第15章電路方程的矩陣形式

1、第十五章 電路方程的矩陣形式重點(diǎn)：1 關(guān)聯(lián)矩陣、基本回路矩陣及基本割集矩陣等基本概念2 熟練掌握幾種基本矩陣的列寫及其相互間關(guān)系3 熟練掌握基于矩陣的大規(guī)模電路分析方法的原理及應(yīng)用前景難點(diǎn)：1 掌握各種電路分析方法的矩陣應(yīng)用2 理解大規(guī)模電路分析方法對電路的計(jì)算機(jī)輔助分析與設(shè)計(jì)的作用我們以前在學(xué)習(xí)支路電流法、支路電壓法以及網(wǎng)孔分析法、節(jié)點(diǎn)分析法、割集分析法、回路分析法時(shí)，都是憑觀察來列出所需的獨(dú)立方程組。在求解方程時(shí)可以用手算，也可以使用電子計(jì)算機(jī)。對于含元件較少的電路，這種做法是行得通的。但是現(xiàn)代的電子電路可以包含數(shù)百個(gè)元件，特別是集成電路技術(shù)的飛越發(fā)展，電路日益復(fù)雜。對于這類“大規(guī)模（La

2、rge scale）電路”，不可能再憑觀察來列寫方程。需要有一種系統(tǒng)化的步驟來處理這類電路，使列寫方程和求解的工作都能由電子計(jì)算機(jī)去完成。本章初步地介紹了這種分析方法。其中要用到上章所述圖論的一些基本概念以及線性代數(shù)中的矩陣方法。15-1 電網(wǎng)絡(luò)圖論的基本概念網(wǎng)絡(luò)圖論與矩陣論、計(jì)算方法等構(gòu)成電路的計(jì)算機(jī)輔助分析的基礎(chǔ)。其中網(wǎng)絡(luò)圖論主要討論電路分析中的拓?fù)湟?guī)律性，從而便于電路方程的列寫。 網(wǎng)絡(luò)的圖1網(wǎng)絡(luò)圖論網(wǎng)絡(luò)拓?fù)鋵W(xué)圖論是數(shù)學(xué)中重要的分支，網(wǎng)絡(luò)圖論是圖論在電路理論中的應(yīng)用。主要通過電路的結(jié)構(gòu)及其連接性質(zhì)，對電路進(jìn)行分析計(jì)算。2支路Branch每一個(gè)電路元件或多個(gè)電路元件的某種組合用一條線段代替，

3、稱為支路。3節(jié)點(diǎn)node每一個(gè)電路元件的端點(diǎn)，或多個(gè)電路元件相連接的點(diǎn)用一個(gè)圓點(diǎn)代替，稱為節(jié)點(diǎn)。在電網(wǎng)絡(luò)理論中，通常節(jié)點(diǎn)是指支路的匯集點(diǎn)，這一概念與數(shù)學(xué)圖論中的“節(jié)點(diǎn)”概念略有不同。4網(wǎng)絡(luò)的圖graph節(jié)點(diǎn)和支路的集合，稱為圖，每一條支路的兩端都連接到相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)上。有向圖Oriented graph是指各個(gè)支路規(guī)定了參考方向的圖反之，稱為無向圖。5路徑path從圖G的某一節(jié)點(diǎn)出發(fā)，沿著一些支路連續(xù)移動，從而達(dá)到一個(gè)指定的節(jié)點(diǎn)，這一系列支路構(gòu)成圖的一條路徑。6連通圖connected graph當(dāng)圖G 中的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間至少存在一條路徑時(shí)，稱為連通圖。7回路loop如果一條路徑的起點(diǎn)和終點(diǎn)重合

