第三章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一、中值定理1、在區(qū)間上滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是（ D ）A B C D 1、方程至少有一個根的區(qū)間為（ B ）A B C D 2、設(shè)，則方程（ C ）A 在內(nèi)沒有實(shí)根 B 在內(nèi)沒有實(shí)根C 在內(nèi)有兩個不同實(shí)根 D 內(nèi)有兩個不同實(shí)根3、函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得（ A ）A B C D 1、函數(shù)在滿足羅爾定理的1、函數(shù)在上滿足羅爾中值定理的2、在上滿足拉格朗日中值定理的3、，則有 2 個實(shí)根在上，（ A ）A B C D 4、5、5、6、7、8、9、10、10、若函數(shù)在內(nèi)滿足關(guān)系且，則證明：即則將代入上式得二、單調(diào)性1、若在內(nèi)，且在連續(xù)，則在上（ B ）A

2、 B C D 2、設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論不正確的是（ A ）A 內(nèi)單調(diào)遞增 B 內(nèi)單調(diào)遞減C 內(nèi)單調(diào)遞減 D 內(nèi)單調(diào)遞增1、若在內(nèi)，則曲線在內(nèi)單調(diào)遞減，下凹2、函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：又因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)樗詥握{(diào)遞減區(qū)間為3、證明：設(shè)令得駐點(diǎn)可知為極小值點(diǎn)，即三、凹向，拐點(diǎn)，極值1、若，則函數(shù)在點(diǎn)處（ C ）A 一定有最大值 B 一定有最小值 C 不一定有極值 D 一定沒有極值2、設(shè)一階可導(dǎo)，且，則（ D ）A 必是的極大值 B 必是的極小值C 可能是的極值 D 不是的極值3、若是的極值，則（ D ）A B 不存在 C D 或不存在4、設(shè)函數(shù)滿足，則下列結(jié)論正確的是（ B ）A 是極大值點(diǎn) B 是極

3、小值點(diǎn) C 是穩(wěn)定點(diǎn) D 是拐點(diǎn)2、點(diǎn)是對應(yīng)圖形的拐點(diǎn)，則（ C ）A B C D 1、( )2、設(shè)，則在內(nèi)，（ B ）A 單調(diào)增加，曲線為凹 B 單調(diào)減少，曲線為凹C 單調(diào)減少，曲線為凸 D 單調(diào)增加，曲線為凸3、若二階可導(dǎo)，且，又當(dāng)時(shí)，在內(nèi)，曲線（ C ）A 單調(diào)遞減，凸的 B 單調(diào)遞減凹的 C 單調(diào)遞增凸的 D 單調(diào)遞增凸的2、函數(shù)在上極大值點(diǎn)（ D ）A B C D 2、函數(shù)有（ C ）A 有極大值，無極小值 B 有極小值，無極大值C 在處取得極大值，在處取極小值D 在處取得極小值，在處取極大值3、條件是在處有拐點(diǎn)的（ D ）A 必要條件 B 充分條件 C 充要條件 D 以上都不對4、

4、曲線有（ C ）個拐點(diǎn)。A 沒有 B 一個 C 兩個 D 三個2、若（為常數(shù)）在處取得極值，則3、若函數(shù)在區(qū)間上只有一個極值點(diǎn)，又，則在上的最小值是（ A ）A B C D 以上都不對4、曲線的拐點(diǎn)是（ A ）A B C D 5、函數(shù)的最小值點(diǎn)6、在上最大值為7、求函數(shù)的極值。解：令，且在不存在極大值極小值3、設(shè)點(diǎn)是曲線的拐點(diǎn)，求的值為拐點(diǎn)，得4、5、設(shè)某商品的需求量對單價(jià)的函數(shù)，其銷售總額為，最大時(shí)，為（ C ）A B C D 5、求的極值令為極小值為極大值6、討論函數(shù)的凹向區(qū)間，拐點(diǎn)。解：令上凹拐點(diǎn)下凹拐點(diǎn)上凹6、的凹向區(qū)間，拐點(diǎn)令下凹拐點(diǎn)上凹7、設(shè)曲線的拐點(diǎn)解：8、求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值。

