第一學(xué)期經(jīng)管類(lèi)微積分III期末試卷答案

1、廈門(mén)大學(xué)微積分（III）期末考試試卷2014級(jí)經(jīng)管類(lèi)試卷（A） 考試日期2015.1.21 1、（10分）計(jì)算下列極限（1）； （2）； （3）.解：（1）由定積分的定義得（2）由洛必達(dá)法則得 （3）.或.或利用積分中值公式 , 2、（20分）計(jì)算下列積分（1）； （2）；（3）；（4）解：（1）所以.另解：故.（2）.（3）由于為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)，則有.（4）因?yàn)?，且它是以為周期的函?shù)，故.其中利用積分公式 3（10分）已知具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，且滿(mǎn)足試問(wèn)：是否是的極值點(diǎn)？是否是曲線(xiàn)的拐點(diǎn)？請(qǐng)論證說(shuō)明理由.解：由的連續(xù)性和及極限的保號(hào)性知，且存在的某個(gè)鄰域，使得當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，由，

2、其中知，是的駐點(diǎn)，且當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), ，即在的鄰域內(nèi)不變號(hào)，所以不是的極值點(diǎn)。再由，且.當(dāng)時(shí), ，當(dāng)時(shí), ，即在的鄰域內(nèi)變號(hào)，故是函數(shù)曲線(xiàn)的的拐點(diǎn)。4、（10分）設(shè)是區(qū)間上單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，且，求證：在內(nèi)存在唯一的，使得在區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形的面積與在上以為高的矩形面積相等。證明：由題設(shè)條件，欲證，使得.構(gòu)造輔助函數(shù) 顯然在區(qū)間上連續(xù)，且，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即存在，使得，即得 .或利用洛爾定理證. 令，顯然上滿(mǎn)足洛爾定理的三個(gè)條件，由洛爾定理，存在，使得即.下面利用的單調(diào)性來(lái)證存在的唯一性. 對(duì). 其中上式右端第一、三項(xiàng)為正，第二項(xiàng)非負(fù)，故在上嚴(yán)格單調(diào)增加，

3、因此是唯一的。5、（10分）判斷廣義積分的斂散性，若收斂則求出其廣義積分值。解：由于 ，因?yàn)槭諗浚杀容^判別法知廣義積分收斂.所以.6、（15分）現(xiàn)過(guò)點(diǎn)作曲線(xiàn)的切線(xiàn).（1）求的方程；（2）求與所圍平面圖形的面積；（3）求圖形的的部分繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積.解：（1）設(shè)切點(diǎn)為，則有，所以的方程為，將代入的方程，有，解得唯一實(shí)根，故切點(diǎn)為，切線(xiàn)方程為.(2) 由解得，故所求的面積為.(3) 所求體積為.7、（15分）設(shè)在上連續(xù)可微，且函數(shù)曲線(xiàn)在上是下凸的（即函數(shù)曲線(xiàn)形如型），證明：. 證：先證左邊的不等式. 由已知條件曲線(xiàn)在上是下凸的，其函數(shù)曲線(xiàn)總在曲線(xiàn)切線(xiàn)的上方。令，則有 ，兩邊從到積分，得 ， 其中 .即，此即左邊的不等式.下面證右邊的不等式再由已知條件曲線(xiàn)在上是下凸的，則其函數(shù)曲線(xiàn)總在曲線(xiàn)端點(diǎn)弦連線(xiàn)的下方。則有 ，兩邊從到積分，得 即 ，此即要證的右邊的不等式。證畢！8、（10分）某企業(yè)將投資800萬(wàn)元生產(chǎn)一種產(chǎn)品，假設(shè)在投資的20年中該企業(yè)以200萬(wàn)元/年的速度均勻地收回資金，如果按年利率5%的連續(xù)復(fù)利計(jì)算，試計(jì)算該項(xiàng)投資收入的現(xiàn)值及投資回收期