4、所形成的閉合路徑，稱為回路。8網(wǎng)孔mesh一般是指內(nèi)網(wǎng)孔。平面圖中自然的“孔”，它所限定的區(qū)域不再有支路。如下面電路的對應(yīng)的圖為左圖所示。注意每一個(gè)二端元件為一條支路！例如：在下圖中，支路數(shù)6，節(jié)點(diǎn)數(shù)4，網(wǎng)孔數(shù)3，回路數(shù)7 樹、基本回路及基本割集1樹的概念tree一個(gè)連通圖G的樹T是指G的一個(gè)連通子圖，它包含G的全部節(jié)點(diǎn)，但不含任何回路。樹中的支路稱為“樹支”tree branch，圖G中不屬于T 的其他支路稱為“連支”link，其集合稱為“樹余”。一個(gè)連通圖的樹可能存在多種選擇方法。2基本回路只含一條連支的回路稱為單連支回路，它們的總和為一組獨(dú)立回路，稱為“基本回路”。樹一經(jīng)選定，基本回路唯

5、一地確定下來。 對于平面電路而言，其全部網(wǎng)孔是一組獨(dú)立回路。3割集cut set一個(gè)連通圖G的割集是指G的一個(gè)支路子集：1） 將該支路子集中的全部支路移去（保留節(jié)點(diǎn)）后，余下的圖彼此分離且各自連通；2） 保留該支路子集中的任意一條支路時(shí)，圖仍然連通；u 基本割集只含一條樹支的割集稱為單樹支割集，它們的總和稱為“基本割集”。樹一經(jīng)選定，基本割集唯一地確定下來。 關(guān)聯(lián)矩陣與降階關(guān)聯(lián)矩陣A給定一個(gè)定向圖，各定向支路與各個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的聯(lián)接關(guān)系是十分清楚的，這種結(jié)構(gòu)上的關(guān)系能否用代數(shù)的方法來表達(dá)呢？這對于企圖用電子計(jì)算機(jī)來分析電路是個(gè)很重要的問題。運(yùn)用矩陣可以解決這個(gè)問題。一、關(guān)聯(lián)矩陣Aa（又稱增廣關(guān)聯(lián)矩

6、陣）1定義我們可以用定向圖的各個(gè)節(jié)點(diǎn)組成矩陣的行，各定向支路組成矩陣的列，列表如下（其中等表示編號為1,2,的支路,等表示編號為1,2,的節(jié)點(diǎn)）：以適當(dāng)?shù)臄?shù)填入空檔即可表明定向圖中節(jié)點(diǎn)與支路的聯(lián)接情況。這些數(shù)構(gòu)成矩陣的元素。即定義關(guān)聯(lián)矩陣（augmented incidence matrix），其中，的行對應(yīng)圖的節(jié)點(diǎn)，列對應(yīng)圖的各個(gè)支路。其中，當(dāng)節(jié)點(diǎn)i與支路bk無關(guān)聯(lián)時(shí)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)i與支路bk關(guān)聯(lián)，且支路電流的參考方向離開節(jié)點(diǎn)時(shí)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)i與支路bk關(guān)聯(lián)，且支路電流的參考方向指向節(jié)點(diǎn)時(shí)，在一般情況下，對一個(gè)具有條支路和個(gè)節(jié)點(diǎn)的定向圖來說，其增廣關(guān)聯(lián)矩陣為一個(gè)行和列的矩陣：例如： 式15-1 圖15-

7、1 定向圖一例二、Aa的性質(zhì)由于每一支路都恰好與兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)矩陣Aa中每一列都恰好有兩個(gè)非零的元素，其一為+1，另一為-1。把一個(gè)矩陣中的兩行相加，就是把同一列中的元素相加。以（15-1）式所示矩陣為例，若矩陣中的第1行和第2行分別記為和，則 （15-2）如果把（15-1）式所示矩陣的各行相加，可得 由此可見，增廣關(guān)聯(lián)矩陣的各行線性相關(guān)，這就是說，該矩陣中的任一行是其余各行的線性組合。三、降階關(guān)聯(lián)矩陣A由于增廣關(guān)聯(lián)矩陣的各行線性相關(guān)，即矩陣中的任一行是其余各行的線性組合。也就是說，總可以通過矩陣的代數(shù)變換，使得其中某一行全為零元素因此，除去增廣關(guān)聯(lián)矩陣中的任一行，矩陣仍具有同樣的信息，

