AECDCD平面AEFCDEF（2）CDAE，CDEFCD面AEFCD 面BCD面AEF面BCD（3）由EFCD，AECD AEF為二面角B-DC-A的平面又AFDB，AFCD，BDCDD AF平面DBC，二面角題目：例1 如圖所示，已知面，二面角的平面角為，求證：2如圖，在空間四邊形中，是正三角形，是等腰直角三角形，且，又二面角為直二面角，求二面角