等差等比數(shù)列中的子數(shù)列問題

1、等差、等比數(shù)列的子數(shù)列的探究一、 定義子數(shù)列若數(shù)列是由數(shù)列的一些項(xiàng)按原來的順序構(gòu)成的一個新數(shù)列，則稱數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列。二、 討論等差數(shù)列是否存在等差子數(shù)列1、 學(xué)生舉例：（1）設(shè)為常數(shù)），則任取一些項(xiàng)組成的數(shù)列都是等差子數(shù)列。（2）中有子數(shù)列等。（3）中有子數(shù)列等小結(jié)：只要首項(xiàng)不同，公差不同就可以確定不同的等差子數(shù)列。2、 從具體的例子中小結(jié)出如何尋找等差子數(shù)列，以及子數(shù)列的公差和原數(shù)列的公差之間的關(guān)系，從而得出結(jié)論：（1） 等差數(shù)列中下標(biāo)成等差數(shù)列（公差為k）的項(xiàng)仍然成等差數(shù)列。（2） 新的等差數(shù)列的公差等于原等差數(shù)列的公差的k倍。3證明結(jié)論：設(shè)是等差數(shù)列，d是公差，若是子數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，

2、當(dāng)為常數(shù)時(shí)，也是常數(shù)。三、 討論等比數(shù)列是否存在等比子數(shù)列1、 學(xué)生舉例：（1）設(shè)為常數(shù)），則任取一些項(xiàng)組成的數(shù)列都是等比子數(shù)列。（2）中有子數(shù)列和等。（3）中有子數(shù)列等。小結(jié)：只要首項(xiàng)不同，公比不同就可以確定不同的等比子數(shù)列。2從具體的例子中小結(jié)出如何尋找等比子數(shù)列，以及子數(shù)列的公比和原數(shù)列的公比之間的關(guān)系，從而得出結(jié)論：（1） 等比數(shù)列中下標(biāo)成等差數(shù)列（公差為k）的項(xiàng)仍然成等比數(shù)列。（2） 新的等比數(shù)列的公比等于k個原等比數(shù)列的公比的積。3證明結(jié)論：設(shè)是等比數(shù)列，q是公比，若是子數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)，當(dāng)為常數(shù)時(shí)，也是常數(shù)。四、 討論等差數(shù)列是否存在等比子數(shù)列1。學(xué)生舉例：=n中有子數(shù)列=和=等。

3、（自然數(shù)列是學(xué)生最容易想到的，除了自然數(shù)列之外，其他的數(shù)列不容易想到）2給出一個例子一起研究。例1 已知：等差數(shù)列，且。問：等差數(shù)列中是否存在等比子數(shù)列？（1） 寫出的一些項(xiàng)：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，學(xué)生嘗試后找出結(jié)果有：2，8，32，128，512，2,14,98,686,4802, ，;2,20,200,2000, ，5,20,80,320, ，;2,26,338, ，(2)猜想：；（3）提問：這些猜想是否正確呢？我們可以從兩個方面進(jìn)行思考：通過演繹推理證明猜想為真，或者找出反例說明此猜想為假，從而否定或修正此猜想。（4） 學(xué)生分組證明猜想分析：的項(xiàng)被3

4、除余2，從而得出利用二項(xiàng)式定理證明的方法。證1：（用二項(xiàng)式定理），即除以3余2，是的子數(shù)列。分析 ：由前面幾項(xiàng)符合推廣到無窮項(xiàng)都符合，從而得出利用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法。證2：（數(shù)學(xué)歸納法） 當(dāng)n=1時(shí)， 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，那么當(dāng)n=k+1時(shí)，.由、得是的子數(shù)列。（5） 同理證明 ，（6） 引申：讓學(xué)生找規(guī)律以中任一項(xiàng)為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列均是該等差數(shù)列的等比子數(shù)列（7） 小結(jié)：歸納法是從特殊到一般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要進(jìn)一步證明的。從歸納猜想到論證的思維方法是我們研究數(shù)學(xué)問題常用的方法。（8） 思考：對給定的等差數(shù)列可以構(gòu)造出等比數(shù)列，不確定的等差數(shù)列中是否存在等比數(shù)列？ 例2