8、足以表征定向圖中節(jié)點(diǎn)對支路的關(guān)系。我們把這種矩陣稱為降階（reduced）關(guān)聯(lián)矩陣或徑稱為關(guān)聯(lián)矩陣，記為。在關(guān)聯(lián)矩陣中有些列具有兩個(gè)非零的元素（+1及-1），有些列只有一個(gè)非零元素。仍以圖15-1所示定向圖為例，若除去第2行，則 （15-3）再如：l 問題：根據(jù)關(guān)聯(lián)矩陣是否能夠得到唯一的圖？四、矩陣A的作用與KCL定律及節(jié)點(diǎn)電壓方程的矩陣表達(dá)式1關(guān)聯(lián)矩陣A與KCL定律電路的獨(dú)立KCL方程組可以用關(guān)聯(lián)矩陣表示為向量方程。以上圖為例，如果把節(jié)點(diǎn)2選為參考節(jié)點(diǎn)，則由其余的4個(gè)節(jié)點(diǎn)可得獨(dú)立的KCL方程組如下：節(jié)點(diǎn)1 節(jié)點(diǎn)3 節(jié)點(diǎn)4 （15-4）或?qū)憺?（15-5）試把（15-5）式和（15-3）式加以

9、比較，我們立即就可發(fā)現(xiàn)（15-5）式左端的系數(shù)矩陣與（15-3）式所示的矩陣完全相同。如設(shè) 并稱為支路電流向量，則（15-5）式 （15-6）雖然，這一方程是由圖15-1所示的定向圖得出的，但對任何定向圖都可得出這一結(jié)果。2關(guān)聯(lián)矩陣與支路電壓、節(jié)點(diǎn)電壓（KVL）仍然以上圖為例，設(shè)各個(gè)支路電壓分別為，而以節(jié)點(diǎn)2為參考點(diǎn)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓分別為， 可以推廣之，設(shè)各個(gè)支路電壓分別為，用列相量表示而以節(jié)點(diǎn)2為參考點(diǎn)的各個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓分別為，用列相量表示則： 回路矩陣及割集矩陣一、增廣回路矩陣B1定義表明圖中支路與回路之間的關(guān)系的矩陣。定義為：設(shè)給定的定向圖有條支路，個(gè)回路。為每一回路規(guī)定一方向后，我們可以定義

10、一個(gè)增廣回路矩陣。它是一個(gè)矩陣，記為， （15-7）它的第個(gè)元素確定如下： +1如果支路在回路內(nèi)，且它們的參考方向一致； -1如果支路在回路內(nèi)，且它們的參考方向不一致；0如果支路不在回路之內(nèi)。例如，圖15-2所示定向圖，具有六條支路和三個(gè)回路，如圖中所示： 圖15-2 定向圖一例設(shè)三個(gè)回路的方向均為順時(shí)針方向。這定向圖的增廣回路矩陣為 （15-8）顯然可見，這矩陣的各行線性相關(guān)。2用Ba表示的KVL方程矩陣表達(dá)式如定義支路電壓向量則 （15-9）將表示該定向圖所有回路的KVL方程。3用Ba表示的KVL方程矩陣表達(dá)式設(shè)各個(gè)支路電流分別為，用列相量表示而各個(gè)回路電流分別為，用列相量表示則：二、基本

11、回路矩陣B1定義由2-5可知：獨(dú)立回路數(shù)為個(gè)，因此在增廣回路矩陣的行中只有個(gè)是線性無關(guān)的。為了能直接獲得獨(dú)立的KVL方程組，我們將運(yùn)用2-5所述的基本回路的概念，并定義一個(gè)基本回路矩陣，它是一個(gè)矩陣： （15-10）它的第個(gè)元素與矩陣元素是一樣的。例如，對圖15-3所示的定向圖，選樹如粗線所示，由連支確定基本回路，并選定其方向后，對應(yīng)于該樹的基本回路矩陣為 （15-11） 2用B表示的KVL方程矩陣表達(dá)式電路的獨(dú)立KVL方程組可以用基本回路矩陣表示為向量方程。仍以圖15-3的定向圖為例，根據(jù)選定的基本回路，可得獨(dú)立的KVL方程組如下： 回路： 回路： 回路： （15-12） 回路： 圖15-3

