精選習(xí)題一階微分方程解的存在定理

1、第三章 一階微分方程的解的存在定理3-1 求下列初值問題的近似解。1） 求初值問題的第三次近似解；2） 求初值問題的第二次近似解。解 由解的存在唯一性定理知，1），2）中的初值問題的解分別在，的鄰域內(nèi)存在且唯一。下面求它們的近似解。1） ， ，。2） ， 。評注：逐次逼近函數(shù)序列，在實際中有廣泛的應(yīng)用。利用此序列求近似解時，須驗證初值問題的解存在唯一，否則求出的結(jié)果可能并不是我們想要的近似解。3-2 設(shè)，求初值問題的解的存在區(qū)間，并求第二次近似解，給出在解的存在區(qū)間的誤差估計。解 設(shè)，顯然，方程在上滿足解的存在唯一性定理，則，所以，方程過點的解的存在區(qū)間為：，即。設(shè)是初值問題 的解，是第二次近

2、似解，則， 。在區(qū)間上，與的誤差為，取 ，所以 。評注：需要掌握第次近似解和真正解在區(qū)間內(nèi)的誤差估計公式，在進(jìn)行近似計算時，可以根據(jù)誤差的要求，選取適當(dāng)?shù)闹鸩奖平瘮?shù)。3-3 討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點的一切解。解 設(shè)，則，故在的任何區(qū)域上存在且連續(xù)，因而方程在這樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件。顯然，是通過點的一個解；又由方程得 。所以通過點的一切解為及。評注：尋找解的存在唯一性定理中的條件所滿足的區(qū)域，就是尋找連續(xù)和關(guān)于滿足利普希茲條件的區(qū)域，困難在于利普希茲條件的驗證，除用定義外，還常用下面的結(jié)論：在上存在且有界，則 在上關(guān)于滿足利普希茲條件。在

3、上存在且無界，則 在上關(guān)于不滿足利普希茲條件。其中為某矩形區(qū)域。3-4 證明格朗瓦耳(Gronwall)不等式：設(shè)為非負(fù)常數(shù)，和為在區(qū)間上的連續(xù)非負(fù)函數(shù)，且滿足不等式，則有。并由此證明定理3.1中的唯一性結(jié)論。證 1）時，令則。由可得，兩邊從到積分得即有所以即有。2）時，對任意，由于 所以由1）有 當(dāng)時，有。因為，即得，從而綜上所述，不等式成立。唯一性的證明。設(shè)是初值問題的兩個解，則有，。于是，其中為利普希茲常數(shù)，由上面的不等式可知，因而有。評注：格朗瓦耳不等式是微分方程中的重要不等式，表明積分不等式與其解的關(guān)系。用格朗瓦耳不等式證明微分方程初值問題解的唯一性是一個很好的方法。3-5 假定函數(shù)

4、于的鄰域內(nèi)是的不增函數(shù)，試證初值問題 （1）在一側(cè)最多只有一個解。證 設(shè)初值問題（2）存在兩個解，要證當(dāng)時，有。反證法。若當(dāng)時，不恒為零，即存在，使得，不妨設(shè)，由的連續(xù)性及，知必存在，使得及，則有 ，。而 ，其中。由及對的不增性，知，這與矛盾。因此，對，有。評注：此結(jié)論并沒有給出初值問題解的存在性，只保證了如果初值問題有解，解必唯一。3-5 假設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)并滿足局部李普希茲條件及；又方程的滿足初始條件的解對一切有定義，試證下列說法是等價的：（1） 任給，可以找到正數(shù)，使當(dāng)時，對一切有；（2） 任給及，存在正數(shù)，使當(dāng)時，對一切有。證 因函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)并滿足局部李普希茲條件，故方程的滿足初

