第四講微分方程

1、第四講 微分方程考綱要求1.了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念.2.掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法.3.會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程.4.會用降階法解下列微分方程：，和.5.理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu).6.掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，比會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程.7.會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程.8.會解歐拉方程.9.會用微分方程解決一些簡單的應用問題.一、基本概念問題1 微分方程的基本概念答 考綱要求了解微分方程及其

2、階、解、通解、初始條件和特解等概念.微分方程：含有自變量、未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)的等式.微分方程的階(order)：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導數(shù)的最高階數(shù).微分方程的解：滿足微分方程的函數(shù).微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常數(shù)，且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階數(shù).定解條件：確定微分方程通解中任意常數(shù)的值的條件（初始條件和邊界條件）.微分方程的特解：確定了通解中任意常數(shù)的值后所得到的解.初值問題（Cauchy問題）：求微分方程滿足初始條件的特解.一階微分方程初值問題：，.二階微分方程初值問題：，.微分方程的積分曲線：微分方程的解的圖形（通解的圖形是一族曲線）.二、一階微分方程問題

3、2 如何求解一階微分方程？答 一階微分方程的一般形式是：，解出：，考綱要求掌握變量可分離的微分方程、一階線性微分方程、.齊次微分方程、伯努利方程的解法. 求解微分方程的步驟是：判斷方程的類型并用相應的方法求解.1.可分離變量的微分方程：解法 分離變量：；兩端積分：.2.齊次型方程：解法 令，則，代入方程，得并求解.可化為齊次型的方程：.解法 令，方程化為，再令求出，這樣方程就化為齊次型方程：.3.一階線性微分方程：若，則稱它是齊次的，否則，稱它為非齊次的.解法（常數(shù)變易法）先解對應齊次線性微分方程，求得通解；再令非齊次線性微分方程的解為，代入方程求出.其通解公式為一階非齊次線性微分方程的通解對

4、應的齊次線性微分方程的通解非齊次線性微分方程的一個特解.4.伯努利方程：.（與一階線性微分方程比較）解法 令，將方程化為一階線性微分方程.例題11. 【】2. 【】3. 【】4. 【】5. 【】6.， 求連續(xù)函數(shù)，使.【 】7. 【】8. 【】9.當時，是比高階的無窮小，求.【】10.設是微分方程的一個解，求此微分方程滿足條件的特解. 【】11.作變量替換，求解.【】例題2 綜合題1.設為連續(xù)函數(shù)，求初值問題的解，其中為正常數(shù)；【】若（為常數(shù)），證明：當時，有.2.設，其中函數(shù)，在內(nèi)滿足以下條件：，且，.求所滿足的一階微分方程；求出的表達式. 【；】3.設為可微函數(shù)，且對任意恒有，求滿足的一階

5、微分方程，并求.【；】習題1.微分方程的通解是 .【06-1-2，】2.微分方程滿足的解為 .【05-1-2，】3.微分方程滿足的特解為 .【05-3-4，】4.微分方程滿足的特解為 .【04-2，】5.微分方程的通解是 .【94-3，】6.微分方程滿足的特解為 .【93-1-2，】7.微分方程滿足初始條件的特解為 .【07-3-4，】8.微分方程的通解為 .【08-2-4，】9.設非齊次線性微分方程有兩個不同的解，則該方程的通解為 .【06-3-4，】三、二階可降階的微分方程問題3 如何求解可降階的二階微分方程？答 二階微分方程一般形式，解出，數(shù)學一、數(shù)學二的考綱要求掌握下列三種類型可降階方

6、程的解法：1.型的微分方程特點：右端僅含.解法：積分兩次.2.型的微分方程特點：右端不顯含未知函數(shù).解法：換元，化為一階方程求解. 步驟如下：令，則，方程化為（這是關于變量，的一階方程）；解出；再由解出.3.型的微分方程特點：右端不顯含.解法：換元，化為一階方程求解. 步驟如下：令，則，方程化為（這是關于變量，的一階方程）；解出；再由解出.例題1.求微分方程的通解.解 令，則，方程化為，再令，2.求初值問題的解.解 令，則，方程化為，分離變量，得，兩邊積分，得，即.將初始條件代入，得，故，解得，（舍去）.再解，分離變量，得，兩邊積分，得，將初始條件代入，得，所求特解為，即.二階可降階方程求特解