12、 選定樹后，定向圖的基本回路或?qū)憺?（15-13）由（15-11）式可知，上式可寫為 （15-14）其中 雖然，這一方程是由圖15-3所示的定向圖得出的，但對任何定向圖都可得出這一結(jié)果。3用B表示的KCL方程矩陣表達(dá)式設(shè)各個(gè)支路電流分別為，用列相量表示而各個(gè)回路電流（即連支電流）分別為，用列相量表示則：u 關(guān)于基本回路矩陣的說明1） 由于基本回路為單連支回路，所以其參考方向取為連支參考方向。2） 確定基本回路矩陣需要先選擇一棵樹3） 列寫時(shí)，將矩陣的列按樹支與連支分開排列的方式 三、基本割集矩陣Q1 定義基本割集矩陣的行對應(yīng)基本割集，列對應(yīng)圖的各個(gè)支路。其中，當(dāng)支路bk與基本割集無關(guān)聯(lián)時(shí)，當(dāng)支

13、路bk與基本割集關(guān)聯(lián)，且支路電流與基本割集的參考方向一致時(shí)，當(dāng)支路bk與基本割集關(guān)聯(lián)，且支路電流與基本割集的參考方向相反時(shí)，2 關(guān)于基本割集矩陣的說明1） 由于基本割集為單樹支回路，所以其參考方向取為樹支參考方向。2） 確定基本割集矩陣需要先選擇一棵樹3） 列寫時(shí)，將矩陣的列按樹支與連支分開排列的方式例如 再如圖15-11所示定向圖，對所示樹來說 圖15-11 對選定樹的三個(gè)基本割集3用Q表示的KCL方程的矩陣表達(dá)式對于每一個(gè)基本割集都應(yīng)用一次KCL，就可得到聯(lián)系著個(gè)支路電流的個(gè)線性獨(dú)立方程組。這組方程可表示為 （KCL） （15-46）4用Q表示的KVL方程的矩陣表達(dá)式對于每一個(gè)基本割集都應(yīng)

14、用一次KCL，就可得到聯(lián)系著個(gè)支路電流的個(gè)線性獨(dú)立方程組。這組方程可表示為 （KVL） （15-46） 獨(dú)立的KCL方程和KVL方程一個(gè)含有n個(gè)節(jié)點(diǎn)、b條支路的電路，其獨(dú)立的KCL（電流方程）方程數(shù)為()個(gè)，與這些獨(dú)立的KCL方程對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)稱為獨(dú)立節(jié)點(diǎn)；其獨(dú)立的KVL（電壓方程）方程數(shù)為()個(gè)。上述結(jié)論的具體說明與嚴(yán)格證明略去，有興趣的同學(xué)可以在推薦的參考教材及有關(guān)的書籍中找到答案。一組獨(dú)立回路就可對應(yīng)一組獨(dú)立的KVL方程，因此，可以運(yùn)用圖論的一些基本概念來幫助我們簡化電路問題的求解。15-2 支路方程的矩陣形式從以上兩節(jié)中我們得到兩個(gè)基本 （KCL） （KCL）它們反映了電路的拓?fù)浼s束。我們

