等差數(shù)列典型例題及分析學(xué)生用

1、 數(shù)列§4.1等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1.數(shù)列：按一定次序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.2.項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)（或首項(xiàng)），第2項(xiàng)，第n項(xiàng)，.3.通項(xiàng)公式：一般地，如果數(shù)列an的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.4. 有窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列.5. 無(wú)窮數(shù)列:項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列叫做無(wú)窮數(shù)列6.數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）及相鄰兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)）間關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示，則這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.遞推公式是給出數(shù)列的一種重要方法，其關(guān)健是先求出a1,a2,然后

2、用遞推關(guān)系逐一寫(xiě)出數(shù)列中的項(xiàng).7.等差數(shù)列:一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)減去它的前一項(xiàng)所得的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用表示 8.等差中項(xiàng):如果，這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，那么我們把叫做和的等差中項(xiàng) 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.數(shù)列的概念應(yīng)注意幾點(diǎn)：（1）數(shù)列中的數(shù)是按一定的次序排列的，如果組成的數(shù)相同而排列次序不同，則就是不同的數(shù)列；（2）同一數(shù)列中可以出現(xiàn)多個(gè)相同的數(shù)；（3）數(shù)列看做一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集(1，2，3，n)的函數(shù).2.一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式通常不是唯一的.3.數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn與an之間的關(guān)系：若a1適合an

3、(n>2),則不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.4.從函數(shù)的角度考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an= a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an是關(guān)于n的一次式；從圖像上看，表示等差數(shù)列的各點(diǎn)（n,）均勻排列在一條直線上，由兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì)，不難得出，任兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列.5、對(duì)等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式的理解：等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和公式可變形為，若令A(yù)，Ba1，則An2+Bn.6、在解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，如已知，a1，an，d，n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1已知數(shù)列1，4，7，10，3n+7,其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3,指出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；

4、例2 已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和為 求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例3 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)之和記為Sn，S10=10 ，S30=70，則S40等于 。例4等差數(shù)列、的前n項(xiàng)和為Sn、Tn.若求；例5已知一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an=255n，求數(shù)列的前n項(xiàng)和；例6已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220，由此可以確定求其前項(xiàng)和的公式嗎？例7已知： （） （1） 問(wèn)前多少項(xiàng)之和為最 大？（2）前多少項(xiàng)之和的絕對(duì)值最??？例8項(xiàng)數(shù)是的等差數(shù)列，中間兩項(xiàng)為是方程的兩根，求證此數(shù)列的和是方程 的根。 （）§4.2等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，

5、每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于 同 一 個(gè) 常 數(shù)，那 么 這 個(gè) 數(shù) 列 就 叫 做 等 比 數(shù) 列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示2. 等比中項(xiàng)：若，成等比數(shù)列，則稱(chēng) 為 和 的等比中項(xiàng)3.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式： 二、疑難知識(shí)導(dǎo)析1.由于等比數(shù)列的每一項(xiàng)都可能作分母，故每一項(xiàng)均不為0，因此q也不為0.2.對(duì)于公比q，要注意它是每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比，防止把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒.3.“從第2項(xiàng)起”是因?yàn)槭醉?xiàng)沒(méi)有“前一項(xiàng)”，同時(shí)應(yīng)注意如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)或第4項(xiàng)起每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù)，此數(shù)列不是等比數(shù)列，這時(shí)可以說(shuō)此數(shù)列從. 第2項(xiàng)或第3項(xiàng)起是

6、一個(gè)等比數(shù)列.4.在已知等比數(shù)列的a1和q的前提下，利用通項(xiàng)公式an=a1qn-1,可求出等比數(shù)列中的任一項(xiàng).5.在已知等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的前提下，使用an=amqn-m可求等比數(shù)列中任意一項(xiàng).6.等比數(shù)列an的通項(xiàng)公式an=a1qn-1可改寫(xiě)為.當(dāng)q>0，且q1時(shí)，y=qx是一個(gè)指數(shù)函數(shù)，而是一個(gè)不為0的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)的積，因此等比數(shù)列an的圖象是函數(shù)的圖象上的一群孤立的點(diǎn).7在解決等比數(shù)列問(wèn)題時(shí)，如已知，a1，an，d，n中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)。三、經(jīng)典例題導(dǎo)講例1 已知數(shù)列的前n項(xiàng)之和Sn=aqn（為非零常數(shù)），則為（）。A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列

7、D.既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列例2 已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和記為Sn，S10=10 ，S30=70，則S40等于.例3 求和：a+a2+a3+an.例4設(shè)均為非零實(shí)數(shù)， 求證：成等比數(shù)列且公比為。例5在等比數(shù)列中，求該數(shù)列前7項(xiàng)之積。例6求數(shù)列前n項(xiàng)和§4.3數(shù)列的綜合應(yīng)用一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)1. 數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的教學(xué)已成為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個(gè)重要內(nèi)容.解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的核心是建立數(shù)學(xué)模型，有關(guān)平均增長(zhǎng)率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實(shí)際問(wèn)題，需利用數(shù)列知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型.2. 應(yīng)用題成為熱點(diǎn)題型，且有著繼續(xù)加熱的趨勢(shì)，因?yàn)閿?shù)列在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛，所以數(shù)列應(yīng)用題占有很重要的位置，解答數(shù)列應(yīng)

8、用題的基本步驟：（1）閱讀理解材料，且對(duì)材料作適當(dāng)處理；（2）建立變量關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)列模型；（3）討論變量性質(zhì)，挖掘題目的條件，分清該數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，是求Sn還是求an.一般情況下，增或減的量是具體體量時(shí)，應(yīng)用等差數(shù)列公式；增或減的量是百分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)用等比數(shù)列公式若是等差數(shù)列，則增或減的量就是公差；若是等比數(shù)列，則增或減的百分?jǐn)?shù)，加1就是公比q.二、疑難知識(shí)導(dǎo)析 1.首項(xiàng)為正（或負(fù)）的遞減（或遞增）的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大（或最小）問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為解不等式解決；2.熟記等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式，在用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，勿忘分類(lèi)討論思想；3.等差數(shù)列中, am=an+ (nm)d, ; 等比數(shù)列中，an=amqn-m; 4.當(dāng)m+n=p+q（m、n、p、q）時(shí)，對(duì)等差數(shù)列an有：am+an=ap+aq；對(duì)等比數(shù)列an有：aman=apaq；5.若an、bn是等差數(shù)列，則kan+bbn(k、b是非零常數(shù))是等差數(shù)列；若an、bn是等比數(shù)列，則kan、anbn等也是等比數(shù)列；6.等差（或等比）數(shù)列的“間隔相等的連續(xù)等長(zhǎng)片斷和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9）仍是等差（或等比）數(shù)列；7.對(duì)等差數(shù)列an,當(dāng)項(xiàng)數(shù)為2n時(shí)，S偶-S奇nd；項(xiàng)數(shù)為2n1時(shí)，S奇S偶a中（n）；8.若一階線性遞推數(shù)列an=kan