第二講 導數(shù)與微分

1、第二章 導數(shù)與微分一、學習目的與要求1、加深理解導數(shù)概念，并能利用導數(shù)解決一些具體問題。2、熟練掌握求導法則及導數(shù)基本公式，能正確求出初等函數(shù)的導數(shù)。3、熟練掌握隱函數(shù)和參數(shù)方程所確定函數(shù)的一階、二階導數(shù)的求法。二、學習重點導數(shù)概念及復合函數(shù)求導問題三、內(nèi)容提要1、 導數(shù)定義 設函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有定義，對應于自變量的任一改變量，函數(shù)的改變量為，如果存在，則稱在處可導，且稱此極限值為在點處的導數(shù)，記作。若記又可記為若記 則稱、分別是在處的右導數(shù)與左導數(shù)，且2、可導與連續(xù)的關系 可導連續(xù)，不連續(xù)不可導；反之，不一定成立。3、若在點處的增量，其中無關，則稱在處可微，并稱為函數(shù)在點處的微分，記為.當在

2、處可微時,因此,由上可知，導數(shù)可表為函數(shù)的微分與自變量微分之商?？蓪Э晌?。4、導數(shù)與微分的四則運算設處可導，則5、復合函數(shù)的導數(shù)與微分設在點處可導，在點所對應的點處可導，則復合函數(shù)在點可導，且對于不論變量是中間變量還是自變量，都有，這一性質(zhì)稱為一階微分形式不變性。6、隱函數(shù)求導，反函數(shù)求導設是方程所確定的隱函數(shù)，則可由方程兩邊對求導后解出。設函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào)連續(xù)且在處可導，的反函數(shù)在點所對應的點處可導，且在計算反函數(shù)的二階導數(shù)時要注意：一般，7、參數(shù)式求導設上連續(xù)，可導且則參數(shù)式確定的函數(shù)可導，且記為,則 8、高階導數(shù)如果的函數(shù)在點處可導，則的導數(shù)稱為的二階導數(shù)，且記作，由定義。類似的，

3、二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)，一般地，的階導數(shù)的導數(shù)稱為的的階導數(shù)，且記為即 。函數(shù)的階導數(shù)存在也表明函數(shù)次可微。9、高階導數(shù)的運算法則 設階可導，則（1） 2）（3）10、幾個基本初等函數(shù)的階求導公式；11、導數(shù)的幾何意義若函數(shù)處的導數(shù)存在，則的值等于曲線 處的切線斜率，且在處的切線方程為法線方程為或12、常用基本求導公式 四、思考題1、初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是否一定可導？2、若函數(shù)在（-，+）內(nèi)處處可導，則其導函數(shù)必處處連續(xù)，對嗎？3、若為內(nèi)可導的偶函數(shù)，則在內(nèi)是否必為奇函數(shù)？若 則 =？4、函數(shù)在一點可導的充要條件是什么？5、若曲線處處有切線，則函數(shù)必處處可導，對嗎？6、可導的周期函數(shù)，其

4、導函數(shù)是否必為周期函數(shù)？7、若在(a,b)內(nèi)可導，其反函數(shù)在相應點是否必定可導？8、若與在(a,b)內(nèi)可導，且，則對嗎？9、設是單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)，且=5，則五、典型例題分析例1 研究函數(shù)在點=0處的連續(xù)性與可導性，并求。問在=0處連續(xù)嗎？分析 為分段函數(shù)。而求分段函數(shù)的導數(shù)，通常如下進行：（1）判斷在各段開區(qū)間內(nèi)是否可導。如果可導，則在各段開區(qū)間內(nèi)分別求導.（2）判斷在各分段點處是否可導，此步是分段函數(shù)求導的關鍵。要判斷分段函數(shù)在分斷點是否可導，首先要看它在該點是否連續(xù)，若不連續(xù)，則在該點必不可導；其次，若在分段點連續(xù)，滿足了函數(shù)在一點可導的必要條件，再根據(jù)導數(shù)定義來判斷函數(shù)在該點的可導性

5、，或用函數(shù)在一點可導的充要條件來判定在該點的可導性。求解此問題應分成四個步驟。解（1） 因（無窮小乘有界變量）所以 故在=0處連續(xù)。（2） = （無窮小乘有界變量） 。所以在=0處可導，且。（3）（4）因，不存在。 所以在=0處不連續(xù)。例2 若存在，求，其中為不等于0的常數(shù)。分析 （1）已知條件是存在，所求是一個比值的極限，而函數(shù)在一點的導數(shù)定義為函數(shù)增量與自變量增量之比當自變量增量趨于0時的極限，因此，要求此極限必須緊扣條件，利用導數(shù)定義。（2）自變量的增量可以用表示，也可用一個常數(shù)乘來表示，亦可用別的字母表示。從觀察知，自變量在點取得的增量應為，從觀察，自變量在點取得的增量應為。要利用導數(shù)

6、定義，還需作適當?shù)暮愕茸冃?。?將分式適當變形原式= = =例3 設，試確定系數(shù)和，使得處處連續(xù)可導。解 顯然，當0時，連續(xù)。當=0時，有，第一項極限不存在，第二項極限為零，要使在=0處連續(xù)，必需。當時，有(0-0)=(0+0)=(0)=0，函數(shù)在=0處連 續(xù)，從而處處連續(xù)。此時又當0時，顯然可導，當=0時，有 故當=1，在=0處可導，從而處處可導。綜上討論，當=0，=1時，處處連續(xù)可導。例4 指出下列各題作法中的錯誤，并正確求解各題（1）已知，求。解 ，（2）已知，求。解 。（3）已知，求。解 = =（4）已知，求（其中>0）。解 ，以下逐題分析錯誤所在，并給予正確解答。（1）錯誤在于