5、 已知：數(shù)列是首項(xiàng)公差是d的等差數(shù)列。數(shù)列是等比數(shù)列，且。問：是否存在自然數(shù)d，使得數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列？如存在，試求出d的一切可能值分析：先取d=1，2，3，4，5，6。發(fā)現(xiàn)當(dāng)d是奇數(shù)時(shí)，不可能。是奇數(shù)，公比為分?jǐn)?shù)，則從第三項(xiàng)開始就不是自然數(shù)取d=2，：2，4，6，8，：2，4，8，16，是偶數(shù)，d=2時(shí)，數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列取d=4，：2，6，10，14，18，：2，6，18，54，d=4時(shí)，數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列。同理d=6時(shí)，數(shù)列也是數(shù)列的子數(shù)列。由此猜想當(dāng)時(shí)，數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列?？梢杂枚?xiàng)式定理或數(shù)學(xué)歸納法證明。證1：（用二項(xiàng)式定理）在中， 在中，=2，。令則= ，可解出即為中的某一項(xiàng)。證2

6、：（數(shù)學(xué)歸納法）當(dāng)n=1時(shí)，；假設(shè)是的第p項(xiàng)，即則=2+即是中的第m（p-1）+p+1項(xiàng)。由、得，數(shù)列是數(shù)列的子數(shù)列。小結(jié)：這個問題的解決還沒有完成一般情況的討論。一是首項(xiàng)可以不確定，二是子數(shù)列并非要前面兩項(xiàng)相同五、 課后思考（1） 例2中，若呢（2） 若不確定呢？（？（3） 等比數(shù)列是否存在等差數(shù)列？奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二數(shù)學(xué)競賽試題（2006年5月）一、 填空題（本題16小題，每小題4分，共64分）1 函數(shù)在時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間是_.2 一個等差數(shù)列共有12項(xiàng),前4項(xiàng)的和是10,后4項(xiàng)的和是4,則中間4項(xiàng)的和是_.3 定義在上的奇函數(shù),在上是增函數(shù),若,則的取值范圍是_4 已知函數(shù)，則函數(shù)的最

7、大值與最小值之差是_5 函數(shù)的值域是_6 已知個向量的和為零向量,且其中一個向量的坐標(biāo)為,則其余個向量和的模是_7 若是方程的根,則的值是_8 若雙曲線的右支上有一點(diǎn)到直線的距離為,則9 如圖，正四面體的棱長為，在棱上各有一點(diǎn)，若，則線段的長為_10.設(shè)正三棱錐底面的邊長為,側(cè)面組成直二面角,則該棱錐的體積等于_11.如圖所示，在兩面豎直墻壁和之間的一點(diǎn)放一個梯子，梯子靠上時(shí)，與地面成角，靠上時(shí)，與地面成角。已知墻的高度為，那么兩墻之間的距離為_12.三角形的邊長分別為,則能將它完全覆蓋的最小的圓的面積是_13.如果方程有兩個不同的實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 _14.定義“等和數(shù)列”：在一個

8、數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。已知數(shù)列是等和數(shù)列，且公和為，那么的值為_,這個數(shù)列的前項(xiàng)和的計(jì)算公式為_15.一個正三角形內(nèi)接于橢圓,頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,過頂點(diǎn)的高在軸上,則此正三角形的邊長為_16.對任意實(shí)數(shù),函數(shù)滿足,若,則對負(fù)整數(shù)的表達(dá)式為_二、（本題12分）已知數(shù)列中，且，（1） 若是等差數(shù)列，求的通項(xiàng)公式；（2） 能否為等比數(shù)列？若可能，求出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，若不能，說明理由 三、（本題12分） 設(shè)，求滿足下列條件的實(shí)數(shù)的值：至少有一個正數(shù)，使 的定義域和值域相同 四、（本題12分） 設(shè)兩點(diǎn)在拋物線上，是的垂直平分

9、線。（1） 當(dāng)且僅當(dāng)取何值時(shí)，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)？證明你的結(jié)論；（2） 當(dāng)直線的斜率為時(shí)，求在軸上截距的取值范圍參考答案一、1； 2. ； 3. 或; 4. ; 5. ;6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10.; 11. ; 12. ; 13. ; 14. 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),; 15. ; 16. 二、解：（1）設(shè)公差為，則由，得，即 當(dāng)且，即時(shí)，恒成立，所以的通項(xiàng)公式為（2）若是等比數(shù)列，設(shè)公比為，則由得 解得，但不滿足，所以不可能是等比數(shù)列三、解：若，則對每個正數(shù)，的定義域和值域都是，故滿足條件；若，則對正數(shù)，的定義域=，但的值域，故，即不符合條件；若，則對正數(shù)，的定義域，由于此時(shí)，故的值域是，綜上所述