15、還必須掌握支路的約束關(guān)系，才能得到完整的網(wǎng)絡(luò)描述。本節(jié)推導(dǎo)支路約束關(guān)系的矩陣形式。設(shè)電路中的每條支路有一個(gè)電阻，一個(gè)獨(dú)立電壓源和一個(gè)獨(dú)立電流源，其一般形式如圖15-4所示。如果支路中沒有電源，則令電壓源電壓和電流源電流為零即可。由圖15-4可得 （15-15）其中為第條支路電流，為第條支路電壓，為第條支路電導(dǎo)，為第條支路的獨(dú)立電壓源的電壓，為第條支路的獨(dú)立電流源的電流。把（3-15）式寫成矩陣形式便得整個(gè)電路的支路約束。為此，定義支路電導(dǎo)矩陣如下 （15-16）它是一個(gè)矩陣。定義獨(dú)立電壓源向量為 （15-17）定義獨(dú)立電流源向量為 （15-18）于是，（15-15）式可改為 （15-19）這方

16、程總括了網(wǎng)絡(luò)中全部支路的約束關(guān)系。支路方程也可用矩陣表示為 （15-20）其中 （15-21）稱為支路電阻矩陣。 根據(jù)兩個(gè)約束關(guān)系，給定（或）中的各元素值，我們就可求出電路中的各支路電流及支路電壓。15-3 節(jié)點(diǎn)分析法由第二章可知：在任何電路中必有一組電壓是線性無關(guān)的，也必有一組電流是線性無關(guān)的。也就是說：電路中存在著一組獨(dú)立電壓變量，所有支路電壓都可以表示為這組電壓的線性組合；電路中存在著一組獨(dú)立電流變量，所有支路電流都可以表示為這組電流的線性組合。在第二章中我們已指出：電路中的個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓是一組獨(dú)立電壓變量。若定義節(jié)點(diǎn)電壓向量 （15-22）支路電壓向量為 (15-23)則這兩向量間的關(guān)系可

17、表為 (15-24)其中為關(guān)聯(lián)矩陣的轉(zhuǎn)置。我們來證明這一關(guān)系。設(shè)圖3-5中所示為定向圖中任一支路，聯(lián)在節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)之間。任設(shè)支路電壓的極性如圖中所示，則顯然 這就是說，每一支路電壓可表示為節(jié)點(diǎn)電壓的線性組合。其一般形式應(yīng)為 （15-25） 圖15-5 借助于節(jié)點(diǎn)電壓計(jì)算支路電壓其中為+1，-1或0。這就是說，支路電壓向量與節(jié)點(diǎn)電壓向量可表為 （15-26）其中為矩陣 （15-27）它的第個(gè)元素確定如下： +1 如果支路與節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，且離開該節(jié)點(diǎn)； -1 如果支路與節(jié)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)，且進(jìn)入該節(jié)點(diǎn)； 0如果支路與節(jié)點(diǎn)無關(guān)聯(lián)。上述的定義與關(guān)聯(lián)矩陣中元素的定義完全相同，故得 對所有的和 （15-28）這表明

18、（15-29）于是（15-24）式得到了證明。借助于個(gè)節(jié)點(diǎn)電壓來表示個(gè)支路電壓，實(shí)際上是表達(dá)KVL加于支路電壓約束的一種方法。（15-24）式（KVL）連同（15-6）式（KCL）構(gòu)成節(jié)點(diǎn)分析的兩個(gè)基本方程。把它們和反映網(wǎng)絡(luò)支路約束關(guān)系的（15-19）式相結(jié)合，就可得到具有個(gè)未知量的個(gè)方程。為此，要進(jìn)行消去支路變量的工作，其過程如下所示： KCL （15-6） KVL（15-24） VAR（15-19）以矩陣左乘方程（15-19）式，用代替，并應(yīng)用（15-6）式，可得 （15-30）或 （15-31）在上式中，是一個(gè)方陣，而和都是維列向量。令 （15-32a） (15-32b)則（15-31）