5、解：令的駐點(diǎn)以及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)則得極小值：極大值：8、求的極值。解：令8、設(shè)曲線在處取得極值，且與曲線相切于點(diǎn)，試確定常數(shù)。解：為極值點(diǎn)，則即相切于點(diǎn)即切線斜率為即綜上：四、應(yīng)用題1、某公司生產(chǎn)件產(chǎn)品的費(fèi)用時(shí)，則生產(chǎn)件產(chǎn)品的邊際成本是：2、商品的需求函數(shù)，則的需求收入彈性為：3、設(shè)，當(dāng)時(shí)，資本的邊際生產(chǎn)率為（ B ）設(shè)生產(chǎn)個單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)，則生產(chǎn)12個單位產(chǎn)品的邊際成本是（ A ）A B C D 4、某劇場籌備音樂會，預(yù)計(jì)票價(jià)定為每人50元，聽眾將有300人，票價(jià)每降低1元聽眾將增加50人，把門票收入作為票價(jià)的函數(shù)，票價(jià)視為連續(xù)變量，試寫出函數(shù)關(guān)系，并確定出使門票收入為最大的原則。5、已

6、知生產(chǎn)單位的某產(chǎn)品邊際成本為，產(chǎn)量為一個單位時(shí)，成本為，該產(chǎn)品產(chǎn)量與價(jià)格的關(guān)系是，求利潤最大時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤。解：得時(shí)，令，即得為最大產(chǎn)量，6、將以長為的鐵絲切成兩段，并將其中一段圍成正方形，另一段圍成圓形，為使正方形與圓形面積和最小，問兩段鐵絲的長，寬各是多少？解：設(shè)圍成正方形一段為，另外一段為設(shè)整理得令，所以在處取得最小值，且最小值為：7、某工廠生產(chǎn)某種商品，其固定成本為元，一年最多生產(chǎn)產(chǎn)品個，已知每生產(chǎn)一個產(chǎn)品，成本增加元，其總收益與生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量的關(guān)系是，（），問：一年生產(chǎn)產(chǎn)品為多少時(shí)，總利潤最大？最大總利潤是多少？解：令，且則生產(chǎn)產(chǎn)品個獲利最大，最大利潤為。8、某產(chǎn)品計(jì)劃一個生產(chǎn)周期

7、內(nèi)的總產(chǎn)量為噸，分若干批生產(chǎn)，設(shè)每批產(chǎn)品需要投入固定費(fèi)用元，每批生產(chǎn)的變動費(fèi)用與產(chǎn)品數(shù)量的立方成正比，且系數(shù)為，問每批生產(chǎn)多少噸時(shí)才能是總費(fèi)用最省。解：設(shè)每批生產(chǎn)噸，總費(fèi)用為元，則每批所需要的費(fèi)用為，分批生產(chǎn)總費(fèi)用為令則每批生產(chǎn)噸時(shí)才能使總費(fèi)用最省。9、從直徑為的圓形樹干中切出橫切面為矩形的梁，此矩形的底為，高為，若梁的強(qiáng)度為，問梁的橫斷面的尺寸如何，其強(qiáng)度最大，并求出最大強(qiáng)度。解：令因此，當(dāng)是，強(qiáng)度最大，其最大強(qiáng)度為：10、設(shè)某產(chǎn)品每次售件時(shí)，每件單價(jià)為元，若每次多售出件，則沒見相應(yīng)地降價(jià)元，又設(shè)生產(chǎn)每種產(chǎn)品的固定成本為元，可變成本為每件元，試求：1）價(jià)格函數(shù)；2）成本函數(shù)；邊際成本函數(shù)；3）收入函數(shù)，邊際收入函數(shù)；4）利潤函數(shù)和當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，利潤最大及最大利潤。解：設(shè)銷售量為件，則價(jià)格函數(shù)為成本函數(shù)：邊際成本：收入函數(shù)：邊際收入：利潤函數(shù)：令，得唯一極值點(diǎn)則當(dāng)產(chǎn)量為件時(shí)，利潤最大，最大利潤為元。11、已知某商品的需求量為（件），其中為價(jià)格（萬元/件）。求使收入最大的銷售量和相應(yīng)的最大收入。解：則收入函數(shù)令，則為極大值點(diǎn)。且最大收入為12、設(shè)某種商品的銷售量與價(jià)格的函數(shù)關(guān)系是，成本與產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系是。1）求利潤與銷售量的函數(shù)關(guān)系；2）求使利潤最大的銷售量及最大利潤