立體幾何之外接球和內(nèi)切球

1、 外接球和內(nèi)切球題型一 高過外心（正棱錐、圓錐、側棱相等）【例1】 已知正四棱錐的所有頂點都在球的球面上，則球的表面積為（ ）ABCD【答案】C【解析】正四棱錐PABCD的所有頂點都在球O的球面上，PAAB2，連結AC，BD，交于點O，連結PO，則PO面ABCD，OAOBOCOD=，OP，O是球心，球O的半徑r球O的表面積為S4r28故選：C【舉一反三】1（2019·廣東高考模擬（文）在三棱錐中.，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）ABCD【答案】B 題型二 高不過心（直棱柱、圓柱、側棱垂直于底面的圓錐）【例2】（1）（2019·天津高考模擬（理）長方體ABCD-A1B1C

2、1D1的8個頂點在同一個球面上，且AB=2，AD=3，AA1=1，則球的表面積為_（2） 已知正三棱柱的底面邊長為3，外接球表面積為，則正三棱柱的體積為（ ）A.B.C.D. 【答案】（1）8（2）D 【舉一反三】1 已知三棱柱的側棱與底面垂直，則三棱柱外接球的體積為（ ）ABCD【答案】D 2 四棱錐的底面為正方形，底面，若該四棱錐的所有頂點都在體積為的同一球面上，則的長為（ ）A3B2C1D【答案】C 3四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面，底面為梯形，且，則此球的表面積等于（）ABCD【答案】C 題型三 找高作心（頂點的投影在底邊上）【例3】（1） 在三棱錐P-ABC中，平面PAB平面AB

3、C，ABC是邊長為23的等邊三角形，其中PA=PB=7，則該三棱錐外接球的表面積為_（2） 在四面體中，與都是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的體積為_ 【舉一反三】1 已知四棱錐的三視圖如圖所示，若該四棱錐的各個頂點都在球的球面上，則球的表面積等于_.【答案】 3（2019·河南高考模擬（理）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的體積是（ ）ABCD【答案】A 考向四 球心在邊上（斜邊是球的直徑）【例4】 在三棱錐中，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為（）ABCD【答案】D【舉一反三】1 已知三

4、棱錐的體積為，各頂點均在以為直徑球面上，則這個球的表面積為_。【答案】16 考向五 嵌套模型【例5】（1） 若三棱錐的三條側棱兩兩垂直，且側棱長都相等，其外接球的表面積是，則其側棱長為（ ）A.B.C.D.（2） 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積是（ ）A B C D【答案】（1）B（2）B 【舉一反三】1 某幾何體的三視圖是如圖所示的三個直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積是（ ）A.41B.48C.51D.164【答案】A【解析】由三視圖可得該幾何體為如下圖（一）所示三棱錐，其中，DAAB，BCAB，AB=AD=4，BC=3因為CD的中點E到所有頂點的距離相等，所以E為

5、外接球球心.因為CD=42+32+42=41 所以外接球半徑為：r=412，則表面積為：4r2=41.選A.2 已知四面體的四個面都為直角三角形，且平面，若該四面體的四個頂點都在球的表面上，則球的表面積為（ ）ABCD【答案】D 題型六 最值問題【例6】 在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球體積的最小值為 ( )A BCD【答案】D 【舉一反三】1 已知三點都在表面積為的球的表面上，若.則球內(nèi)的三棱錐的體積的最大值為（ ）ABCD【答案】C2 已知一個三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長、寬、高分別為，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（ ）A.B.C.D.【答案】B 3 已知三棱錐中，側棱

6、,當側面積最大時，三棱錐的外接球體積為_【答案】題型七 內(nèi)切球【例7】 如圖是一三棱錐的三視圖，則此三棱錐內(nèi)切球的體積為（ ）ABCD【答案】D【舉一反三】1 已知一個圓錐的側面積是底面積的倍，記該圓錐的內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積為，則（ ）A.B.C.D.【答案】C2 一個圓錐的母線長為，圓錐的母線與底面的夾角為，則圓錐的內(nèi)切球的表面積為( )ABCD【答案】B3將半徑為3，圓心角為的扇形圍成一個圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為 （ ）ABCD【答案】B課后作業(yè)1 三棱柱的側棱垂直于底面，且 ,若該三棱柱的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（ ）ABCD【答案】C2 中國古代數(shù)學

7、經(jīng)典九章算術系統(tǒng)地總結了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，書中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臍如圖為一個陽馬與一個鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，若鱉牖的體積為l，則陽馬的外接球的表面積等于（）ABCD【答案】A3 已知正方形的邊長為邊的中點為，現(xiàn)將分別沿折起，使得兩點重合為一點記為，則四面體外接球的表面積是（ ）ABCD【答案】C4 已知S、A、B、C是球O表面上的點，SA平面ABC，ABBC，SA=1，AB=BC=2， 則球S的表面積為（）A.5B.52C.9D.92【答案】C 6如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E、F分

8、別是AB、BC的中點，將ADE，BEF，CDF分別沿DE，EF，F(xiàn)D折起，使得A、B、C三點重合于點A'，若四面體A'EDF的四個頂點在同一個球面上，則該球的表面積為( )A.5B.6C.8D.11【答案】B 7某簡單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點都在球O的球面上，則球O的表面積是：（ ）A.8B.123C.12D.48【答案】C 8已知三棱錐O-ABC的底面ABC的頂點都在球O的表面上，且AB=6，BC=23，AC=43，且三棱錐O-ABC的體積為43，則球O的體積為（ ）A.323B.643C.1283D.2563【答案】D9一個各面均為直角三角形的四面體有三

9、條棱長為2，則該四面體外接球的表面積為（ ）A6B12C32D48【答案】B 10已知在三棱錐中，平面平面，若三棱錐的頂點在同一個球面上，則該球的表面積為（ ）ABCD【答案】D 11已知三棱錐的體積為6，在中，且三棱錐的外接球的球心恰好是的中點，則球的表面積等于（ ）ABCD【答案】C12已知一圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為（）ABCD【答案】B13已知三棱錐P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】C 14（2019·全國高考模擬）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）ABCD【答案】A 15如圖，直角三角形，將繞邊旋轉至位置，若二面角的大小為，則四面體的外接球的表面積的最小值為（ ）ABCD【答案】B 19中，將沿上的高折成直二