19、式成為 （15-33）方程組（15-33）式通常稱為節(jié)點(diǎn)方程；稱為節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣，稱為節(jié)點(diǎn)電流源向量。在這個(gè)節(jié)點(diǎn)方程中，和是可以根據(jù)給定的電路結(jié)構(gòu)、元件的參數(shù)和電源的電壓以及電流算得的。由定向圖能確定關(guān)聯(lián)矩陣，由各支路的電導(dǎo)根據(jù)（15-16）式可確定支路電導(dǎo)矩陣，因而節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣就可由（15-32a）式確定。同樣，由于電源向量和是已知的，所以節(jié)點(diǎn)電流源向量可按（15-32b）式確定。因此，向量方程（15-33）式把未知的維列向量同已知的矩陣和維列向量相聯(lián)系。由此可解得。一旦求得，由（15-24）式可確定個(gè)支路電壓，再由支路（15-19）可確定個(gè)支路電流。節(jié)點(diǎn)方程（15-33）式是由個(gè)以節(jié)點(diǎn)電壓作

20、未知量的線性代數(shù)方程組。（15-33）式是第二章（2-9）式的矩陣表示形式。我們過去是用視察法直接由電路列出這組方程的，并用任何一中方法求得解答。本節(jié)所述內(nèi)容，可為節(jié)點(diǎn)分析法提供了一個(gè)嚴(yán)格的系統(tǒng)步驟，在任何情況下都適用。這種系統(tǒng)的方法在為運(yùn)用計(jì)算機(jī)而編制程序時(shí)是必需的。例15-1 電路如圖15-6（a）所示，試列出編寫節(jié)點(diǎn)方程和解出各支路變量的詳細(xì)步驟。解：（1）作該電路的圖如圖（b）所示。任選一參考節(jié)點(diǎn)，如節(jié)點(diǎn)5，其余節(jié)點(diǎn)分別標(biāo)以1、2、3、4。節(jié)點(diǎn)電壓為。 （2）對支路1、2、3、4、5、6、7、8加以編號，并指定每一支路的參考方向。以變量表示第支路的電導(dǎo)。 (3)建立關(guān)聯(lián)矩陣 （a） (

21、b) 圖15-6 例15-1（4）建立支路電導(dǎo)矩陣，由于電路具有8條支路，該矩陣為階，且為對角線矩陣。 （5）根據(jù)計(jì)算節(jié)點(diǎn)電導(dǎo)矩陣。故得 （6）確定獨(dú)立電壓源向量和獨(dú)立電流源向量 注意，電壓、電流的符號均根據(jù)圖3-4，一般電阻支路所規(guī)定的方向與圖3-6中支路的實(shí)際選定方向作比較而確定。（7）根據(jù)確定節(jié)點(diǎn)電流源向量計(jì)算得； 故得 （8）得節(jié)點(diǎn)方程 （9）我們可以通過逆矩陣來求解節(jié)點(diǎn)電壓解得 （10）求得各節(jié)點(diǎn)電壓后，支路電壓可由求得。 解得 （11）由求各支路電流。得 上例的建立方程和求解的工作可以由計(jì)算機(jī)完成。為此，我們應(yīng)把計(jì)算程序以及網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、元件的參數(shù)值輸入計(jì)算機(jī)。計(jì)算結(jié)果由計(jì)算機(jī)的

22、輸出設(shè)備（例如行式打印機(jī)）獲得。 一種輸入數(shù)據(jù)的方式是：先輸入節(jié)點(diǎn)數(shù)和支路數(shù)，以圖3-6電路為例，輸入數(shù)據(jù)的第一行為 5，8“通知”計(jì)算機(jī)電路有5個(gè)節(jié)點(diǎn)，8條支路。其第二行為 1，1，2，1，0，0其中第一位為支路編號，第二位為該支路的起始節(jié)點(diǎn)編號，第三位為該支路的終止節(jié)點(diǎn)編號，第四位為電阻值，第五位為電壓源值，第六位為電流源值。因此，圖3-6電路的全部輸入數(shù)據(jù)為 5，8 1，1，2，1，0，0 2，2，4，1，0，-3 （與支路方向不一致） 3，3，4，7，0，0 4，3，1，5，-10，0 （與支路方向不一致） 5，5，1，2，0，0 6，2，5，5，0，0 7，5，4，3，0，0 8，3