7、過程中，任意常數(shù)出現(xiàn)一個，確定一個，有利于下一步求解.3.物體從出發(fā)沿軸正向運動，速度大小為，另一物體從同時出發(fā)，始終指向物體，速度大小為，建立物體的運動軌跡所滿足的微分方程，并寫出初始條件. （93-1）解 【利用速度的方向和大小建立方程】設物體的運動軌跡方程為，時刻，物體位于，物體位于，依題意，有，即，對求導，得， 又，對求導，得，代入，得，初始條件為，.習題1.微分方程的通解為 .【】2.求初值問題的解.【】3.解方程.【】4.求初值問題的解.【】5.求微分方程滿足初始條件的特解.【07-2，】四、二階常系數(shù)線性微分方程問題4 關于線性微分方程解的性質(zhì)、解的結(jié)構(gòu).答 二階線性微分方程的一

8、般形式：，若，則稱方程是齊次的，否則稱方程是非齊次的.二階線性微分方程一般形式：若，則稱方程是齊次的，否則稱方程是非齊次的.1.線性微分方程解的性質(zhì)如果與是齊次方程的兩個解，則是此齊次方程的解.如果與是非齊次方程的兩個解，則是對應齊次方程的解.（解的疊加原理）設是線性方程的特解，則是的特解.2.線性微分方程解的結(jié)構(gòu)定理1（齊次方程解的結(jié)構(gòu)）如果與是齊次方程的兩個線性無關的特解，則是此齊次方程的通解.定理2（非齊次方程解的結(jié)構(gòu)）設是非齊次方程的一個特解，是對應的齊次方程的通解，則是此非齊次方程的通解.例題 設是的三個線性無關的解，則其通解為 .【】問題5 如何求解二階常系數(shù)線性齊次方程？答 先求

9、出它的特征方程的兩個根，再根據(jù)特征根的三種不同情形寫出通解（見下表）.特征方程的根 方程的通解兩個不等實根 兩個相等實根 兩個共軛復根 考綱還要求會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程.問題6 如何求二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解？答 考綱要求會解自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，由非齊次方程解的結(jié)構(gòu)，只要求出它的一個特解和對應的齊次方程的通解，而齊次方程的通解已經(jīng)解決，關鍵是求它的一個特解. 讀者要熟練掌握自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)以及它們的和與積時特解的形式.1.若，則令，其中2.若，則令，其中，例題1.求滿足的

10、解.【】2.求的通解，其中.【，】3.求的通解.【】4.的特解形式可設為 .【】5.設是方程的滿足條件，的解，證明是方程的滿足條件的解.習題1.微分方程的通解為 .【】2.微分方程的通解為 .【】3.微分方程的通解為 .【】4.函數(shù)滿足的一個微分方程是（）.【06-2，D】（A）（B）（C）（D）5.在下列微分方程中，以為通解的是（）.【08-1-2，D】（A） （B）（C） （D）問題7 如何求解歐拉方程？（數(shù)學一）答 令，則，代入歐拉方程，將方程化為二階常系數(shù)線性方程求解. 例題 歐拉方程的通解為 .【】五、其它問題8 如何利用變量替換化簡方程？例題1.利用變量替換將化簡，并求原方程的通解

11、.【】解 【函數(shù)替換，關鍵是求出】，代入原方程，得.（下略），再代入原方程.2.利用變量替換將方程化簡，并求的特解 【05-2，】解 【自變量替換，關鍵是求出】，代入原方程，得.（下略）問題9 如何求解含變限積分的方程（積分方程）？答 積分方程通過求導可化為微分方程，這種方程通常含有初始條件（令積分上限等于積分下限）.例題1.設函數(shù)可導，且滿足，求.【】2.設，為連續(xù)函數(shù)，求.解 ，兩邊對求導，得，兩邊再對求導，得，故滿足微分方程，由，得初始條件.3.函數(shù)在上可導，且滿足等式，求；【】證明：當時，.解 由，得，令，即，又，得，故.當時，其中，故當時，.4.設函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且對任意滿足條件，求.