7、，正確作法為： （2）錯誤是復合函數(shù)求導未進行到底。正確作法為：（3）錯誤在于第二個等號不成立，最后一個因子不應乘以，正確作法為： = =（4）解中不成立，正確作法為： 兩邊對求導：=， =小結(jié) （1）在進行復合函數(shù)求導時，若有可能，應首先利用代數(shù)恒等變形或三角恒等變形，將函數(shù)化簡，然后求導，這樣可簡化計算，少出差錯。如可先變形為，然后再求導。（2）求復合函數(shù)的導數(shù)是導數(shù)內(nèi)容的重點，在求導過程中，必須先搞清函數(shù)是怎樣復合而成的，函數(shù)由里到外逐步復合，求導時，從外到里逐次求導，注意一定要求到底，不要有遺漏。 （3）對于冪指函數(shù)，如，和多因子連乘、除、乘方、開方的函數(shù)，如等，注意正確運用對數(shù)求導法

8、。例5 設，試證明關系式。分析 這是涉及到高階導數(shù)的問題，若設想按照高階導數(shù)求法，依次求出函數(shù)的(n-1)階，n階，(n+1)階導數(shù)，然后代入關系式的左端加以整理，看其是否為0，顯然是很困難的。因此，要證明此題，需采用適當?shù)募记伞Ｒ话阍谇蟾唠A導數(shù)時，應對函數(shù)進行：1.初等變形；2.利用基本初等函數(shù)的高階導數(shù)公式；3.利用萊布尼茲公式或數(shù)學歸納法。證法1 ，即,兩端對求導，整理得 （*）（*）式左端正好是要求論證結(jié)果左端n=1的情形，但右端尚不是0，不過，關系式是對n>1成立。所以，利用萊布尼茲公式，（*）式兩端再對求（n-1）階導數(shù)。即 證法2 要論證有關n階導數(shù)所滿足的恒等關系式，也常

9、采用數(shù)學歸納法。（1）將(*)式兩端對求導 ，整理得這說明關系式對n=2時成立。（2）設當n=k時，關系式成立，即 （* *）求證當n=k+1時關系成立。（* *）式兩端對求導整理得 故關系式對任意的n2均成立。例6 求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)及二階導數(shù) （）。解 根據(jù)此方程的特點，方程兩端先取對數(shù)，再求導更為方便。方程兩端取對數(shù)：，再兩端對求導：整理得 ，即 ，所以 ,小結(jié) （1）隱函數(shù)求導法很重要，當、之間關系由方程給出時，或 對的導數(shù)比較難求時，可用此法。 （2）隱函數(shù)求二階導數(shù)時，可先求出，再將對求導，注意是自變量， 是的函數(shù)，然后把代入整理即可。亦可由方程兩端繼續(xù) 對求導，有 ，解

10、出 ，再將代入，得例7 求由參數(shù)方程所確定函數(shù)的一階、二階導數(shù)。解 。=說明 在求由參數(shù)方程所確定函數(shù)的高階導數(shù)時，僅需弄清式子即可。同學們在求導中常常丟掉，應注意此點。例8 試確定的值，使兩曲線與相切。分析 兩曲線相切，包含兩層意思：一是在切點處，兩曲線的縱橫坐標相等；二是在切點處，兩曲線的切線斜率相同。 （1）（2）解 由（1）得，代入（2），得，所以 。說明 解此題同學們往往只注意到相切，由，得，認為問題就解決了，實際上，由只能說明兩曲線的切線平行，而為待定系數(shù)，為了確定其值，還需用到兩曲線相切，切點處縱橫坐標相等的條件把定出來。例9 求橢圓上，點處的切線方程和法線方程。分析 此題的核心

11、是求曲線斜率和法線斜率，而導數(shù)的幾何意義就是曲線在該點處的切線斜率，故只需求出橢圓上點處對應的導數(shù)值即可，而橢圓可用三種方式表示，即 顯式、隱式、參數(shù)式，而此處是用隱函數(shù)形式給出的，求曲線斜率用隱函數(shù)求導法更簡便。解 方程兩端對求導：所以 故 所求切線方程為 法線方程為 例10 將水注入深8m而上頂直徑為8m的錐形水池中，注入速率為每分鐘4m2，求當深為5m時，其表面上升的速率為多少？分析 這是相關變化率問題。池中水面高度h是時間t的可導函數(shù)，注入池中的水的體積也是時間t的可導函數(shù)，若能建立池中水的體積與水面高度間的函數(shù)關系式，就能利用已知變化率，求得水面高度h隨時間的變化率。解 設經(jīng)過t分鐘后，注入池中水的體積為V，水面高度為h，則由于，所以，即。這就是注入池中水的體積與水面高度間的函數(shù)關系式。兩端對t求導，得已知，所以，當h=5m時，其表面上升速率為 （m/min）例11 若在內(nèi)有定義，=0，且時，有成立。（1）討論的連續(xù)性。（2）求。分析 此題是運用極限、連續(xù)、導數(shù)等重要概念的綜合題，主要搞清解題思路，及解題過程中的正確表達。解 由，知