5、始條件的解在區(qū)域內(nèi)唯一存在且連續(xù)地依賴于初值。又由知，方程在內(nèi)有零解。先證，由（1），存在，使當(dāng)時，對一切有成立。當(dāng)然，對，有成立，因而存在，使得，這時，對一切，仍有。再證由（2），對任給和，存在，使，對一切，有，因為方程的解在內(nèi)連續(xù)依賴于初值，故對已給，存在使當(dāng)時，在區(qū)間上，有。又過點的解唯一且連續(xù)光滑，故對任給，存在，當(dāng)時，對一切，均有成立。3-6 假設(shè)函數(shù)及都在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，又是方程滿足初始條件的解，試證存在且連續(xù)，并寫出其表達(dá)式。證 1）因及都在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，則在內(nèi)滿足局部利普希茲條件，故解在它的存在范圍內(nèi)對連續(xù)。2）設(shè)由初值和足夠小，所確定的解分別為和，則這兩個解均滿足積分方程 。即 和

6、，所以其中是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)時，于是有，即是初值問題 的解，因此是的連續(xù)函數(shù)。由上邊微分方程解得，故存在，顯然，它是的連續(xù)函數(shù)。評注：我們看到，在表達(dá)式中，包含有方程滿足初始條件的解，一般來說，初值問題解的表達(dá)式很難得到，因此，偏導(dǎo)數(shù)公式的實際應(yīng)用并不廣泛，但理論上表明初值問題解對初值的連續(xù)可微性。3-7 假設(shè)函數(shù)和于區(qū)間上連續(xù)，試證方程滿足初始條件的解，作為的函數(shù)于區(qū)域上存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并寫出其表達(dá)式。證 因是方程滿足初始條件的解，故有。視為的函數(shù)，即有，又關(guān)于連續(xù)，故存在且連續(xù)。 設(shè)由初值和所確定的解分別為和，則，即是初值問題 的解，因此是的連續(xù)函數(shù)。解上方程得，故存在 ，顯然，它在其

7、存在范圍內(nèi)連續(xù)。 設(shè)由初值和所確定的解分別為和 則，其中是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)時，于是有，即是初值問題 的解，因此是的連續(xù)函數(shù)，解上方程得，所以，在其存在范圍內(nèi)連續(xù)。評注：本題也可直接用3-7題的結(jié)果得到證明?？梢钥吹剑瑢τ诰€性方程，初值問題的解對初值的各個一階偏導(dǎo)數(shù)只與初值有關(guān)，而與初值問題解的表達(dá)式無關(guān)，應(yīng)用較為廣泛。xoy3-8 求曲線族的包絡(luò)，并繪出圖形。解 從消去，得判別曲線為 。 圖3-1經(jīng)檢驗曲線 是曲線族的包絡(luò)。如上圖3-1所示。評注：采用判別曲線法求單參數(shù)曲線族的包絡(luò)必須進(jìn)行檢驗。3-9 求解方程。解 將原方程變形為，這是克萊羅方程，故其通解為 。由 消去得到判別曲線，經(jīng)檢驗

8、曲線是方程的奇解。評注：一階隱式微分方程的解除過通解，有時還有奇解。一階微分方程的奇解（如果存在的話）是該方程通解的包絡(luò)，反之，一階微分方程通解的包洛（如果存在的話） 是該方程的奇解。因而為了求微分方程的奇解，先求出它的通解，然后采用判別曲線法求單參數(shù)曲線族的包絡(luò)。從本例中還可以看到，如果只需求微分方程的奇解，我們還可采用判別曲線法，同樣必須進(jìn)行檢驗。3-10 試證：就克萊羅方程來說，判別曲線和方程通解的判別曲線同樣是方程通解的包絡(luò)，從而為方程的奇解。證 易知克萊羅方程 （1）的通解為 （2）判別曲線為 （3）證明判別曲線上每一點都有方程的通解中的一條曲線通過。設(shè)任給（3）的參數(shù)值，則它對應(yīng)于（3）上的點為再在（2）中選任意常數(shù)，則它所對應(yīng)的特解為 （4）在曲線（4）上取時，所對應(yīng)的為這就是說，對于曲線（3）上每一點，有曲線族（2）中的一條曲線（4）通過。 證明判別曲線與方程通解中的通過同一點的曲線在該點相切。由（3）得故（4）與（2）在判別曲線上每一點的斜率都相同。 證明方程通解的包絡(luò)線（或方程的奇解）不包含在方程通解中。因（2）是一直線族，（3）是以為斜率的曲線，對于不同的值，曲線（3）上的點處的斜率不