12、【01-4，】5.設函數(shù)在上可導，且其反函數(shù)為，若，求.【01-2，】6.設函數(shù)在上單調(diào)、可導，且，求.【07-2，】7.設連續(xù)函數(shù)滿足，求.【】8.求連續(xù)函數(shù)，使它滿足.【】六、微分方程的應用問題10 如何用微分方程求解應用問題？答 關鍵是建立微分方程（包括初始條件）.例題1.設是第一象限連接的一段連續(xù)曲線，為該曲線上任意一點，點為在軸上的投影，為坐標原點，若梯形的面積與曲邊三角形的面積之和為，求的表達式.【】2.設位于第一象限的曲線過點，其上任一點處的法線與軸的交點為，且線段被軸平分.求曲線的方程；（）已知曲線在上的弧長為，試用表示的弧長.【】解 【利用導數(shù)的幾何意義建立微分方程】曲線在點

13、處的法線方程為，令 ，得，故點的坐標為.由題設知，即，解得，將代入上式，得，故曲線的方程為.曲線在上的弧長，的參數(shù)方程為弧長.3.設在上連續(xù)，若由曲線，直線與軸所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為，求所滿足的微分方程，并求該微分方程滿足條件的解.【；】4.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機，著陸的水平速度為700km/h經(jīng)測試，飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比（比例系數(shù)為），問從著陸點算起，飛機滑行的最長距離是多少？【1.05km】解 【利用建立方程，關鍵是受力分析】質(zhì)量，水平速度，飛機所受的總阻力，依題意，兩邊積分，得，即，將代入上式，得，故，飛機滑行的最長距離（km）5.一個半球體

14、狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積成正比,比例系數(shù)為.假設在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為的雪堆在開始融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的，問雪堆全部融化需要多少時間？【6小時】解 設雪堆時刻的半徑為，體積，側(cè)面積，則（注意符號），即，即，初始條件為，解得.由，解得，雪堆全部融化時，.6.在某一人群中推廣新技術是通過其中已掌握新技術的人進行的，設該人群的總?cè)藬?shù)為，在時，已掌握新技術的人數(shù)為，在任意時刻，已掌握新技術的人數(shù)為（連續(xù)可微變量），其變化率與已掌握新技術的人數(shù)和未掌握新技術的人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)，求.【】7.有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面，容器的底面圓的

15、半徑為m.根據(jù)設計要求，當以的速率向容器內(nèi)注入液體時，液面的面積將以的速率均勻擴大.（假設注入液體前，容器內(nèi)無液體）根據(jù)時刻液面的面積，寫出與之間的關系；（）求曲線的方程.（03-2，）解 時刻液面的面積，故；時刻容器內(nèi)液體體積，對求導，得，即，初始條件為，解得，所求曲線的方程為.8.設有一高度為（表示時間）的雪堆在融化過程中，其側(cè)面滿足方程（設長度單位為厘米，時間單位為小時），已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比（比例系數(shù)為0.9），問高度為130厘米的雪堆全部融化需要多少小時？（01-1，）9.要設計一形狀為旋轉(zhuǎn)體的水泥橋墩，橋墩高為，上底面直徑為，要求橋墩在任意水平截面上所受的平均壓強為常數(shù)

16、，求橋墩的形狀.解 建立坐標系如下：以橋墩下底面直徑為軸，橋墩中心軸為軸，設橋墩母線方程為，.考察中心軸上點處水平截面上所受的壓力，有，方程兩邊的對求導，得，初始條件為，解得.10.桶內(nèi)有清水100升，現(xiàn)在以每分鐘3升的速度向桶內(nèi)注入濃度為每升2克的食鹽水，同時以每分鐘4升的速度流出混合液，求30分鐘后桶內(nèi)液體的含鹽量.解 【用微元法建立方程】設時刻桶內(nèi)液體的含鹽量，在內(nèi)桶內(nèi)液體的含鹽量的改變量，即，初始條件為.七、差分方程（數(shù)學三）內(nèi)容提要1.概念 函數(shù)的差分，二階差分，2.一階常系數(shù)線性差分方程：解法 特征方程，特征根，對應齊次方程通解為，設，非齊次方程通解為.例題1.設則差分 .【】2.設則差分 .【】3.差分方程的通解為 .【】解 先解特征方程，得特征根，齊次方程的通解為，令非齊次方程的特解為，代入原方程，得，比較同次