等體積代換法

1、問題“等體積代換法”。（一）多面體的體積（表面積）問題1【上海·理】 在四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的菱形，DAB60，對角線AC與BD相交于點O，PO平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60（1）求四棱錐PABCD的體積；【解】（1）在四棱錐P-ABCD中,由PO平面ABCD,得PBO是PB與平面ABCD所成的角,PBO=60°.在RtAOB中BO=ABsin30°=1,由POBO,于是，PO=BOtg60°=, 而底面菱形的面積為2.四棱錐P-ABCD的體積V=×2×=2.2【上海·文】 在直三棱柱中，.（2

2、）若與平面所成角為，求三棱錐的體積。【解】 （2）AA1平面ABC,ACA1是A1C與平面ABC所成的角，ACA1=45°.ABC=90°，AB=BC=1，AC= AA1=。三棱錐A1-ABC的體積V=SABC×AA1=。（二）點到平面的距離問題“等體積代換法”。1【福建·理】 如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，（III）求點E到平面ACD的距離?！窘狻?（III） 設(shè)點E到平面ACD的距離為， 在中， 而 點E到平面ACD的距離為2【湖北·文】 如圖，已知正三棱柱的側(cè)棱長和底面邊長為1，是底面邊上的中點，是側(cè)棱上的點，且。

3、（）求點到平面的距離。【解】（）過在面內(nèi)作直線，為垂足。又平面，所以AM。于是H平面AMN，故即為到平面AMN的距離。在中，。故點到平面AMN的距離為1。3【湖南·理】 如圖4, 已知兩個正四棱錐的高分別為1和2, 。（III）求點到平面的距離?！窘狻浚ǎ┯桑ǎ┲?，AD平面PQM，所以平面QAD平面PQM 。過點P作PHQM于H，則PHQAD，所以PH的長為點P到平面QAD的距離。連結(jié)OM。因為OM=AB=2=OQ，所以MQP=45°。又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=。即點P到平面QAD的距離是。4【江西·文】 如圖，已知三棱錐的側(cè)棱

4、兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點。（1）求O點到面ABC的距離； 【解】（1）取BC的中點D，連AD、OD。 ，則 BC面OAD。過O點作OHAD于H，則OH面ABC，OH的長就是所要求的距離。，。 面OBC，則。，在直角三角形OAD中，有 （另解：由知：）5【山東·理】 如圖，已知平面平行于三棱錐的底面ABC，等邊所在的平面與底面ABC垂直，且ACB=90°，設(shè) （）求點A到平面VBC的距離；ABCA1VB1C1【解】（）解法1：過A作于D，為正三角形， D為的中點.BC平面 ，又， AD平面，線段AD的長即為點A到平面的距離.在正中，.點A到平面的距離為.