23、，5，2，0，0根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計(jì)算機(jī)即可形成及等矩陣。計(jì)算機(jī)根據(jù)程序由形成，即可算出及等矩陣。在算出后，即可算出，進(jìn)而算出，并把結(jié)果打印出來。 15-4 回路分析法在前面我們已指出：選定樹后，電路中的基本回路電流是一組獨(dú)立電流變量，其個(gè)數(shù)為，所有支路電流都可以表示為這組電流的線性組合。設(shè)基本回路電流向量為 （15 -34）這一向量與支路電流向量的關(guān)系可表示為 （15-35）其中為基本回路矩陣的轉(zhuǎn)置。我們來證明這一關(guān)系。每一支路電流可表示為基本回路電流的線性組合。第條支路的電流可表示為 （15-36）其中可為+1，-1或0。例如在圖15-8所示定向圖中，寫為一般形式，即為 （15-37）其中為矩

24、陣： （15-38）它的第個(gè)元素確定如下： +1 如果支路在回路內(nèi)，且它們的參考方向一致； -1 如果支路在回路內(nèi)，且它們的參考方向不一致； 0 如果支路不在回路內(nèi)。圖15-8 表明基本回路電流與支路電流關(guān)系用圖上述的定義與基本回路矩陣中的元素的定義完全相同，故得 對所有的和 （15-39）這表明 （15-40）于是（15-35）式得到了證明。借助于個(gè)回路電流來表示個(gè)支路電流，實(shí)際上是表達(dá)KCL加于支路電流約束的一種方法。（15-35）式（KCL）連同（3-34）式（KVL）構(gòu)成回路分析的兩個(gè)基本方程。把它們和反映網(wǎng)絡(luò)支路約束條件的（15-20）式相結(jié)合，就可得到具有個(gè)未知量的個(gè)方程。為此，要

25、進(jìn)行消去支路變量的工作，其過程如下所示： （KVL） （15-14） （KCL） （15-35） （VAR） （15-20）以矩陣左乘方程（15-20）式，用代替，并考慮到（15-14）式，可得 （15-41）在上式中，是一個(gè)方陣，亦即方陣，而和都是維向量。令 （15-42） （3-43）則（15-41）式成為 （15-44）方程組（15-44）式通常稱為回路方程；稱為回路電阻矩陣，稱為回路電壓源向量。以上所述內(nèi)容，可為回路分析法提供一個(gè)嚴(yán)格的系統(tǒng)步驟，適宜于編制計(jì)算機(jī)程序。例15-2 用回路分析法求解圖15-6所示電路的支路電流。圖15-6 例15-2解 作圖15-6電路的定向圖如圖15-9

26、所示，選樹如圖中粗線所示，基本回路為和 得回路方程 求支路電流： 15-5 割集分析法一、方法以樹支電流為變量，對用樹支確定的基本割集列寫KCL方程，從而分析計(jì)算電路的方法。在選擇樹時(shí)，應(yīng)盡量將電壓源或受控壓源所在的支路選為樹支，這樣可以不再對由純壓源樹支所確定的基本割集列寫方程，從而進(jìn)一步減少方程的數(shù)量。解題方法與解題步驟基本與節(jié)點(diǎn)法相同，可以應(yīng)用于非平面電路，而且在某些電路結(jié)構(gòu)下可以簡化計(jì)算。二、割集分析法的矩陣形式其中：u Gt割集電導(dǎo)矩陣。其對角線上的元稱為“自導(dǎo)”，其值為某一基本割集中聯(lián)接的支路上的電導(dǎo)之和，符號為正；其他各元稱為“互導(dǎo)”， 其值為某兩個(gè)基本割集共有支路上的電導(dǎo)之和，符號由兩個(gè)割集的參考方向決定，如果一致，為正；相反則為負(fù)。注意：割集之間參考方向的是否一致要依據(jù)其公共支路來判定。u Ut樹支電壓向量。其元為各個(gè)樹支的電壓，為列向量。u Jt割集電流源向量。其元為與各個(gè)